В математике точка Хегнера — это точка на модулярной кривой , которая является образом квадратичной мнимой точки верхней полуплоскости . Они были определены Брайаном Бирчем и названы в честь Курта Хегнера , который использовал схожие идеи для доказательства гипотезы Гаусса о мнимых квадратичных полях класса номер один.
Теорема Гросса–Загира
Теорема Гросса–Загира (Gross & Zagier 1986) описывает высоту точек Хегнера в терминах производной L-функции эллиптической кривой в точке s = 1. В частности, если эллиптическая кривая имеет (аналитический) ранг 1, то точки Хегнера можно использовать для построения рациональной точки на кривой бесконечного порядка (так что группа Морделла–Вейля имеет ранг не менее 1). В более общем смысле, Гросс, Конен и Загир (1987) показали, что точки Хегнера можно использовать для построения рациональных точек на кривой для каждого положительного целого числа n , а высоты этих точек были коэффициентами модулярной формы веса 3/2. Шоу-У Чжан обобщил теорему Гросса–Цагира с эллиптических кривых на случай модулярных абелевых многообразий (Чжан 2001, 2004, Юань , Чжан и Чжан 2009).
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
Колывагин позднее использовал точки Хегнера для построения систем Эйлера и использовал это для доказательства большей части гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера для эллиптических кривых ранга 1. Браун доказал гипотезу Бирча–Суиннертона–Дайера для большинства эллиптических кривых ранга 1 над глобальными полями положительной характеристики (Brown 1994).
Вычисление
Точки Хегнера можно использовать для вычисления очень больших рациональных точек на эллиптических кривых ранга 1 (см. (Watkins 2006) для обзора), которые не могут быть найдены наивными методами. Реализации алгоритма доступны в Magma , PARI/GP и Sage .
Ссылки
- Бирч, Б. (2004), «Точки Хегнера: начало», в Дармон, Анри ; Чжан, Шоу-У (ред.), Точки Хегнера и L-серия Ранкина (PDF) , Публикации Института исследований математических наук, т. 49, Cambridge University Press, стр. 1–10, doi : 10.1017/CBO9780511756375.002, ISBN 0-521-83659-X, МР 2083207.
- Браун, М. Л. (2004), Модули Хегнера и эллиптические кривые , Lecture Notes in Mathematics, т. 1849, Springer-Verlag, doi :10.1007/b98488, ISBN 3-540-22290-1, МР 2082815.
- Дармон, Анри; Чжан, Шоу-Ву, ред. (2004), Точки Хегнера и L-серия Ранкина, Публикации института исследований математических наук, т. 49, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, МР 2083206
- Гросс, Бенедикт Х .; Загер, Дон Б. (1986), «Точки Хигнера и производные L-серии», Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320, Bibcode : 1986InMat..84..225G, doi : 10.1007/BF01388809, MR 0833192 , S2CID 125716869.
- Гросс, Бенедикт Х .; Конен, Винфрид; Загер, Дон (1987), «Точки Хигнера и производные L-серии. II», Mathematische Annalen , 278 (1–4): 497–562, doi : 10.1007/BF01458081, MR 0909238, S2CID 121652706.
- Хегнер, Курт (1952), «Диофантический анализ и модульные функции», Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227–253, doi : 10.1007/BF01174749, MR 0053135, S2CID 120109035.
- Уоткинс, Марк (2006), Некоторые замечания о вычислениях точек Хегнера , arXiv : math.NT/0506325v2.
- Браун, Марк (1994), «О гипотезе Тейта для эллиптических поверхностей над конечными полями», Труды Лондонского мат. общества , 69 (3): 489–514, doi :10.1112/plms/s3-69.3.489.
- Юань, Синьи ; Чжан, Шоу-У; Чжан, Вэй (2009), «Теорема Гросса–Кёнена–Цагира над полностью вещественными полями», Compositio Mathematica , 145 (5): 1147–1162, doi : 10.1112/S0010437X08003734 , S2CID 17981061.
- Чжан, Шоу-У (2001), «Формула Гросса-Загира для GL2», Азиатский журнал математики , 5 (2): 183–290, doi : 10.4310/AJM.2001.v5.n2.a1.
- Чжан, Шоу-У (2004), «Формула Гросса–Загира для GL(2) II», в Darmon, Henri ; Чжан, Шоу-У (ред.), Точки Хегнера и L-серии Ранкина , Mathematical Sciences Research Institute Publications , т. 49, Cambridge University Press , стр. 191–214, doi :10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, МР 2083206.
