Теорема Дини

Достаточный критерий равномерной сходимости

В математической области анализа теорема Дини гласит , что если монотонная последовательность непрерывных функций сходится поточечно на компактном пространстве и если предельная функция также непрерывна, то сходимость равномерная. ^[1]

Официальное заявление

Если — компактное топологическое пространство , а — монотонно возрастающая последовательность (имеется в виду для всех и ) непрерывных вещественных функций, на которой сходится поточечно к непрерывной функции , то сходимость равномерная . Тот же вывод справедлив, если монотонно убывает, а не возрастает. Теорема названа в честь Улисса Дини . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Это одна из немногих ситуаций в математике, где поточечная сходимость подразумевает равномерную сходимость; ключом является больший контроль, подразумеваемый монотонностью. Предельная функция должна быть непрерывной, поскольку равномерный предел непрерывных функций обязательно непрерывен. Непрерывность предельной функции не может быть выведена из другой гипотезы (рассмотреть в .) ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Доказательство

Пусть дано. Для каждого , пусть , и пусть будет множеством таких , что . Каждое является непрерывным, и поэтому каждое является открытым (потому что каждое является прообразом открытого множества при , непрерывной функции). Так как является монотонно возрастающим, является монотонно убывающим, то следует, что последовательность является возрастающей (т.е. для всех ). Так как сходится поточечно к , то следует, что набор является открытым покрытием . В силу компактности существует конечное подпокрытие, и так как являются возрастающими, наибольшее из них также является покрытием. Таким образом, мы получаем, что существует некоторое положительное целое число такое, что . То есть, если и является точкой в ​​, то , как и требовалось. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g_{n}=f-f_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g_{n}(x)<\varepsilon }$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (g_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (E_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{N}=X}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon }$

Примечания

1. Эдвардс 1994, стр. 165. Фридман 2007, стр. 199. Грейвс 2009, стр. 121. Томсон, Брукнер и Брукнер 2008, стр. 385.
2. Согласно Edwards 1994, стр. 165, «[Эта теорема] называется теоремой Дини, потому что Улисс Дини (1845–1918) представил ее первоначальную версию в своей книге по теории функций действительной переменной, опубликованной в Пизе в 1878 году».

Ссылки

• Бартл, Роберт Г. и Шерберт Дональд Р. (2000) «Введение в действительный анализ, третье издание» Wiley. стр. 238. – Представлено доказательство с использованием калибровок.
• Эдвардс, Чарльз Генри (1994) [1973]. Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2.
• Грейвс, Лоуренс Мюррей (2009) [1946]. Теория функций действительных переменных . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47434-2.
• Фридман, Авнер (2007) [1971]. Расширенный исчисление . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6.
• Йост, Юрген (2005) Postmodern Analysis, Третье издание, Springer. См. теорему 12.1 на стр. 157 для случая монотонного возрастания.
• Рудин, Уолтер Р. (1976) Принципы математического анализа, третье издание, Макгроу–Хилл. См. теорему 7.13 на стр. 150 для случая монотонного убывания.
• Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008) [2001]. Элементарный вещественный анализ . ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.