Теорема Атьи–Зингера об индексе

Математический результат в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии теорема Атьи –Зингера об индексе , доказанная Майклом Атьей и Изадором Зингером (1963), ^[1] утверждает, что для эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии аналитический индекс (связанный с размерностью пространства решений) равен топологическому индексу (определяемому в терминах некоторых топологических данных). Она включает в себя многие другие теоремы, такие как теорема Черна–Гаусса–Бонне и теорема Римана–Роха , как частные случаи, и имеет приложения к теоретической физике . ^{[2] [3]}

История

Проблема индекса для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена ​​Израилем Гельфандом . ^[4] Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологических инвариантов . Некоторые из мотивирующих примеров включали теорему Римана–Роха и ее обобщение теорему Хирцебруха–Римана–Роха , а также теорему Хирцебруха о сигнатуре . Фридрих Хирцебрух и Арманд Борель доказали целочисленность рода спинового многообразия, и Атья предположил, что эту целочисленность можно объяснить, если бы это был индекс оператора Дирака (который был переоткрыт Атья и Зингером в 1961 году).

Теорема Атьи–Зингера была объявлена ​​в 1963 году. ^[1] Доказательство, набросанное в этом объявлении, никогда не было ими опубликовано, хотя оно появляется в книге Пале. ^[5] Оно также появляется в «Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64» ^[6] , который проводился в Париже одновременно с семинаром под руководством Ричарда Пале в Принстонском университете . Последний доклад в Париже был сделан Атья о многообразиях с границей. Их первое опубликованное доказательство ^[7] заменило теорию кобордизмов первого доказательства на K-теорию , и они использовали это, чтобы дать доказательства различных обобщений в другой серии статей. ^[8]

• 1965: Сергей П. Новиков опубликовал свои результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина на гладких многообразиях. ^[9]
• Результаты Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана ^[10] в сочетании с работой Рене Тома ^[11] доказали существование рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Рациональные классы Понтрягина являются существенными ингредиентами теоремы об индексе на гладких и топологических многообразиях.
• 1969: Майкл Атья определяет абстрактные эллиптические операторы на произвольных метрических пространствах. Абстрактные эллиптические операторы стали главными героями в теории Каспарова и некоммутативной дифференциальной геометрии Конна. ^[12]
• 1971: Изадор Сингер предлагает комплексную программу для будущих расширений теории индексов. ^[13]
• 1972: Геннадий Г. Каспаров публикует свою работу о реализации K-гомологий абстрактными эллиптическими операторами. ^[14]
• 1973: Атья, Рауль Ботт и Виджай Патоди дали новое доказательство теоремы об индексе ^[15], используя уравнение теплопроводности , описанное в статье Мелроуза. ^[16]
• 1977: Деннис Салливан устанавливает свою теорему о существовании и единственности липшицевых и квазиконформных структур на топологических многообразиях размерности, отличной от 4. ^[17]
• 1983: Эзра Гетцлер ^[18], вдохновленный идеями Эдварда Виттена ^[19] и Луиса Альвареса-Гоме , дал краткое доказательство локальной теоремы об индексе для операторов, которые являются локально операторами Дирака ; это охватывает многие полезные случаи.
• 1983: Николае Телеман доказывает, что аналитические индексы операторов сигнатуры со значениями в векторных расслоениях являются топологическими инвариантами. ^[20]
• 1984: Телеман устанавливает теорему об индексе на топологических многообразиях. ^[21]
• 1986: Ален Конн публикует свою фундаментальную работу по некоммутативной геометрии . ^[22]
• 1989: Саймон К. Дональдсон и Салливан изучают теорию Янга–Миллса на квазиконформных многообразиях размерности 4. Они вводят оператор сигнатуры S, определенный на дифференциальных формах степени два. ^[23]
• 1990: Конн и Анри Московичи доказывают формулу локального индекса в контексте некоммутативной геометрии. ^[24]
• 1994: Коннес, Салливан и Телеман доказывают теорему об индексе для операторов сигнатуры на квазиконформных многообразиях. ^[25]

Обозначение

• X — компактное гладкое многообразие (без границы).
• E и F — гладкие векторные расслоения над X.
• D — эллиптический дифференциальный оператор из E в F. Поэтому в локальных координатах он действует как дифференциальный оператор, переводя гладкие сечения E в гладкие сечения F.

Символ дифференциального оператора

Если D — дифференциальный оператор в евклидовом пространстве порядка n от k переменных , то его символ — это функция 2 k переменных , полученная путем отбрасывания всех членов порядка меньше n и замены на . Таким образом, символ однороден по переменным y степени n . Символ хорошо определен, хотя и не коммутирует с , поскольку мы сохраняем только члены самого высокого порядка, а дифференциальные операторы коммутируют «до членов более низкого порядка». Оператор называется эллиптическим , если символ отличен от нуля, когда хотя бы один y отличен от нуля. ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Пример: Оператор Лапласа в k переменных имеет символ , и поэтому является эллиптическим, поскольку он не равен нулю, если любой из ' не равен нулю. Волновой оператор имеет символ , который не является эллиптическим, если , поскольку символ исчезает для некоторых ненулевых значений y s . ${\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle -y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

Символ дифференциального оператора порядка n на гладком многообразии X определяется примерно таким же образом с помощью локальных координатных карт и является функцией на кокасательном расслоении X , однородной степени n на каждом кокасательном пространстве. (В общем случае дифференциальные операторы преобразуются довольно сложным образом при преобразованиях координат (см. струйное расслоение ); однако члены высшего порядка преобразуются как тензоры, поэтому мы получаем хорошо определенные однородные функции на кокасательных пространствах, которые не зависят от выбора локальных карт.) В более общем случае символ дифференциального оператора между двумя векторными расслоениями E и F является сечением обратного образа расслоения Hom( E , F ) в кокасательное пространство X . Дифференциальный оператор называется эллиптическим , если элемент Hom( E _x , F _x ) обратим для всех ненулевых кокасательных векторов в любой точке x из X .

Ключевым свойством эллиптических операторов является то, что они почти обратимы; это тесно связано с тем фактом, что их символы почти обратимы. Точнее, эллиптический оператор D на компактном многообразии имеет (неединственный) параметрикс (или псевдообратный ) D ′ такой, что DD′ -1 и D′D -1 оба являются компактными операторами. Важным следствием является то, что ядро ​​D конечномерно, поскольку все собственные пространства компактных операторов, кроме ядра, конечномерны. (Псевдообратный эллиптического дифференциального оператора почти никогда не является дифференциальным оператором. Однако это эллиптический псевдодифференциальный оператор .)

Аналитический индекс

Поскольку эллиптический дифференциальный оператор D имеет псевдообратный оператор, он является оператором Фредгольма . Любой оператор Фредгольма имеет индекс , определяемый как разность между (конечной) размерностью ядра D ( решения Df = 0) и (конечной) размерностью коядра D ( ограничения на правую часть неоднородного уравнения типа Df = g или, что эквивалентно, ядро ​​сопряженного оператора). Другими словами,

Индекс( D ) = dim Ker(D) − dim Coker( D ) = dim Ker(D) − dim Ker( D* ).

Иногда это называют аналитическим индексом D.

Пример: Предположим, что многообразие — это окружность (рассматриваемая как R / Z ), а D — оператор d/dx − λ для некоторой комплексной константы λ. (Это простейший пример эллиптического оператора.) Тогда ядро ​​— это пространство кратных exp(λ x ), если λ — целое кратное 2π i и равно 0 в противном случае, а ядро ​​сопряженного оператора — это подобное пространство с заменой λ на его комплексно сопряженное. Таким образом, D имеет индекс 0. Этот пример показывает, что ядро ​​и коядро эллиптических операторов могут скачкообразно изменяться при изменении эллиптического оператора, поэтому не существует хорошей формулы для их размерностей в терминах непрерывных топологических данных. Однако скачки размерностей ядра и коядра одинаковы, поэтому индекс, заданный разностью их размерностей, действительно изменяется непрерывно и может быть задан в терминах топологических данных с помощью теоремы об индексе.

Топологический индекс

Топологический индекс эллиптического дифференциального оператора между гладкими векторными расслоениями и на -мерном компактном многообразии задается формулой ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$

другими словами, значение старшей размерной компоненты смешанного класса когомологий на фундаментальном классе гомологии многообразия с точностью до знака. Здесь, ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$— класс Тодда комплексированного касательного расслоения . ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$равно , где ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))}$
  • ${\displaystyle \varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )}$является изоморфизмом Тома для сферического расслоения ${\displaystyle p:B(X)/S(X)\to X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$это персонаж Черна
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$— «элемент разности» в , связанный с двумя векторными расслоениями и на , и изоморфизм между ними на подпространстве . ${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$ ${\displaystyle p^{*}E}$ ${\displaystyle p^{*}F}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle \sigma (D)}$ ${\displaystyle S(X)}$
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$является символом ${\displaystyle D}$

В некоторых ситуациях можно упростить приведенную выше формулу для вычислительных целей. В частности, если - -мерное ориентируемое (компактное) многообразие с ненулевым классом Эйлера , то, применяя изоморфизм Тома и разделив на класс Эйлера, ^{[26] [27]} топологический индекс можно выразить как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle e(TX)}$

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

где деление имеет смысл, отходя от кольца когомологий классифицирующего пространства . ${\displaystyle e(TX)^{-1}}$ ${\displaystyle BSO}$

Можно также определить топологический индекс, используя только K-теорию (и это альтернативное определение в определенном смысле совместимо с конструкцией характера Черна выше). Если X является компактным подмногообразием многообразия Y , то существует проталкивающее (или «кричащее») отображение из K( TX ) в K( TY ). Топологический индекс элемента K( TX ) определяется как образ этой операции с Y некоторым евклидовым пространством, для которого K( TY ) может быть естественным образом отождествлено с целыми числами Z (как следствие периодичности Ботта). Это отображение не зависит от вложения X в евклидово пространство. Теперь дифференциальный оператор, как указано выше, естественным образом определяет элемент K( TX ), а изображение в Z при этом отображении «является» топологическим индексом.

Как обычно, D — эллиптический дифференциальный оператор между векторными расслоениями E и F над компактным многообразием X.

Проблема индекса следующая : вычислить (аналитический) индекс D, используя только символ s и топологические данные, полученные из многообразия и векторного расслоения. Теорема Атьи–Зингера об индексе решает эту проблему и утверждает:

Аналитический индекс D равен его топологическому индексу.

Несмотря на свое грозное определение, топологический индекс обычно легко оценить явно. Таким образом, это позволяет оценить аналитический индекс. (Коядро и ядро ​​эллиптического оператора, как правило, чрезвычайно трудно оценить по отдельности; теорема об индексе показывает, что обычно мы можем по крайней мере оценить их разность .) Многие важные инварианты многообразия (такие как сигнатура) могут быть заданы как индекс подходящих дифференциальных операторов, поэтому теорема об индексе позволяет нам оценить эти инварианты в терминах топологических данных.

Хотя аналитический индекс обычно трудно оценить напрямую, он, по крайней мере, очевидно является целым числом. Топологический индекс по определению является рациональным числом, но обычно из определения совсем не очевидно, что он также является целым числом. Таким образом, теорема Атьи–Зингера об индексе подразумевает некоторые глубокие свойства целостности, поскольку подразумевает, что топологический индекс является целым числом.

Индекс эллиптического дифференциального оператора, очевидно, равен нулю, если оператор самосопряжен. Он также равен нулю, если многообразие X имеет нечетную размерность, хотя существуют псевдодифференциальные эллиптические операторы, индекс которых не равен нулю в нечетных размерностях.

Связь с Гротендиком–Риманом–Рохом

Теорема Гротендика –Римана–Роха была одной из главных мотиваций теоремы об индексе, поскольку теорема об индексе является аналогом этой теоремы в контексте вещественных многообразий. Теперь, если есть карта компактных стабильно почти комплексных многообразий, то есть коммутативная диаграмма ^[28] ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

если — точка, то мы восстанавливаем утверждение выше. Вот группа Гротендика комплексных векторных расслоений. Эта коммутативная диаграмма формально очень похожа на теорему GRR, поскольку группы когомологий справа заменены кольцом Чжоу гладкого многообразия, а группа Гротендика слева задается группой Гротендика алгебраических векторных расслоений. ${\displaystyle Y=*}$ ${\displaystyle K(X)}$

Расширения теоремы Атьи–Зингера об индексе

Теорема Телемана об индексе

Благодаря (Телеман 1983), (Телеман 1984):

Для любого абстрактного эллиптического оператора (Атья, 1970) на замкнутом ориентированном топологическом многообразии аналитический индекс равен топологическому индексу.

Доказательство этого результата проводится с помощью конкретных соображений, включая расширение теории Ходжа на комбинаторные и липшицевы многообразия (Телеман, 1980), (Телеман, 1983), расширение оператора сигнатуры Атьи–Зингера на липшицевы многообразия (Телеман, 1983), K-гомологии Каспарова (Каспаров, 1972) и топологические кобордизмы (Кирби и Зибенман, 1977).

Этот результат показывает, что теорема об индексе — это не просто утверждение о дифференцируемости, а скорее топологическое утверждение.

Теорема Конна – Дональдсона – Салливана – Телемана об индексе

По причине (Дональдсон и Салливан, 1989 г.), (Конн, Салливан и Телеман, 1994 г.):

Для любого квазиконформного многообразия существует локальная конструкция характеристических классов Хирцебруха–Тома.

Эта теория основана на операторе сигнатуры S , определенном на дифференциальных формах средней степени на четномерных квазиконформных многообразиях (сравните (Donaldson & Sullivan 1989)).

Используя топологический кобордизм и K-гомологии, можно предоставить полную формулировку теоремы об индексе на квазиконформных многообразиях (см. стр. 678 (Connes, Sullivan & Teleman 1994)). Работа (Connes, Sullivan & Teleman 1994) «предоставляет локальные конструкции для характеристических классов, основанные на более многомерных родственниках измеримого отображения Римана в размерности два и теории Янга–Миллса в размерности четыре».

Эти результаты представляют собой значительный прогресс в направлении программы Зингера «Перспективы в математике» (Зингер, 1971). В то же время они также обеспечивают эффективную конструкцию рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Статья (Телеман, 1985) устанавливает связь между оригинальной конструкцией Тома рациональных классов Понтрягина (Том, ​​1956) и теорией индекса.

Важно отметить, что формула индекса является топологическим утверждением. Теории препятствий, предложенные Милнором, Кервером, Кирби, Зибенманном, Салливаном, Дональдсоном, показывают, что только меньшинство топологических многообразий обладают дифференцируемыми структурами, и они не обязательно являются уникальными. Результат Салливана о липшицевых и квазиконформных структурах (Sullivan 1979) показывает, что любое топологическое многообразие в размерности, отличной от 4, обладает такой структурой, которая является уникальной (с точностью до изотопии, близкой к тождеству).

Квазиконформные структуры (Коннес, Салливан и Телеман, 1994) и, в более общем смысле, L ^p -структуры, p > n ( n +1)/2, введенные М. Хилсумом (Хилсум, 1999), являются слабейшими аналитическими структурами на топологических многообразиях размерности n, для которых, как известно, справедлива теорема об индексе.

Другие расширения

• Теорема Атьи–Зингера применима к эллиптическим псевдодифференциальным операторам во многом так же, как и к эллиптическим дифференциальным операторам. Фактически, по техническим причинам большинство ранних доказательств работали с псевдодифференциальными, а не с дифференциальными операторами: их дополнительная гибкость упростила некоторые этапы доказательств.
• Вместо работы с эллиптическим оператором между двумя векторными расслоениями иногда удобнее работать с эллиптическим комплексом векторных расслоений. Разница в том, что символы теперь образуют точную последовательность (вне нулевой секции). В случае, когда в комплексе всего два ненулевых расслоения, это означает, что символ является изоморфизмом вне нулевой секции, поэтому эллиптический комплекс с 2 членами по сути то же самое, что и эллиптический оператор между двумя векторными расслоениями. Наоборот, теорему об индексе для эллиптического комплекса можно легко свести к случаю эллиптического оператора: два векторных расслоения задаются суммами четных или нечетных членов комплекса, а эллиптический оператор является суммой операторов эллиптического комплекса и их сопряженных, ограниченных суммой четных расслоений. $${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$
• Если многообразию разрешено иметь границу, то на область определения эллиптического оператора должны быть наложены некоторые ограничения, чтобы обеспечить конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требование, чтобы сечения в области исчезали на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требование, чтобы сечения в области решали некоторое дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атья и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор сигнатуры ) не допускают локальных граничных условий. Для работы с этими операторами Атья , Патоди и Сингер ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничению области теми сечениями, которые квадратично интегрируемы вдоль цилиндра. Эта точка зрения принята в доказательстве Мелроуза (1993) теоремы об индексе Атьи–Патоди–Сингера.
• Вместо одного эллиптического оператора можно рассмотреть семейство эллиптических операторов, параметризованных некоторым пространством Y . В этом случае индекс является элементом K-теории Y , а не целым числом. Если операторы в семействе действительны, то индекс лежит в действительной K-теории Y . Это дает немного дополнительной информации, поскольку отображение из действительной K-теории Y в комплексную K-теорию не всегда инъективно.
• Если существует групповое действие группы G на компактном многообразии X , коммутирующее с эллиптическим оператором, то обычная K-теория заменяется эквивариантной K-теорией . Более того, получаются обобщения теоремы Лефшеца о неподвижной точке , с членами, происходящими из подмногообразий неподвижной точки группы G. См. также: теорема об эквивариантном индексе .
• Атья (1976) показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которые действует дискретная группа с компактным фактором. Ядро эллиптического оператора в этом случае, как правило, бесконечномерно, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгеброй фон Неймана ; этот индекс, как правило, является действительным, а не целочисленным. Эта версия называется теоремой об индексе L ² и была использована Атья и Шмидом (1977) для повторного вывода свойств представлений дискретной серии полупростых групп Ли .
• Теорема Каллиаса об индексе — это теорема об индексе для оператора Дирака на некомпактном нечетномерном пространстве. Индекс Атьи–Зингера определен только на компактных пространствах и обращается в нуль, когда их размерность нечетна. В 1978 году Константин Каллиас по предложению своего научного руководителя Романа Джекива использовал аксиальную аномалию для вывода этой теоремы об индексе для пространств, снабженных эрмитовой матрицей, называемой полем Хиггса . ^[29] Индекс оператора Дирака — это топологический инвариант, который измеряет намотку поля Хиггса на сфере на бесконечности. Если U — единичная матрица в направлении поля Хиггса, то индекс пропорционален интегралу от U ( dU ) ^{n −1} по ( n −1)-сфере на бесконечности. Если n четно, он всегда равен нулю.
  • Топологическая интерпретация этого инварианта и его связь с индексом Хермандера, предложенная Борисом Федосовым и обобщенная Ларсом Хермандером , была опубликована Раулем Боттом и Робертом Томасом Сили . ^[30]

Примеры

Теорема Черна-Гаусса-Бонне

Предположим, что — компактное ориентированное многообразие размерности . Если взять — сумму четных внешних степеней кокасательного расслоения, а — сумму нечетных степеней, то определим , рассматриваемое как отображение из в . Тогда аналитический индекс — это эйлерова характеристика когомологий Ходжа , а топологический индекс — это интеграл класса Эйлера по многообразию. Формула индекса для этого оператора дает теорему Черна–Гаусса–Бонне . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2r}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ ${\displaystyle D=d+d^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

Конкретное вычисление выглядит следующим образом: согласно одному из вариантов принципа расщепления , если — вещественное векторное расслоение размерности , то для доказательства утверждений, включающих характеристические классы, мы можем предположить, что существуют комплексные линейные расслоения такие, что . Поэтому мы можем рассмотреть корни Черна , , . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n=2r}$ ${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$ ${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$ ${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$ ${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$

Используя корни Черна, как указано выше, и стандартные свойства класса Эйлера, мы имеем, что . Что касается характера Черна и класса Тодда, ^[31] ${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

Применяя теорему об индексе,

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

что является «топологической» версией теоремы Черна-Гаусса-Бонне (геометрическая версия получена путем применения гомоморфизма Черна-Вейля ).

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Возьмем X в качестве комплексного многообразия (комплексной) размерности n с голоморфным векторным расслоением V. Пусть векторные расслоения E и F будут суммами расслоений дифференциальных форм с коэффициентами в V типа (0, i ) с четным или нечетным i , а дифференциальный оператор D будет суммой

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

ограничено E.​

Этот вывод теоремы Хирцебруха–Римана–Роха более естественен, если мы используем теорему об индексе для эллиптических комплексов, а не эллиптических операторов. Мы можем взять комплекс как

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

с дифференциалом, заданным как . Тогда i'- я группа когомологий — это просто когерентная группа когомологий H i ⁽ X , V ) , поэтому аналитический индекс этого комплекса — это голоморфная эйлерова характеристика V : ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

Поскольку мы имеем дело с комплексными расслоениями, вычисление топологического индекса проще. Используя корни Черна и выполняя аналогичные вычисления, как в предыдущем примере, класс Эйлера задается как и ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

Применяя теорему об индексе, получаем теорему Хирцебруха-Римана-Роха :

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

Фактически мы получаем его обобщение на все комплексные многообразия: доказательство Хирцебруха работало только для проективных комплексных многообразий X.

Теорема Хирцебруха о сигнатурах

Теорема о сигнатуре Хирцебруха утверждает, что сигнатура компактного ориентированного многообразия X размерности 4k задается родом L многообразия. Это следует из теоремы Атьи–Зингера об индексе, примененной к следующему оператору сигнатуры .

Расслоения E и F задаются собственными пространствами +1 и −1 оператора на расслоении дифференциальных форм X , который действует на k -формы как раз на оператор звезды Ходжа . Оператор D является лапласианом Ходжа ${\displaystyle i^{k(k-1)}}$

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

ограниченный E , где d — внешняя производная Картана , а d * — ее сопряженная.

Аналитический индекс D — это сигнатура многообразия X , а его топологический индекс — это род L многообразия X , поэтому они равны.

 род и теорема Рохлина

Род Â — это рациональное число, определенное для любого многообразия, но в общем случае не является целым числом. Борель и Хирцебрух показали, что он является целым числом для спиновых многообразий и четным целым числом, если вдобавок размерность равна 4 mod 8. Это можно вывести из теоремы об индексе, которая подразумевает, что род Â для спиновых многообразий является индексом оператора Дирака. Дополнительный множитель 2 в размерностях 4 mod 8 возникает из того факта, что в этом случае ядро ​​и коядро оператора Дирака имеют кватернионную структуру, поэтому как комплексные векторные пространства они имеют четные размерности, поэтому индекс четный.

В размерности 4 этот результат подразумевает теорему Рохлина о том, что сигнатура 4-мерного спинового многообразия делится на 16: это следует из того, что в размерности 4 род Â равен минус одной восьмой сигнатуры.

Методы доказательства

Псевдодифференциальные операторы

Псевдодифференциальные операторы можно легко объяснить в случае операторов с постоянными коэффициентами в евклидовом пространстве. В этом случае дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами являются просто преобразованиями Фурье умножения на многочлены, а псевдодифференциальные операторы с постоянными коэффициентами являются просто преобразованиями Фурье умножения на более общие функции.

Многие доказательства теоремы об индексе используют псевдодифференциальные операторы вместо дифференциальных. Причина этого в том, что для многих целей не хватает дифференциальных операторов. Например, псевдообратный эллиптического дифференциального оператора положительного порядка не является дифференциальным оператором, но является псевдодифференциальным оператором. Также существует прямое соответствие между данными, представляющими элементы K(B( X ), S ( X )) (сцепляющие функции), и символами эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Псевдодифференциальные операторы имеют порядок, который может быть любым действительным числом или даже −∞, и имеют символы (которые больше не являются полиномами на кокасательном пространстве), а эллиптические дифференциальные операторы — это те, символы которых обратимы для достаточно больших кокасательных векторов. Большинство версий теоремы об индексе можно распространить с эллиптических дифференциальных операторов на эллиптические псевдодифференциальные операторы.

Кобордизм

Первоначальное доказательство основывалось на теореме Хирцебруха–Римана–Роха (1954) и включало теорию кобордизмов и псевдодифференциальные операторы .

Идея этого первого доказательства примерно такова. Рассмотрим кольцо, порожденное парами ( X , V ), где V — гладкое векторное расслоение на компактном гладком ориентированном многообразии X , с соотношениями, что сумма и произведение кольца на этих образующих задаются несвязным объединением и произведением многообразий (с очевидными операциями над векторными расслоениями), а любая граница многообразия с векторным расслоением равна 0. Это похоже на кольцо кобордизмов ориентированных многообразий, за исключением того, что многообразия также имеют векторное расслоение. Топологические и аналитические индексы оба переинтерпретируются как функции из этого кольца в целые числа. Затем проверяется, что эти две функции на самом деле являются обеими кольцевыми гомоморфизмами. Чтобы доказать, что они одинаковы, тогда нужно только проверить, что они одинаковы на наборе образующих этого кольца. Теория кобордизмов Тома дает набор образующих; например, комплексные векторные пространства с тривиальным расслоением вместе с некоторыми расслоениями над четномерными сферами. Таким образом, теорему об индексе можно доказать, проверив ее на этих особенно простых случаях.

К-теория

Первое опубликованное доказательство Атьи и Сингера использовало K-теорию, а не кобордизм. Если i — любое включение компактных многообразий из X в Y , они определили операцию «проталкивания» i _! эллиптических операторов X в эллиптические операторы Y , которая сохраняет индекс. Если взять Y как некоторую сферу, в которую вкладывается X , то это сводит теорему об индексе к случаю сфер. Если Y — сфера, а X — некоторая точка, вложенная в Y , то любой эллиптический оператор на Y является образом при i _! некоторого эллиптического оператора на точке. Это сводит теорему об индексе к случаю точки, где она тривиальна.

Уравнение теплопроводности

Атья, Ботт и Патодий  (1973) дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности , см. например, Berline, Getzler & Vergne (1992). Доказательство также опубликовано в (Melrose 1993) и (Gilkey 1994).

Если D — дифференциальный оператор с сопряженным D* , то D*D и DD* — самосопряженные операторы, чьи ненулевые собственные значения имеют одинаковые кратности. Однако их нулевые собственные пространства могут иметь разные кратности, поскольку эти кратности являются размерностями ядер D и D* . Поэтому индекс D задается как

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

для любого положительного t . Правая часть задается следом разности ядер двух тепловых операторов. Они имеют асимптотическое разложение для малых положительных t , которое можно использовать для оценки предела при t , стремящемся к 0, что дает доказательство теоремы Атьи–Зингера об индексе. Асимптотические разложения для малых t кажутся очень сложными, но инвариантная теория показывает, что между членами существуют огромные сокращения, что позволяет явно найти ведущие члены. Эти сокращения были позже объяснены с помощью суперсимметрии.

Смотрите также

• (-1)F  – Член квантовой теории поляPages displaying short descriptions of redirect targets
• Индекс Виттена  – Модифицированная функция распределения

Цитаты

1. Атия и Сингер 1963.
2. Каяни 2020.
3. Гамильтон 2020, стр. 11.
4. Гельфанд 1960.
5. Дворец 1965.
6. Картан-Шварц 1965.
7. Атья и Сингер 1968a.
8. Атья и Сингер (1968a); Атья и Сингер (1968b); Атья и Сингер (1971a); Атья и Сингер (1971b).
9. Новиков 1965.
10. Кирби и Зибенманн 1969.
11. Том 1956.
12. Атья 1970.
13. Певица 1971.
14. Каспаров 1972.
15. Атья, Ботт и Патоди 1973.
16. Мелроуз 1993.
17. Салливан 1979.
18. Гетцлер 1983.
19. Виттен 1982.
20. Телеман 1983.
21. Телеман 1984.
22. Коннес 1986.
23. Дональдсон и Салливан 1989.
24. Конн и Московичи 1990.
25. Конн, Салливан и Телеман 1994.
26. Шанахан, П. (1978), Теорема Атьи-Зингера об индексе , Lecture Notes in Mathematics, т. 638, Springer, CiteSeerX  10.1.1.193.9222 , doi :10.1007/BFb0068264, ISBN 978-0-387-08660-6
27. Лоусон, Х. Блейн ; Михельсон, Мари-Луиза (1989), Геометрия спина , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0
28. "алгебраическая топология - Как понять класс Тодда?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2021-02-05 .
29. Индекс Теоремы об открытых пространствах
30. Некоторые замечания по поводу статьи Каллия
31. Накахара, Микио (2003), Геометрия, топология и физика , Издательство Института физики, ISBN 0-7503-0606-8

Ссылки

Статьи Атьи перепечатаны в 3-м и 4-м томах его собрания сочинений (Атья 1988а, 1988б).

• Атья, МФ (1970), "Глобальная теория эллиптических операторов", Труды Международной конференции по функциональному анализу и смежным темам (Токио, 1969) , Токийский университет, Zbl  0193.43601
• Атья, М.Ф. (1976), «Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана», Коллоквиум «Анализ и топология» в честь Анри Картана (Орсе, 1974) , Asterisque, vol. 32–33, Соц. Математика. Франция, Париж, стр. 43–72, MR  0420729.
• Атья, М. Ф.; Сигал , ГБ (1968), «Индекс эллиптических операторов: II», Annals of Mathematics , вторая серия, 87 (3): 531–545, doi :10.2307/1970716, JSTOR  1970716Это переформулирует результат как своего рода теорему Лефшеца о неподвижной точке, используя эквивариантную К-теорию.
• Атья, Майкл Ф.; Сингер , Изадор М. (1963), «Индекс эллиптических операторов на компактных многообразиях», Bull. Amer. Math. Soc. , 69 (3): 422–433, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10957-XОбъявление теоремы об индексе.
• Атья, Майкл Ф.; Сингер , Изадор М. (1968a), «Индекс эллиптических операторов I», Annals of Mathematics , 87 (3): 484–530, doi :10.2307/1970715, JSTOR  1970715Это дает доказательство, использующее К-теорию вместо когомологий.
• Атья, Майкл Ф.; Сингер , Изадор М. (1968b), «Индекс эллиптических операторов III», Annals of Mathematics , вторая серия, 87 (3): 546–604, doi :10.2307/1970717, JSTOR  1970717В этой статье показано, как перейти от версии K-теории к версии, использующей когомологии.
• Атья, Майкл Ф.; Сингер , Изадор М. (1971a), «Индекс эллиптических операторов IV», Annals of Mathematics , вторая серия, 93 (1): 119–138, doi :10.2307/1970756, JSTOR  1970756В данной работе изучаются семейства эллиптических операторов, где индекс теперь является элементом K-теории пространства, параметризующего семейство.
• Атья, Майкл Ф.; Сингер , Изадор М. (1971b), «Индекс эллиптических операторов V», Annals of Mathematics , вторая серия, 93 (1): 139–149, doi :10.2307/1970757, JSTOR  1970757. Здесь изучаются семейства действительных (а не комплексных) эллиптических операторов, когда иногда можно выжать немного дополнительной информации.
• Атья, М. Ф.; Ботт , Р. (1966), «Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических дифференциальных операторов», Bull. Am. Math. Soc. , 72 (2): 245–50, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0. Это формулирует теорему, вычисляющую число Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса.
• Атья, М. Ф.; Ботт , Р. (1967), «Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических комплексов: I», Annals of Mathematics , вторая серия, 86 (2): 374–407, doi :10.2307/1970694, JSTOR  1970694и Атья, М. Ф.; Ботт, Р. (1968), «Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических комплексов: II. Приложения», Annals of Mathematics , вторая серия, 88 (3): 451–491, doi : 10.2307/1970721, JSTOR  1970721 В них приводятся доказательства и некоторые приложения результатов, объявленных в предыдущей статье.
• Атья, М.; Ботт , Р .; Патоди, В.К. (1973), «Об уравнении теплопроводности и теореме об индексе», Invent. Math. , 19 (4): 279–330, Bibcode : 1973InMat..19..279A, doi : 10.1007/BF01425417, MR  0650828, S2CID  115700319. Атья, М.; Ботт, Р.; Патоди, В.К. (1975), "Errata", Invent. Math. , 28 (3): 277–280, Bibcode : 1975InMat..28..277A, doi : 10.1007/BF01425562 , MR  0650829
• Атья, Майкл ; Шмид, Вильфрид (1977), «Геометрическое построение дискретной серии для полупростых групп Ли», Invent. Math. , 42 : 1–62, Bibcode : 1977InMat..42....1A, doi : 10.1007/BF01389783, MR  0463358, S2CID  189831012, Атья, Майкл; Шмид, Вильфрид (1979), "Erratum", Invent. Math. , 54 (2): 189–192, Bibcode :1979InMat..54..189A, doi : 10.1007/BF01408936 , MR  0550183
• Атья, Майкл (1988a), Собрание сочинений. Том 3. Теория индекса: 1, Oxford Science Publications, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853277-4, МР  0951894
• Атья, Майкл (1988b), Собрание сочинений. Том 4. Теория индекса: 2 , Oxford Science Publications, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853278-1, МР  0951895
• Баум, П.; Фултон , У .; Макферсон, Р. (1979), «Риман-Рох для особых многообразий», Acta Mathematica , 143 : 155–191, doi :10.1007/BF02684299, S2CID  83458307, Zbl  0332.14003
• Берлина, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (1992), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин: Springer, ISBN 978-3-540-53340-5Это дает элементарное доказательство теоремы об индексе для оператора Дирака, использующее уравнение теплопроводности и суперсимметрию.
• Бисмут, Жан-Мишель (1984), «Теоремы Атьи–Зингера: вероятностный подход. I. Теорема об индексе», J. Funct. Anal. , 57 : 56–99, doi : 10.1016/0022-1236(84)90101-0Бисмут доказывает теорему для эллиптических комплексов, используя вероятностные методы, а не методы уравнения теплопроводности.
• Картан-Шварц (1965), семинар Анри Картана. Теорема д'Атия-Зингер по индикатору дифференциального эллиптического действия. 16 лет: дирижер Анри Картана и Лорана Шварца 1963/64 года. Фаск. 1; Фаск. 2. (французский) , Высшая нормальная школа, Математический секретариат, Париж, Zbl  0149.41102.
• Конн, А. (1986), «Некоммутативная дифференциальная геометрия», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 62 : 257–360, doi : 10.1007/BF02698807, S2CID  122740195, Zbl  0592.46056
• Коннес, А. (1994), Некоммутативная геометрия , Сан-Диего: Academic Press, ISBN 978-0-12-185860-5, ЗБЛ  0818.46076
• Конн, А.; Московичи, Х. (1990), «Циклические когомологии, гипотеза Новикова и гиперболические группы» (PDF) , Топология , 29 (3): 345–388, doi : 10.1016/0040-9383(90)90003-3 , Zbl  0759.58047
• Коннес, А.; Салливан , Д.; Телеман, Н. (1994), «Квазиконформные отображения, операторы в гильбертовом пространстве и локальные формулы для характеристических классов», Топология , 33 (4): 663–681, doi : 10.1016/0040-9383(94)90003-5 , Zbl  0840.57013
• Дональдсон, СК ; Салливан, Д. (1989), «Квазиконформные 4-многообразия», Acta Mathematica , 163 : 181–252, doi : 10.1007/BF02392736 , Zbl  0704.57008
• Гельфанд, ИМ (1960), "Об эллиптических уравнениях", УМН , 15 (3): 113–123, Bibcode :1960RuMaS..15..113G, doi :10.1070/rm1960v015n03ABEH004094перепечатано в томе 1 его собрания сочинений, стр. 65–75, ISBN 0-387-13619-3 . На стр. 120 Гельфанд предполагает, что индекс эллиптического оператора должен быть выражен в терминах топологических данных. 
• Getzler, E. (1983), "Псевдодифференциальные операторы на супермногообразиях и теорема Атьи–Зингера об индексе", Commun. Math. Phys. , 92 (2): 163–178, Bibcode : 1983CMaPh..92..163G, doi : 10.1007/BF01210843, S2CID  55438589
• Getzler, E. (1988), "Короткое доказательство локальной теоремы Атьи–Зингера об индексе", Топология , 25 : 111–117, doi : 10.1016/0040-9383(86)90008-X
• Джилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема Атьи–Зингера, CRC Press, ISBN 978-0-8493-7874-4Бесплатный онлайн-учебник, доказывающий теорему Атьи–Зингера с помощью уравнения теплопроводности
• Гамильтон, MJD (2020). «Бозон Хиггса для математиков. Конспект лекций по калибровочной теории и нарушению симметрии». arXiv : 1512.02632 [math.DG].
• Каяни, У. (2020). «Динамическое усиление суперсимметрии горизонтов черных дыр». arXiv : 1910.01080 [hep-th].
• Хигсон, Найджел; Роу, Джон (2000), Аналитическая К-гомология , Oxford University Press, ISBN 9780191589201
• Хилсум, М. (1999), «Структуры riemaniennes L ^p et K -homologie», Annals of Mathematics , 149 (3): 1007–1022, arXiv : math/9905210 , doi : 10.2307/121079, JSTOR  121079, S2CID  119708566
• Каспаров, ГГ (1972), «Топологическая инвариантность эллиптических операторов, I: K-гомологии», Матем. Известия СССР (англ. пер.) , 9 (4): 751–792, Bibcode :1975IzMat...9..751K, doi :10.1070/IM1975v009n04ABEH001497
• Кирби, Р.; Зибенманн , Л. К. (1969), «О триангуляции многообразий и Hauptvermutung», Bull. Amer. Math. Soc. , 75 (4): 742–749, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12271-8
• Кирби, Р.; Зибенман , Л.С. (1977), Основополагающие эссе о топологических многообразиях, сглаживаниях и триангуляциях , Annals of Mathematics Studies in Mathematics, т. 88, Принстон: Princeton University Press и Tokio University Press
• Лоусон, Х. Блейн ; Михельсон, Мари-Луиза (1989), Геометрия спина , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0
• Мелроуз, Ричард Б. (1993), Теорема об индексе Атьи–Патоди–Зингера, Уэллсли, Массачусетс: Peters, ISBN 978-1-56881-002-7Бесплатный онлайн-учебник.
• Новиков, СП (1965), "Топологическая инвариантность рациональных классов Понтрягина" (PDF) , Доклады Академии наук СССР , 163 : 298–300
• Пале, Ричард С. (1965), Семинар по теореме об индексе Атьи–Зингера, Annals of Mathematics Studies, т. 57, Sl: Princeton Univ Press, ISBN 978-0-691-08031-4Это описывает оригинальное доказательство теоремы (Атья и Сингер никогда не публиковали свое оригинальное доказательство, а только его улучшенные версии).
• Шанахан, П. (1978), Теорема Атьи-Зингера об индексе , Lecture Notes in Mathematics, т. 638, Springer, CiteSeerX  10.1.1.193.9222 , doi :10.1007/BFb0068264, ISBN 978-0-387-08660-6
• Singer, IM (1971), «Будущие расширения теории индекса и эллиптических операторов», Prospects in Mathematics , Annals of Mathematics Studies in Mathematics, т. 70, стр. 171–185
• Салливан, Д. (1979), «Гиперболическая геометрия и гомеоморфизмы», Дж. К. Кэндрелл, «Геометрическая топология», Труды конференции по топологии в Джорджии, Афины, Джорджия, 1977 , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 543–595, ISBN 978-0-12-158860-1, ЗБЛ  0478.57007
• Салливан, Д .; Телеман, Н. (1983), «Аналитическое доказательство теоремы Новикова о рациональных классах Понтрягина», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 58 , Париж: 291–293, doi : 10.1007/BF02953773, S2CID  8348213, Zbl  0531.58045
• Телеман, Н. (1980), «Комбинаторная теория Ходжа и оператор сигнатуры», Inventiones Mathematicae , 61 (3): 227–249, Bibcode : 1980InMat..61..227T, doi : 10.1007/BF01390066, S2CID  122247909
• Телеман, Н. (1983), «Индекс сигнатурных операторов на липшицевых многообразиях», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 58 : 251–290, doi : 10.1007/BF02953772, S2CID  121497293, Zbl  0531.58044
• Телеман, Н. (1984), «Теорема об индексе на топологических многообразиях», Acta Mathematica , 153 : 117–152, doi : 10.1007/BF02392376 , Zbl  0547.58036
• Телеман, Н. (1985), «Трансверсальность и теорема об индексе», Интегральные уравнения и теория операторов , 8 (5): 693–719, doi :10.1007/BF01201710, S2CID  121137053
• Том, Р. (1956), "Характерные классы Понтрьягина разнообразия треугольников", Symp. Межд. Вершина. Алг. Мексика , стр. 54–67.
• Виттен, Эдвард (1982), «Суперсимметрия и теория Морса», J. Diff. Geom. , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492 , MR  0683171
• Shing-Tung Yau , ред. (2009) [Впервые опубликовано в 2005 г.], The Founders of Index Theory (2-е изд.), Сомервилл, Массачусетс: International Press of Boston, ISBN 978-1571461377- Личные аккаунты Атья , Ботта , Хирцебруха и Зингера .

Внешние ссылки

Ссылки по теории

• Mazzeo, Rafe. "The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care" (PDF) . Архивировано из оригинала 24 июня 2006 г. . Получено 3 января 2006 г. .{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Презентация в формате PDF.
• Войцеховский, М.И.; Шубин, М.А. (2001) [1994], "Индексные формулы", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Вассерман, Энтони . "Конспект лекций по теореме Атьи–Зингера об индексе". Архивировано из оригинала 29 марта 2017 г.

Ссылки на интервью

• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2005), «Интервью с Майклом Атья и Изадором Сингером» (PDF) , Notices of AMS , стр. 223–231
• RR Seeley и др. (1999) Воспоминания о ранних днях теории индекса и псевдодифференциальных операторов — Частичная стенограмма неформальной беседы после ужина во время симпозиума, состоявшегося в Роскилле, Дания, в сентябре 1998 г.