Теорема Менелая

Geometric relation on line segments formed by a line cutting through a triangle

Теорема Менелая, случай 1: прямая DEF проходит внутри треугольника △ ABC.

В евклидовой геометрии теорема Менелая , названная в честь Менелая Александрийского , представляет собой утверждение о треугольниках в плоской геометрии . Предположим, у нас есть треугольник △ ABC и трансверсальная линия, которая пересекает BC, AC, AB в точках D, E, F соответственно, причем D, E, F отличны от A, B, C. Слабая версия теоремы утверждает, что

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$$

где "| |" обозначает абсолютное значение (т. е. все длины сегментов положительны).

Теорему можно усилить до утверждения о знаковых длинах отрезков , которое дает некоторую дополнительную информацию об относительном порядке коллинеарных точек. Здесь длина AB считается положительной или отрицательной в зависимости от того, находится ли A слева или справа от B в некоторой фиксированной ориентации линии; например, определяется как имеющее положительное значение, когда F находится между A и B , и отрицательное в противном случае. Подписанная версия теоремы Менелая гласит: ${\displaystyle {\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.}$$

Эквивалентно, ^[1]

$${\displaystyle {\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.}$$

Некоторые авторы по-разному организуют факторы и получают, казалось бы, иное соотношение ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,}$$

Обратное также верно: если точки D, E, F выбраны на BC, AC, AB соответственно так, что

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,}$$

D, E, Fна одной прямой

Теорема очень похожа на теорему Чевы тем, что их уравнения отличаются только знаком. Переписав каждую в терминах перекрестных отношений , обе теоремы можно рассматривать как проективно-двойственные . ^[3]

Доказательства

Теорема Менелая, случай 2: линия DEF полностью находится вне треугольника △ ABC.

Стандартное доказательство [4]

Во-первых, знак левой части будет отрицательным, поскольку либо все три отношения отрицательны (это случай, когда линия DEF не попадает в треугольник (нижняя диаграмма), либо одно отрицательное, а два других положительны, случай где DEF пересекает две стороны треугольника. (См. аксиому Паша .)

Чтобы проверить величину, постройте перпендикуляры из A, B, C к линии DEF и примите их длины a, b, c соответственно. Тогда из подобных треугольников следует, что

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|.}$$

Поэтому,

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {c}{a}}\right|=1.}$$

Для более простого, хотя и менее симметричного способа проверки величины, ^[5] нарисуйте CK параллельно AB , где DEF встречается с CK в точке K. Тогда по подобным треугольникам

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {BF}}{\overline {CK}}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {CK}}}\right|,}$$

CK

Обратное следует как следствие. ^[6] Пусть D, E, F заданы на прямых BC, AC, AB, так что уравнение выполняется. Пусть F' — точка, где DE пересекает AB . Тогда по теореме уравнение справедливо и для D, E, F' . Сравнивая эти два,

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}\ .}$$

F = F'.

Доказательство с использованием гомотетий

Следующее доказательство ^[7] использует только понятия аффинной геометрии , в частности гомотетий . Независимо от того, являются ли D , E, F коллинеарными, существуют три гомотетии с центрами D, E, F , которые соответственно отправляют B в C , C в A и A в B. Композиция трех тогда является элементом группы гомотетий-переводов, который фиксирует B , поэтому это гомотетия с центром B , возможно, с соотношением 1 (в этом случае это тождество). Эта композиция фиксирует прямую DE тогда и только тогда, когда F коллинеарна D, E (поскольку первые две гомотетии заведомо фиксируют DE , а третья — только в том случае, если F лежит на DE ). Следовательно, D, E, F коллинеарны тогда и только тогда, когда эта композиция тождественна, что означает, что величина произведения трех отношений равна 1:

$${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,}$$

История

Неизвестно, кто на самом деле открыл эту теорему; однако самая старая из сохранившихся экспозиций появляется в «Сферике » Менелая. В этой книге плоская версия теоремы используется в качестве леммы для доказательства сферической версии теоремы. ^[8]

В «Альмагесте » Птолемей применяет теорему к ряду задач сферической астрономии. ^[9] Во времена Золотого века ислама мусульманские учёные посвятили ряд работ, которые занимались исследованием теоремы Менелая, которую они называли «предложением о секущих» ( шакл аль-катта ). Полный четырехугольник в их терминологии назывался «фигурой секущих». ^[9] В работе Аль-Бируни « Ключи астрономии» перечислен ряд таких работ, которые можно классифицировать как исследования как часть комментариев к «Альмагесту» Птолемея, как и в работах ан-Найризи и аль-Хазина, где каждый продемонстрировал частные случаи теоремы Менелая, которые привели к правилу синуса , ^[10] или работы, составленные как самостоятельные трактаты, такие как:

• «Трактат о фигуре секущих» ( Рисала фи шакл аль-катта ) Сабита ибн Курры . ^[9]
• Книга Хусама ад-Дина ас-Салара «Снятие завесы с тайн фигуры секущих» (Кашф аль-кина 'ан асрар аль-шакл аль-катта'), также известная как «Книга о фигуре секущих» ( Китаб аль-шакл аль-катта' ), или в Европе как «Трактат о полном четырехугольнике» . На утраченный трактат ссылались Шараф ад-Дин ат-Туси и Насир ад-Дин ат-Туси . ^[9]
• Работа аль-Сиджи . ^[10]
• Тахзиб Абу Насра ибн Ирака . ^[10]
• Рошди Рашид и Атанас Пападопулос, Сферики Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави (Критическое издание Сферик Менелая из арабских рукописей, с историческими и математическими комментариями), Де Грюйтер, Серия: Scientia Graeco-Arabica , 21, 2017, 890 с. ISBN  978-3-11-057142-4

Рекомендации

1. Рассел, с. 6.
2. Джонсон, Роджер А. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry , Dover, p. 147, ISBN 978-0-486-46237-0
3. Бенитес, Хулио (2007). «Единое доказательство теорем Чевы и Менелая с использованием проективной геометрии» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 11 (1): 39–44.
4. Следует за Расселом
5. Следует за Хопкинсом, Джорджем Ирвингом (1902). «Ст. 983». Индуктивная плоская геометрия. округ Колумбия Хит и Ко.
6. Следует за Расселом с некоторым упрощением.
7. См. Мишель Оден, Геометрия, издания BELIN, Париж, 1998: указания к упражнению 1.37, стр. 273
8. Смит, Делавэр (1958). История математики . Том. II. Публикации Courier Dover. п. 607. ИСБН 0-486-20430-8.
9. Рашед, Рошди (1996). Энциклопедия истории арабской науки . Том. 2. Лондон: Рутледж. п. 483. ИСБН 0-415-02063-8.
10. Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафаха и определениях Киблы». Арабские науки и философия . Издательство Кембриджского университета . 21 (1): 1–56. дои : 10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.

• Рассел, Джон Уэлсли (1905). «Гл. 1 §6 «Теорема Менелая»". Чистая геометрия. Clarendon Press.

Внешние ссылки

• Альтернативное доказательство теоремы Менелая от PlanetMath .
• Менелай из Цева
• Цева и Менелай встречаются на дороге
• Менелай и Сева в MathPages
• Демонстрация теоремы Менелая Джея Варендорфа. Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Менелая». Математический мир .