В математике четность – это свойство целого числа , является ли оно четным или нечетным . Целое число считается четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно не делится. [1] Например, −4, 0 и 82 — четные числа, а —3, 5, 7 и 21 — нечетные числа.
Приведенное выше определение четности применимо только к целым числам, поэтому его нельзя применить к таким числам, как 1/2 или 4,201. См. раздел «Высшая математика» ниже, где описаны некоторые расширения понятия четности на более широкий класс «числ» или в других, более общих условиях.
Четные и нечетные числа имеют противоположные четности, например, 22 (четное число) и 13 (нечетное число) имеют противоположные четности. В частности, четность нуля четна. [2] Любые два последовательных целых числа имеют противоположную четность. Число (то есть целое число), выраженное в десятичной системе счисления , является четным или нечетным в зависимости от того, является ли его последняя цифра четной или нечетной. То есть, если последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9, то она нечетная; в противном случае оно четное, поскольку последняя цифра любого четного числа равна 0, 2, 4, 6 или 8. Та же идея будет работать с любым четным основанием. В частности, число, выраженное в двоичной системе счисления, является нечетным, если его последняя цифра равна 1; и оно четно, если его последняя цифра равна 0. В нечетном основании число четно в соответствии с суммой его цифр - оно четно тогда и только тогда, когда сумма его цифр четна. [3]
Четное число – это целое число вида
Эквивалентное определение состоит в том, что четное число делится на 2:
Множества четных и нечетных чисел можно определить следующим образом: [5]
Множество четных чисел является простым идеалом , а факторкольцо — полем с двумя элементами . Тогда четность можно определить как уникальный гомоморфизм колец от до , где нечетные числа равны 1, а четные числа равны 0. Последствия этого гомоморфизма рассматриваются ниже.
Следующие законы можно проверить, используя свойства делимости . Они представляют собой особый случай правил модульной арифметики и обычно используются для проверки правильности равенства путем проверки четности каждой стороны. Как и в обычной арифметике, умножение и сложение коммутативны и ассоциативны в арифметике по модулю 2, а умножение дистрибутивно по отношению к сложению. Однако вычитание по модулю 2 идентично сложению, поэтому вычитание также обладает этими свойствами, что неверно для обычной целочисленной арифметики.
По построению предыдущего раздела структура ({even, нечетный}, +, ×) фактически является полем с двумя элементами .
Деление двух целых чисел не обязательно дает целое число. Например, 1, разделенное на 4, равно 1/4, что не является ни четным , ни нечетным, поскольку понятия четного и нечетного применимы только к целым числам. Но когда частное является целым числом, оно будет четным тогда и только тогда, когда делимое имеет больше двух делителей, чем делитель. [6]
Древние греки считали 1, монаду , ни полностью нечетной, ни полностью четной. [7] Некоторые из этих настроений сохранились и в XIX веке: книга Фридриха Вильгельма Августа Фребеля «Воспитание человека » 1826 года поручает учителю тренировать учеников, утверждая, что 1 не является ни четным, ни нечетным, к чему Фребель придает философскую запоздалую мысль:
Здесь хорошо сразу направить внимание ученика на великий, далеко идущий закон природы и мышления. Дело в том, что между двумя относительно различными вещами или идеями всегда стоит третья, находящаяся в своего рода равновесии и как бы объединяющая их. Таким образом, здесь между нечетными и четными числами находится одно число (единица), которое не является ни одним из двух. Точно так же и по форме прямой угол стоит между острым и тупым углами; а в языке — полугласные или стремящиеся между немыми и гласными. Вдумчивый учитель и ученик, наученный думать самостоятельно, вряд ли смогут не заметить эту и другие важные закономерности. [8]
Целочисленные координаты точек в евклидовых пространствах двух и более измерений также имеют четность, обычно определяемую как четность суммы координат. Например, гранецентрированная кубическая решетка и ее многомерные обобщения, Dn - решетки , состоят из всех целочисленных точек, сумма координат которых четна. [9] Эта особенность проявляется в шахматах , где четность поля обозначается его цветом: слоны вынуждены перемещаться между клетками одинаковой четности, тогда как кони чередуют четность между ходами. [10] Эта форма четности широко использовалась для решения проблемы с изуродованной шахматной доской : если с шахматной доски удалить два противоположных угловых поля, то оставшуюся доску нельзя покрыть костяшками домино, потому что каждое домино покрывает одно поле каждой четности, и есть на два квадрата одной четности больше, чем другой. [11]
Четность порядкового числа может быть определена как четная, если число является предельным порядковым числом или предельным порядковым числом плюс конечное четное число, и нечетная в противном случае. [12]
Пусть R — коммутативное кольцо , и пусть I — идеал кольца R с индексом 2. Элементы смежного класса можно назвать четными , а элементы смежного класса можно назвать нечетными . В качестве примера пусть R = Z (2) — локализация Z в простом идеале (2). Тогда элемент R четный или нечетный тогда и только тогда, когда его числитель совпадает с Z .
Четные числа образуют идеал в кольце целых чисел [13] , а нечетные числа — нет — это ясно из того факта, что единичный элемент для сложения, ноль, является элементом только четных чисел. Целое число является четным, если оно соответствует 0 по модулю этого идеала, другими словами, если оно соответствует 0 по модулю 2, и нечетным, если оно соответствует 1 по модулю 2.
Все простые числа нечетны, за одним исключением: простое число 2. [14] Все известные совершенные числа четны; неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа. [15]
Гипотеза Гольдбаха гласит, что каждое четное целое число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел. Современные компьютерные расчеты показали, что эта гипотеза верна для целых чисел, по крайней мере, до 4 × 10 18 , но общего доказательства до сих пор не найдено. [16]
Четность перестановки (согласно определению в абстрактной алгебре ) — это четность количества транспозиций , на которые можно разложить перестановку. [17] Например, (ABC) в (BCA) четно, потому что это можно сделать, поменяв местами A и B, затем C и A (две транспозиции). Можно показать, что ни одна перестановка не может быть разложена как по четному, так и по нечетному числу транспозиций. Следовательно, приведенное выше определение является подходящим. В «Кубике Рубика» , «Мегаминксе» и других извилистых головоломках ходы головоломки допускают только четные перестановки частей головоломки, поэтому четность важна для понимания конфигурационного пространства этих головоломок. [18]
Теорема Фейта–Томпсона утверждает, что конечная группа всегда разрешима, если ее порядок является нечетным числом. Это пример того, как нечетные числа играют роль в сложной математической теореме, где метод применения простой гипотезы «нечетного порядка» далеко не очевиден. [19]
Четность функции описывает, как изменяются ее значения, когда ее аргументы заменяются их отрицаниями. Четная функция, такая как четная степень переменной, дает тот же результат для любого аргумента, что и для его отрицания. Нечетная функция, такая как нечетная степень переменной, дает для любого аргумента отрицание ее результата, если задано отрицание этого аргумента. Функция может быть ни нечетной, ни четной, а в случае f ( x ) = 0 быть одновременно нечетной и четной. [20] Ряд Тейлора четной функции содержит только члены, показатель степени которых является четным числом, а ряд Тейлора нечетной функции содержит только члены, показатель степени которого является нечетным числом. [21]
В комбинаторной теории игр злое число — это число, имеющее четное количество единиц в двоичном представлении , а одиозное число — это число, имеющее нечетное количество единиц в двоичном представлении; эти числа играют важную роль в стратегии игры Кейлса . [22] Функция четности отображает число на количество единиц в его двоичном представлении по модулю 2 , поэтому ее значение равно нулю для злых чисел и единице для одиозных чисел. Последовательность Туэ -Морса , бесконечная последовательность нулей и единиц, имеет 0 в позиции i , когда я злой, и 1 в той позиции, когда я одиозен. [23]
В теории информации бит четности, добавленный к двоичному числу, обеспечивает простейшую форму кода обнаружения ошибок . Если один бит в результирующем значении будет изменен, то оно больше не будет иметь правильной четности: изменение бита в исходном числе дает ему другую четность, чем записанная, а изменение бита четности, не меняя при этом числа, которым оно было полученный из снова дает неправильный результат. Таким образом, все однобитовые ошибки передачи могут быть надежно обнаружены. [24] Некоторые более сложные коды обнаружения ошибок также основаны на использовании нескольких битов четности для подмножеств битов исходного закодированного значения. [25]
В духовых инструментах с цилиндрическим отверстием и фактически закрытых с одного конца, таких как кларнет на мундштуке, создаваемые гармоники нечетно кратны основной частоте . (При цилиндрических трубах, открытых с обоих концов, используемых, например, в некоторых органных упорах , таких как открытый диапазон , гармоники даже кратны одной и той же частоте для заданной длины отверстия, но это приводит к удвоению основной частоты и все воспроизводится кратно этой основной частоте.) См. гармонический ряд (музыка) . [26]
В некоторых странах нумерация домов выбрана таким образом, что дома на одной стороне улицы имеют четные номера, а дома на другой стороне — нечетные. [27] Аналогичным образом, среди пронумерованных автомагистралей в Соединенных Штатах четные числа в первую очередь обозначают шоссе с востока на запад, а нечетные числа в основном обозначают шоссе с севера на юг. [28] Среди номеров рейсов авиакомпаний четные числа обычно обозначают рейсы в восточном или северном направлении, а нечетные числа обычно обозначают рейсы в западном или южном направлении. [29]
