Теорема Шарковского

Математическое правило

В математике теорема Шарковского ( также пишется как Шарковский , Шарковский , Шарковский или Сарковский ), названная в честь Александра Николаевича Шарковского , опубликовавшего ее в 1964 году, является результатом о дискретных динамических системах . ^[1] Одним из следствий теоремы является то, что если дискретная динамическая система на действительной прямой имеет периодическую точку периода 3, то она должна иметь периодические точки любого другого периода.

Заявление

Для некоторого интервала предположим, что — непрерывная функция . Число называется периодической точкой периода , если , где обозначает итеративную функцию, полученную путем композиции копий . Говорят, что число имеет наименьший период , если, кроме того, для всех . Теорема Шарковского касается возможных наименьших периодов периодических точек . Рассмотрим следующее упорядочение положительных целых чисел , иногда называемое упорядочением Шарковского: ^[2] ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f:I\to I}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{(m)}(x)=x}$ ${\displaystyle f^{(m)}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x)\neq x}$ ${\displaystyle 0<k<m}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}}$$

Он состоит из:

• нечетные числа в порядке возрастания , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{0}}$
• 2 раза больше нечетных чисел в порядке возрастания , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{1}}$
• 4 раза по нечетным числам в порядке возрастания , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{2}}$
• 8 раз нечетные числа , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{3}}$
• и т. д. ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{m}}$
• наконец, степени двойки в порядке убывания . ${\displaystyle =2^{n}}$

Этот порядок является полным порядком : каждое положительное целое число появляется ровно один раз где-то в этом списке. Однако это не вполне порядок . В хорошо порядке каждое подмножество имело бы самый ранний элемент, но в этом порядке нет самой ранней степени двойки.

Теорема Шарковского утверждает, что если имеет периодическую точку наименьшего периода , а в указанном выше порядке предшествует , то имеет также периодическую точку наименьшего периода . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

Одним из следствий является то, что если имеет только конечное число периодических точек, то все они должны иметь периоды, которые являются степенями двойки. Более того, если есть периодическая точка периода три, то есть периодические точки всех других периодов. ${\displaystyle f}$

Теорема Шарковского не утверждает, что существуют устойчивые циклы этих периодов, а только то, что существуют циклы этих периодов. Для таких систем, как логистическое отображение , бифуркационная диаграмма показывает диапазон значений параметров, для которых, по-видимому, единственный цикл имеет период 3. На самом деле, там должны быть циклы всех периодов, но они неустойчивы и поэтому не видны на сгенерированном компьютером изображении.

Предположение о непрерывности важно. Без этого предположения разрывная кусочно-линейная функция, определенная как: для которой каждое значение имеет период 3, была бы контрпримером. Аналогично существенным является предположение об определении на интервале. В противном случае , которая определена на действительных числах, за исключением единицы: и для которой каждое ненулевое значение имеет период 3, была бы контрпримером. ${\displaystyle f:[0,3)\to [0,3)}$ $${\displaystyle f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {for\ } 2\leq x<3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$

Обобщения и связанные с ними результаты

Шарковский также доказал обратную теорему: каждое верхнее множество указанного порядка является множеством периодов для некоторой непрерывной функции из интервала в себя. Фактически все такие множества периодов достигаются семейством функций , для , за исключением пустого множества периодов, которое достигается , . ^{[3] [4]} ${\displaystyle T_{h}:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)}$ ${\displaystyle h\in [0,1]}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x+1}$

С другой стороны, с дополнительной информацией о комбинаторной структуре отображения интервала, действующего на точки периодической орбиты, точка периода n может форсировать период 3 (и, следовательно, все периоды). А именно, если тип орбиты (циклическая перестановка, генерируемая отображением, действующим на точки периодической орбиты) имеет так называемую растягивающую пару, то это подразумевает существование периодической точки периода 3. Можно показать (в асимптотическом смысле), что почти все циклические перестановки допускают по крайней мере одну растягивающую пару, и, следовательно, почти все типы орбит подразумевают период 3. ^[5]

Тянь-Йен Ли и Джеймс А. Йорк в 1975 году показали, что существование цикла периода 3 не только подразумевает существование циклов всех периодов, но, кроме того, подразумевает существование неисчислимой бесконечности точек, которые никогда не отображаются ни в один цикл ( хаотические точки ) — свойство, известное как период 3 подразумевает хаос . ^[6]

Теорема Шарковского не применима непосредственно к динамическим системам на других топологических пространствах. Легко найти отображение окружности с периодическими точками только периода 3: например, возьмем поворот на 120 градусов. Но возможны некоторые обобщения, обычно включающие группу классов отображений пространства за вычетом периодической орбиты. Например, Питер Клоден показал, что теорема Шарковского верна для треугольных отображений, т. е. отображений, для которых компонент f _i зависит только от первых i компонент x ₁ ,..., x _i . ^[7]

Ссылки

1. Шарковский, О. М. (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинский мат. ж . 16 : 61–71.
2. К. Бернс, Б. Хассельблатт, «Теорема Шарковского: Естественное прямое доказательство» (2008). Доступ 3 февраля 2023 г.
3. Alsedà, L.; Llibre, J.; Misiurewicz, M. (2000). Комбинаторная динамика и энтропия в измерении один . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4053-0.
4. Бернс, К.; Хассельблатт, Б. (2011). «Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство». American Mathematical Monthly . 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784 . doi :10.4169/amer.math.monthly.118.03.229. S2CID  15523008. 
5. Lundberg, Erik (2007). «Почти все типы орбит подразумевают период-3». Топология и ее приложения . 154 (14): 2741–2744. doi : 10.1016/j.topol.2007.05.009 .
6. Li, TY; Yorke, JA (1975). «Период три подразумевает хаос». American Mathematical Monthly . 82 (10): 985–992. Bibcode : 1975AmMM...82..985L. doi : 10.1080/00029890.1975.11994008. JSTOR  2318254.
7. Клёден, П. Е. (1979). «О порядке сосуществования циклов Шарковского». Bull. Austral. Math. Soc . 20 (2): 171–178. doi : 10.1017/S0004972700010819 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Шарковского». MathWorld .
• Теорема Шарковского на PlanetMath .
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Мисюревич, Михал (ноябрь 1997 г.). «Замечания о теореме Шарковского». The American Mathematical Monthly . 104 (9): 846–847.
• Кейт Бернс и Борис Хассельблатт, Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство
• scholarpedia: Шарковский упорядочивание Александра Николаевича Шарковского