Дигамма-функция

Математическая функция

Дигамма-функция , визуализированная с помощью раскраски домена ${\displaystyle \psi (z)}$

Графики дигамма-функций и следующих трех полигамма-функций вдоль действительной прямой (они имеют действительные значения на действительной прямой)

В математике дигамма -функция определяется как логарифмическая производная гамма -функции : ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

Это первая из полигамма-функций . Эта функция строго возрастает и строго вогнута на , ^[4] и асимптотически ведет себя как ^[5] ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

для комплексных чисел с большим модулем ( ) в секторе с некоторой бесконечно малой положительной константой . ${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Функцию дигаммы часто обозначают как или Ϝ ^[6] (заглавная форма архаичной греческой согласной дигаммы, означающей двойную гамма ). ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$

Отношение к гармоническим числам

Гамма-функция подчиняется уравнению

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

Логарифмируя обе части и используя свойство функционального уравнения логарифмической гамма-функции, получаем:

${\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),}$

Дифференцируя обе части по z, получаем:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Так как гармонические числа определяются для положительных целых чисел n как

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

дигамма-функция связана с ними соотношением

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

где H ₀ = 0, а γ — константа Эйлера–Маскерони . Для полуцелых аргументов дигамма-функция принимает значения

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

Интегральные представления

Если действительная часть z положительна, то дигамма-функция имеет следующее интегральное представление, полученное Гауссом: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

Объединение этого выражения с интегральным тождеством для константы Эйлера–Маскерони дает: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

Интеграл — это гармоническое число Эйлера , поэтому предыдущую формулу можно также записать ${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Следствием является следующее обобщение рекуррентного соотношения:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Интегральное представление Дирихле имеет вид: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

Интегральное представление Гаусса можно использовать для получения начала асимптотического разложения . ^[8] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Эта формула также является следствием первого интеграла Бине для гамма-функции. Интеграл может быть распознан как преобразование Лапласа .

Второй интеграл Бине для гамма-функции дает другую формулу , которая также дает первые несколько членов асимптотического разложения: ^[9] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Из определения и интегрального представления гамма-функции получаем ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

с . ^[10] ${\displaystyle \Re z>0}$

Бесконечное представление продукта

Функция является целой функцией ^[11] и может быть представлена ​​бесконечным произведением ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Здесь — k -й ноль (см. ниже), а — постоянная Эйлера–Маскерони . ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Примечание: Это также равно из-за определения дигамма-функции: . ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

Представление серии

Формула ряда

Формула произведения Эйлера для гамма-функции в сочетании с функциональным уравнением и тождеством для константы Эйлера–Маскерони дает следующее выражение для дигамма-функции, справедливое в комплексной плоскости вне отрицательных целых чисел (Абрамовиц и Стигун 6.3.16): ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots .\end{aligned}}}$

Оценка сумм рациональных функций

Вышеприведенное тождество можно использовать для оценки сумм вида

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

где p ( n ) и q ( n ) — многочлены от n .

Выполнение дроби по u n _в комплексном поле, в случае, когда все корни q ( n ) являются простыми корнями,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

Для того чтобы ряды сошлись,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

в противном случае ряд будет больше гармонического ряда и, следовательно, расходиться. Следовательно

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

При разложении в ряд полигамма-функции более высокого ранга обобщенную формулу можно представить в виде

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

при условии, что ряд слева сходится.

ряд Тейлора

Дигамма имеет рациональный дзета-ряд , заданный рядом Тейлора при z = 1. Это

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},}$

которая сходится при | z | < 1 . Здесь ζ ( n ) — дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица .

ряд Ньютона

Ряд Ньютона для дигаммы, иногда называемый рядом Штерна , выведенный Морицем Абрахамом Штерном в 1847 году, ^{[12] [13] [14]} выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (s)&=-\gamma +(s-1)-{\frac {(s-1)(s-2)}{2\cdot 2!}}+{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot 3!}}\cdots ,\quad \Re (s)>0,\\&=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s-1}{k}}\cdots ,\quad \Re (s)>0.\end{aligned}}}$

где (^с
_к) —биномиальный коэффициент. Его также можно обобщить до

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

где м = 2, 3, 4, ... ^[13]

Ряды с коэффициентами Грегори, числами Коши и полиномами Бернулли второго рода

Существуют различные ряды для дигаммы, содержащие рациональные коэффициенты только для рациональных аргументов. В частности, ряд с коэффициентами Грегори G _n имеет вид

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

где ( v ) _n — растущий факториал ( v ) _n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) — коэффициенты Грегори более высокого порядка с G _n (1) = G _n , Γ — гамма-функция , а ζ — дзета-функция Гурвица . ^{[15] [13]} Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C _n имеет вид ^{[15] [13]}

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

Ряд с полиномами Бернулли второго рода имеет следующий вид ^[13]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

где ψ _n ( a ) — полиномы Бернулли второго рода, определяемые порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

Это может быть обобщено до

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

где полиномы N _n,r ( a ) задаются следующим порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

так что N _n,1 ( a ) = ψ _n ( a ) . ^[13] Аналогичные выражения с логарифмом гамма-функции включают эти формулы ^[13]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

и

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},}$

где и . ${\displaystyle \Re (v)>-a}$ ${\displaystyle r=2,3,4,\ldots }$

Формула отражения

Дигамма- и полигамма-функции удовлетворяют формулам отражения, аналогичным формуле гамма-функции :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$.

${\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$.

Формула рекуррентности и характеристика

Дигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Таким образом, можно сказать, что это «телескоп» ⁠1/х⁠ , для одного есть

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

где Δ — оператор прямой разности . Это удовлетворяет рекуррентному соотношению частичной суммы гармонического ряда , что подразумевает формулу

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

где γ — постоянная Эйлера–Маскерони .

На самом деле, ψ является единственным решением функционального уравнения

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

которая является монотонной на R ⁺ и удовлетворяет F (1) = − γ . Этот факт немедленно следует из единственности функции Γ, учитывая ее рекуррентное уравнение и ограничение выпуклости. Это подразумевает полезное разностное уравнение:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Некоторые конечные суммы, включающие дигамма-функцию

Существует множество конечных формул суммирования для дигамма-функции. Основные формулы суммирования, такие как

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

принадлежат Гауссу. ^{[16] [17]} Более сложные формулы, такие как

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

обязаны своим появлением работам некоторых современных авторов (см., например, Приложение B в Blagouchine (2014) ^[18] ).

У нас также есть ^[19]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

Дигамма-теорема Гаусса

Для положительных целых чисел r и m ( r < m ) дигамма-функция может быть выражена через постоянную Эйлера и конечное число элементарных функций ^[20]

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

которое справедливо, в силу своего уравнения рекуррентности, для всех рациональных аргументов.

Теорема умножения

Теорема умножения -функции эквивалентна ^[21] ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}$

Асимптотическое расширение

Дигамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

где B _k — k- е число Бернулли , а ζ — дзета-функция Римана . Первые несколько членов этого разложения:

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Хотя бесконечная сумма не сходится ни для какого z , любая конечная частичная сумма становится все более точной по мере увеличения z .

Расширение можно найти, применив формулу Эйлера–Маклорена к сумме ^[22]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

Расширение также может быть получено из интегрального представления, полученного из второй интегральной формулы Бине для гамма-функции. Разложение в геометрический ряд и подстановка интегрального представления чисел Бернулли приводит к тому же асимптотическому ряду, что и выше. Более того, разложение только конечного числа членов ряда дает формулу с явным остаточным членом: ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Неравенства

При x > 0 функция

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

полностью монотонна и, в частности, положительна. Это следствие теоремы Бернштейна о монотонных функциях, примененной к интегральному представлению, полученному из первого интеграла Бине для гамма-функции. Кроме того, по неравенству выпуклости подынтегральное выражение в этом представлении ограничено сверху величиной . Следовательно ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$ ${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

также полностью монотонна. Отсюда следует, что для всех x > 0 ,

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

Это восстанавливает теорему Хорста Альцера. ^[23] Альцер также доказал, что для s ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Похожие оценки были получены Элезовичем, Джордано и Пекаричем, которые доказали, что при x > 0

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

где — константа Эйлера–Маскерони . ^[24] Константы ( и ), появляющиеся в этих границах, являются наилучшими из возможных. ^[25] ${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$

Из теоремы о среднем значении следует следующий аналог неравенства Гаучи : если x > c , где c ≈ 1,461 — единственный положительный действительный корень дигамма-функции, и если s > 0 , то

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда s = 1. ^[26 ]

Вдохновленные неравенством гармонического среднего значения для классической гамма-функции, Хорцт Альцер и Грэм Джеймсон доказали, среди прочего, неравенство гармонического среднего значения для дигамма-функции:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$для ${\displaystyle x>0}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда . ^[27] ${\displaystyle x=1}$

Расчет и аппроксимация

Асимптотическое разложение дает простой способ вычисления ψ ( x ), когда действительная часть x велика. Для вычисления ψ ( x ) для малых x рекуррентное соотношение

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

может быть использовано для смещения значения x на более высокое значение. Бил ^[28] предлагает использовать указанную выше рекуррентность для смещения x на значение больше 6, а затем применить указанное выше расширение с членами выше x ^14, отсеченными, что дает «более чем достаточную точность» (по крайней мере 12 цифр, за исключением около нулей).

Когда x стремится к бесконечности, ψ ( x ) становится произвольно близким к ln( x − ⁠1/2⁠ ) ​​и ln x . При движении вниз от x + 1 до x ψ уменьшается на ⁠1/х⁠ , ln( x − ⁠1/2⁠ ) ​​уменьшается на ln( x + ⁠1/2⁠ ) ​​/ ( х − ⁠1/2⁠ ) ​​, что больше ⁠1/х⁠ , а ln x уменьшается на ln(1 + ⁠1/х⁠ ) ​​, что меньше ⁠1/х⁠ . Из этого мы видим, что для любого положительного x , большего ⁠1/2⁠ ,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

или, для любого положительного x ,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

Экспонента exp ψ ( x ) приблизительно равна x − ⁠1/2⁠ для больших x , но приближается к x при малых x , приближаясь к 0 при x = 0 .

Для x < 1 мы можем вычислить пределы, основываясь на том факте, что между 1 и 2 ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , поэтому

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

или

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

Из приведенного выше асимптотического ряда для ψ можно вывести асимптотический ряд для exp(− ψ ( x )) . Ряд хорошо соответствует общему поведению, то есть он ведет себя асимптотически так, как и должен для больших аргументов, и также имеет нуль неограниченной кратности в начале координат.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Это похоже на разложение Тейлора exp(− ψ (1 / y )) при y = 0 , но оно не сходится. ^[29] (Функция не является аналитической на бесконечности.) Подобный ряд существует для exp( ψ ( x )) , который начинается с ${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Если вычислить асимптотический ряд для ψ ( x +1/2), то окажется, что нечетных степеней x нет (нет члена x ⁻¹ ). Это приводит к следующему асимптотическому разложению, которое экономит вычисление членов четного порядка.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

По духу приближению Ланцоша -функции аналогично приближение Споуджа . ${\displaystyle \Gamma }$

Другой альтернативой является использование рекуррентного соотношения или формулы умножения для смещения аргумента в диапазон и вычисления там ряда Чебышева. ^{[30] [31]} ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$

Особые ценности

Функция дигамма имеет значения в замкнутой форме для рациональных чисел, как результат теоремы Гаусса о дигамме. Некоторые из них перечислены ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

Более того, взяв логарифмическую производную от или , где является действительным значением, можно легко вывести, что ${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$ ${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

Помимо теоремы Гаусса о дигамме, для действительной части вообще не известна такая замкнутая формула. Например, в мнимой единице мы имеем численное приближение

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

Корни дигамма-функции

Корни дигамма-функции являются седловыми точками комплекснозначной гамма-функции. Таким образом, они все лежат на действительной оси . Единственная точка на положительной действительной оси — это единственный минимум действительнозначной гамма-функции на R ⁺ при x ₀ =1,461 632 144 968 362 341 26 ... . Все остальные встречаются поодиночке между полюсами на отрицательной оси:

х ₁ =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

х ₂ =−1,573 498 473 162 390 458 77 ...

х ₃ =−2,610 720 868 444 144 650 00 ...

х ₄ =−3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

Еще в 1881 году Шарль Эрмит заметил ^[32], что

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

выполняется асимптотически. Лучшее приближение расположения корней дается формулой

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

и используя еще один термин, становится еще лучше

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

которые оба вытекают из формулы отражения через

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

и заменив ψ ( x _n ) его не сходящимся асимптотическим разложением. Правильный второй член этого разложения ⁠1/2 н⁠ , где данный метод хорошо подходит для аппроксимации корней с малыми n .

Можно дать еще одно усовершенствование формулы Эрмита: ^[11]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

Что касается нулей, то следующие тождества бесконечной суммы были недавно доказаны Иштваном Мезё и Михаэлем Хоффманом ^{[11] [33]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

В общем, функция

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

может быть определена и подробно изучена цитируемыми авторами.

Следующие результаты ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

также остаются в силе.

Регуляризация

Дигамма-функция появляется при регуляризации расходящихся интегралов

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

этот интеграл можно аппроксимировать расходящимся общим гармоническим рядом, но к ряду можно приписать следующее значение

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

Смотрите также

• Полигамма-функция
• Тригамма-функция
• Чебышевские разложения дигамма-функции в Wimp, Jet (1961). "Полиномиальные приближения интегральных преобразований". Math. Comp . 15 (74): 174–178. doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .

Ссылки

1. Абрамовиц, М.; Стиган, IA, ред. (1972). "Функция 6,3 фунта на квадратный дюйм (дигамма)". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (10-е изд.). Нью-Йорк: Довер. С. 258–259.
2. "NIST. Цифровая библиотека математических функций (DLMF), Глава 5".
3. Вайсштейн, Эрик В. "Дигамма-функция". MathWorld .
4. Альцер, Хорст; Джеймсон, Грэм (2017). «Гармоническое среднее неравенство для дигамма-функции и связанные с ним результаты» (PDF) . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 137 : 203–209. дои : 10.4171/RSMUP/137-10.
5. "NIST. Цифровая библиотека математических функций (DLMF), 5.11".
6. Пэрман, Элеанор (1919). Таблицы дигамма- и тригамма-функций. Cambridge University Press. стр. 5.
7. Уиттакер и Уотсон, 12.3.
8. Уиттакер и Уотсон, 12.31.
9. Уиттекер и Уотсон, 12.32, пример.
10. "NIST. Цифровая библиотека математических функций (DLMF), 5.9".
11. Mezo, Иштван; Хоффман, Майкл Э. (2017). «Нули дигамма-функции и ее аналог G -функции Барнса». Интегральные преобразования и специальные функции . 28 (11): 846–858. дои : 10.1080/10652469.2017.1376193. S2CID  126115156.
12. Нёрлунд, штат Невада (1924). Vorlesungen über Differenzenrechnung . Берлин: Шпрингер.
13. Blagouchine, Ia. V. (2018). «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) . ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Bibcode :2016arXiv160602044B.
14. "Интеграл Леонарда Эйлера: Исторический профиль гамма-функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2014-09-12 . Получено 11 апреля 2022 .
15. Blagouchine, Ia. V. (2016). «Два ряда разложений для логарифма гамма-функции, включающих числа Стирлинга и содержащих только рациональные коэффициенты для определенных аргументов, связанных с π ⁻¹ ». Журнал математического анализа и приложений . 442 : 404–434. arXiv : 1408.3902 . Bibcode : 2014arXiv1408.3902B. doi : 10.1016/J.JMAA.2016.04.032. S2CID  119661147.
16. Р. Кэмпбелл. Les intégrales eulériennes et leurs application , Дюно, Париж, 1966.
17. Х. М. Шривастава и Дж. Чой. Серия, связанная с дзета-функциями и связанными с ними функциями , Kluwer Academic Publishers, Нидерланды, 2001.
18. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). «Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с этим суммирования». Journal of Number Theory . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009.
19. Классические топики в теории комплексных функций . стр. 46.
20. Чой, Джунесанг; Цвижович, Джурдже (2007). «Значения полигамма-функций при рациональных аргументах». Журнал физики A. 40 ( 50): 15019. Bibcode : 2007JPhA...4015019C. doi : 10.1088/1751-8113/40/50/007. S2CID  118527596.
21. Градштейн, ИС; Рыжик, ИМ (2015). "8.365.5". Таблица интегралов, рядов и произведений . Elsevier Science. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
22. Бернардо, Хосе М. (1976). "Алгоритм AS 103 psi(дигамма-функция) вычисление" (PDF) . Прикладная статистика . 25 : 315–317. doi :10.2307/2347257. JSTOR  2347257.
23. Альцер, Хорст (1997). «О некоторых неравенствах для гамма- и пси-функций» (PDF) . Математика вычислений . 66 (217): 373–389. doi :10.1090/S0025-5718-97-00807-7. JSTOR  2153660.
24. Элезович, Невен; Джордано, Карла; Печарич, Йосип (2000). «Лучшие оценки в неравенстве Гаучи». Математические неравенства и приложения (2): 239–252. doi : 10.7153/MIA-03-26 .
25. Го, Бай-Ни; Ци, Фэн (2014). «Резкие неравенства для пси-функции и чисел гармоник». Анализ . 34 (2). arXiv : 0902.2524 . doi : 10.1515/anly-2014-0001. S2CID  16909853.
26. Лафорджиа, Андреа; Наталини, Пьерпаоло (2013). «Экспоненциальные, гамма- и полигамма-функции: простые доказательства классических и новых неравенств». Журнал математического анализа и приложений . 407 (2): 495–504. doi : 10.1016/j.jmaa.2013.05.045 .
27. Альцер, Хорст; Джеймсон, Грэм (2017). «Гармоническое среднее неравенство для дигамма-функции и связанные с ним результаты» (PDF) . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 70 (201): 203–209. дои : 10.4171/RSMUP/137-10. ISSN  0041-8994. LCCN  50046633. OCLC  01761704. S2CID  41966777.
28. Бил, Мэтью Дж. (2003). Вариационные алгоритмы для приближенного байесовского вывода (PDF) (диссертация). Подразделение вычислительной нейронауки Гэтсби, Университетский колледж Лондона. С. 265–266.
29. Если бы он сходился к функции f ( y ), то ln( f ( y ) / y ) имел бы тот же ряд Маклорена , что и ln(1 / y ) − φ (1 / y ) . Но это не сходится, потому что ряд, данный ранее для φ ( x ), не сходится.
30. Wimp, Jet (1961). «Полиномиальные приближения интегральных преобразований». Math. Comp . 15 (74): 174–178. doi :10.1090/S0025-5718-61-99221-3. JSTOR  2004225.
31. Матар, Р. Дж. (2004). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». Журнал вычислительной и прикладной математики . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . doi : 10.1016/j.cam.2005.10.013.Приложение E
32. Эрмит, Чарльз (1881). «Sur l'intégrale Eulérienne de Seconde espéce». Журнал für die reine und angewandte Mathematik (90): 332–338. дои : 10.1515/crll.1881.90.332. S2CID  118866486.
33. Мезё, Иштван (2014). «Заметка о нулях и локальных экстремумах функций, связанных с Дигаммой». arXiv : 1409.2971 [math.CV].

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A020759 (десятичное разложение (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2), где Gamma(x) обозначает гамма-функцию) — psi(1/2)

OEIS : A047787 фунтов на квадратный дюйм (1/3),OEIS: A200064 фунтов на квадратный дюйм (2/3), OEIS : A020777 фунтов на квадратный дюйм (1/4), OEIS : A200134 фунтов на квадратный дюйм (3/4), OEIS : от A200135 до OEIS : A200138 фунтов на квадратный дюйм (1 /5) до фунтов на квадратный дюйм (4/5).