Теорема Клеро (гравитация)

Теорема о гравитации

Рисунок 1: Эллипсоид

Рисунок 2: Каркасная визуализация эллипсоида (сплюснутого сфероида)

Теорема Клеро характеризует поверхностную гравитацию на вязком вращающемся эллипсоиде, находящемся в гидростатическом равновесии под действием его гравитационного поля и центробежной силы. Она была опубликована в 1743 году Алексисом Клодом Клеро в трактате ^[1] , в котором синтезировались физические и геодезические доказательства того, что Земля является сплющенным вращающимся эллипсоидом . ^{[2] [3]} Первоначально она использовалась для связи гравитации в любой точке поверхности Земли с положением этой точки, что позволяло вычислять эллиптичность Земли из измерений гравитации на разных широтах. Сегодня она в значительной степени вытеснена уравнением Сомильяны .

История

Хотя с древности было известно, что Земля имеет форму шара, к XVII веку накапливались доказательства того, что она не является идеальной сферой. В 1672 году Жан Рише нашел первое доказательство того, что гравитация не является постоянной над Землей (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана , и обнаружил, что они отстают на 2+1 ⁄ 2 минуты в день по сравнению с его скоростью в Париже. ^{[4] [5]} Это означало, что ускорение силы тяжести было меньше в Кайенне, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали брать в путешествия в отдаленные части света, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно увеличивается с увеличением широты, причем гравитационное ускорение примерно на 0,5% больше на полюсах, чем на экваторе.

Британский физик Исаак Ньютон объяснил это в своей работе Principia Mathematica (1687), в которой он изложил свою теорию и расчеты относительно формы Земли. ^[6] Ньютон правильно предположил, что Земля не была в точности сферой, а имела сплющенную эллипсоидальную форму, слегка сплющенную на полюсах из-за центробежной силы ее вращения. Используя геометрические расчеты, он привел конкретный аргумент относительно гипотетической эллипсоидальной формы Земли. ^[7]

Целью Principia было не предоставление точных ответов на вопросы о природных явлениях, а теоретизирование потенциальных решений для этих неразрешенных факторов в науке. Ньютон подталкивал ученых к более глубокому изучению необъяснимых переменных. Двумя выдающимися исследователями, которых он вдохновил, были Алексис Клеро и Пьер Луи Мопертюи . Они оба стремились доказать справедливость теории Ньютона о форме Земли. Чтобы сделать это, они отправились в экспедицию в Лапландию в попытке точно измерить дугу меридиана . Из таких измерений они могли вычислить эксцентриситет Земли, степень ее отклонения от идеальной сферы.

Клеро подтвердил, что теория Ньютона о том, что Земля эллипсоидальна, была верной, но что его расчеты были ошибочными, и он написал письмо в Королевское общество Лондона со своими выводами. ^[8] Общество опубликовало статью в Philosophical Transactions в следующем году, 1737. ^[9] В ней Клеро указал (раздел XVIII), что Предложение Ньютона XX Книги 3 не применимо к реальной Земле. В нем говорилось, что вес объекта в некоторой точке Земли зависит только от пропорции его расстояния от центра Земли к расстоянию от центра до поверхности у или над объектом, так что общий вес столба воды в центре Земли будет тем же самым, независимо от того, в каком направлении столб поднимается к поверхности. Ньютон на самом деле сказал, что это было сделано при предположении, что вещество внутри Земли имеет однородную плотность (в Предложении XIX). Ньютон понял, что плотность, вероятно, неравномерна, и предложил это в качестве объяснения того, почему измерения силы тяжести обнаружили большую разницу между полярными и экваториальными областями, чем предсказывала его теория. Однако он также думал, что это будет означать, что экватор находится дальше от центра, чем предсказывала его теория, и Клеро указывает, что верно обратное. Клеро указывает в начале своей статьи, что Ньютон не объяснил, почему он считал, что Земля имеет форму эллипса, а не какого-то другого овала, но что Клеро и Джеймс Стерлинг почти одновременно показали, почему Земля должна быть эллипсоидом в 1736 году.

Статья Клеро также не содержала действительного уравнения, подтверждающего его аргумент. Это вызвало много споров в научном сообществе. Только когда Клеро написал «Théorie de la figure de la terre» в 1743 году, был дан правильный ответ. В ней он обнародовал то, что сегодня более формально известно как теорема Клеро.

Формула

Теорема Клеро гласит, что ускорение силы тяжести g (включая влияние центробежной силы) на поверхности сфероида, находящегося в гидростатическом равновесии (будучи жидкостью или бывшим жидкостью в прошлом, или имеющего поверхность вблизи уровня моря) на широте φ равно: ^{[10] [11]}

$${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\,,}$$

где - значение ускорения свободного падения на экваторе, m - отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, а f - сплющивание меридионального сечения Земли, определяемое как: ${\displaystyle G_{e}}$

$${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}\,,}$$

(где a = большая полуось, b = малая полуось). Вклад центробежной силы составляет приблизительно тогда как само гравитационное притяжение изменяется приблизительно как Эта формула справедлива, когда поверхность перпендикулярна направлению силы тяжести (включая центробежную силу), даже если (как обычно) плотность не постоянна (в этом случае гравитационное притяжение можно рассчитать в любой точке только по форме, без ссылки на ). Для Земли, и в то время как так больше на полюсах, чем на экваторе. ^[12] ${\displaystyle -G_{e}m\cos ^{2}\varphi ,}$ ${\displaystyle G_{e}\left({\frac {3}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi .}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\approx 1/289,}$ ${\displaystyle {\frac {5}{2}}m\approx 1/116,}$ ${\displaystyle f\approx 1/300,}$ ${\displaystyle g}$

Клеро вывел формулу, предполагая, что тело состоит из концентрических коаксиальных сфероидальных слоев постоянной плотности. ^[13] Эта работа была впоследствии продолжена Лапласом , который предположил, что поверхности одинаковой плотности были почти сферическими. ^{[12] [14]} Английский математик Джордж Стокс показал в 1849 году ^[12] , что теорема применима к любому закону плотности, пока внешняя поверхность является сфероидом равновесия. ^{[15] [16]} Историю более поздних разработок и более подробные уравнения для g можно найти в Хане. ^[17]

Вышеприведенное выражение для g было заменено уравнением Сомильяны (в честь Карло Сомильяны ).

Геодезия

Сфероидальная форма Земли является результатом взаимодействия между гравитацией и центробежной силой, вызванной вращением Земли вокруг своей оси. ^{[18] [19]} В своих «Началах» Ньютон предположил , что равновесная форма однородной вращающейся Земли представляет собой эллипсоид вращения с уплощением f , равным 1/230. ^{[20] [21]} В результате гравитация увеличивается от экватора к полюсам. Применив теорему Клеро, Лаплас нашел из 15 значений гравитации, что f = 1/330. Современная оценка составляет 1/298,25642. ^[22] Более подробную информацию см . в разделе «Фигура Земли» .

Подробный отчет о построении эталонной геодезической модели Земли см. в Чатфилде. ^[23]

Ссылки

1. Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique ( Теория формы Земли, выведенная из принципов гидростатики ) Из каталога научных книг в библиотеке Королевского общества.
2. Вольфганг Торге (2001). Геодезия: Введение (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер . п. 10. ISBN 3-11-017072-8.
3. Эдвард Джон Раут (2001). Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами. Том 2. Adamant Media Corporation. стр. 154. ISBN 1-4021-7320-2.Переиздание оригинальной работы, опубликованной в 1908 году издательством Кембриджского университета.
4. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co. стр. 20.
5. Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке». Бюллетень Национального музея США 240: Материалы Музея истории и технологий, перепечатанные в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института . стр. 307. Получено 28.01.2009 .
6. Предложения X–XXIV (Движения небесных тел и моря), Предложения XIX и XX. Оригинал на латыни.
7. Ньютон, Исаак. «Начала», книга III, предложение XIX, задача III .
8. Гринберг, Джон (1995). Проблема формы Земли от Ньютона до Клеро. Нью-Йорк: Cambridge University Press . С. 132. ISBN 0-521-38541-5.
9. Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование относительно фигуры таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность непрерывно меняется от центра к поверхности». Философские труды . JSTOR  103921.
10. WW Rouse Ball. Краткий обзор истории математики (4-е издание, 1908 г.)
11. Уолтер Уильям Рауз Болл (1901). Краткое изложение истории математики (3-е изд.). Macmillan. стр. 384. « Краткое изложение истории математики» (4-е изд., 1908) В. В. Рауз Болла.
12. Stokes, GG (1849). «О притяжениях и теореме Клеро». The Cambridge and Dublin Mathematical Journal . 4 : 194–219.
13. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики (4-е изд.). Лондон: Charles Griffin & Co., стр. 22–23.
14. Айзек Тодхантер (январь 1999). История математических теорий притяжения и фигуры Земли со времен Ньютона до времен Лапласа. Том 2. Elibron Classics. ISBN 1-4021-1717-5.Перепечатка оригинального издания 1873 года, опубликованного Macmillan and Co.
15. Осмонд Фишер (1889). Физика земной коры. Macmillan and Co. стр. 27.
16. Джон Генри Пойнтинг; Джозеф Джон Томсон (1907). Учебник физики. К. Гриффин. стр. 22. Теорема Клеро.
17. Дело НАСА О равновесной фигуре Земли Мохаммада А. Хана (1968)
18. Джон П. Винти; Джим Дж. Дер; Нино Л. Бонавито (1998). Орбитальная и небесная механика. Прогресс в астронавтике и аэронавтике, т. 177. Американский институт аэронавтики и астронавтики . стр. 171. ISBN 1-56347-256-2.
19. Артур Гордон Вебстер (1904). Динамика частиц и твердых, упругих и жидких тел: лекции по математической физике. Б. Г. Тойбнер . стр. 468.
20. Исаак Ньютон: Principia Book III Proposition XIX Problem III, стр. 407 в переводе Эндрю Мотта.
21. См . Principia в Интернете на сайте Andrew Motte Translation
22. Таблица 1.1 Числовые стандарты IERS (2003)
23. Аверил Б. Чатфилд (1997). Основы высокоточной инерциальной навигации. Том 174 в Progress in Astronautics and Aeronautics . Американский институт аэронавтики и астронавтики. Глава 1, часть VIII, стр. 7. ISBN 1-56347-243-0.