Теорема Грушко

В математическом предмете теории групп теорема Грушко или теорема Грушко–Неймана — это теорема, утверждающая, что ранг (то есть наименьшая мощность порождающего множества ) свободного произведения двух групп равен сумме рангов двух свободных множителей. Теорема была впервые получена в статье Грушко 1940 года ^[1] , а затем, независимо, в статье Неймана 1943 года . ^[2]

Формулировка теоремы

Пусть A и B — конечно порожденные группы и пусть A ∗ B — свободное произведение A и B. Тогда

ранг( A ∗ B ) = ранг( A ) + ранг( B ).

Очевидно, что rank( A ∗ B ) ≤ rank( A ) + rank( B ), поскольку если X — конечное порождающее множество A , а Y — конечное порождающее множество B , то X ∪ Y — порождающее множество для A ∗ B и что | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |. Противоположное неравенство, rank( A ∗ B ) ≥ rank( A ) + rank( B ), требует доказательства.

Грушко, но не Нейман, доказал более точную версию теоремы Грушко в терминах эквивалентности Нильсена . Она утверждает, что если M = ( g ₁ , g ₂ , ..., g _n ) является n -кортежем элементов G = A ∗ B таким, что M порождает G , < g ₁ , g ₂ , ..., g _n > = G , то M является эквивалентом Нильсена в G n -кортежу вида

M' = ( a ₁ , ..., a _k , b ₁ , ..., b _{n − k} ) , где { a ₁ , ..., a _k }⊆ A — порождающий набор для A и где { b ₁ , ..., b _{n − k} }⊆ B — порождающий набор для B . В частности, rank( A ) ≤ k , rank( B ) ≤ n  −  k и rank( A ) + rank( B ) ≤ k  + ( n  −  k ) = n . Если взять M в качестве минимального порождающего кортежа для G , то есть с n = rank( G ), это означает, что rank( A ) + rank( B ) ≤ rank( G ). Поскольку противоположное неравенство rank( G ) ≤ rank( A ) + rank( B ) очевидно, то отсюда следует, что rank( G )=rank( A ) + rank( B ), что и требуется.

История и обобщения

После оригинальных доказательств Грушко (1940) и Неймана (1943) было много последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Близкая версия оригинального доказательства Грушко дана в книге Куроша 1955 года . ^[3]

Как и оригинальные доказательства, доказательство Линдона (1965) ^[4] опиралось на соображения о функциях длины, но с существенными упрощениями. Статья Столлингса 1965 года ^[5] дала значительно упрощенное топологическое доказательство теоремы Грушко.

В статье 1970 года Цишанга ^[6] была дана версия эквивалентности Нильсена теоремы Грушко (изложенной выше) и предоставлены некоторые обобщения теоремы Грушко для объединенных свободных произведений . Скотт (1974) дал другое топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленное методами топологии 3 -многообразий ^[7]. Имрих (1984) ^[8] дал версию теоремы Грушко для свободных произведений с бесконечным числом факторов.

Статья Чизвелла 1976 года ^[9] дала относительно простое доказательство теоремы Грушко, смоделированное на основе доказательства Столлингса 1965 года, которое использовало методы теории Басса–Серра . Аргумент напрямую вдохновил на разработку механизмов сверток для групповых действий на деревьях и для графов групп , а также на еще более простое доказательство теоремы Грушко Дикса (см., например, ^{[10] [11] [12]} ).

Теорема Грушко является, в некотором смысле, отправной точкой в ​​теории достижимости Данвуди для конечно порождённых и конечно представимых групп . Поскольку ранги свободных множителей меньше ранга свободного произведения, теорема Грушко подразумевает, что процесс итерационного расщепления конечно порождённой группы G как свободного произведения должен заканчиваться за конечное число шагов (точнее, не более чем за rank( G ) шагов). Существует естественный аналогичный вопрос для итерационных расщеплений конечно порождённых групп над конечными подгруппами. Данвуди доказал, что такой процесс всегда должен заканчиваться, если группа G конечно представима ^[13] , но может продолжаться вечно, если G конечно порождён, но не конечно представим. ^[14]

Алгебраическое доказательство существенного обобщения теоремы Грушко с использованием техники группоидов было дано Хиггинсом (1966). ^[15] Теорема Хиггинса начинается с групп G и B со свободными разложениями G = ∗ _i G _i , B = ∗ _i B _i и f  : G → B морфизмом таким, что f ( G _i ) = B _i для всех i . Пусть H — подгруппа G такая, что f ( H ​​) = B . Тогда H имеет разложение H = ∗ _i H _i такое, что f ( H _​​i ) = B _i для всех i . Полные подробности доказательства и приложений можно также найти в . ^{[10] [16]}

Теорема разложения Грушко

Полезным следствием исходной теоремы Грушко является так называемая теорема Грушко о разложении. Она утверждает, что любая нетривиальная конечно порождённая группа G может быть разложена в свободное произведение

G = A ₁ ∗ A ₂ ∗...∗ Ar ∗ F s _, где s ≥ 0, _r ≥ 0,

где каждая из групп A _i нетривиальна, свободно неразложима (то есть не может быть разложена в свободное произведение) и не является бесконечной циклической, и где F _s — свободная группа ранга s ; более того, для данного G группы A ₁ , ..., Ar единственны с точностью до перестановки их классов сопряженности в G (и, в частности, последовательность типов изоморфизма этих групп единственна с точностью до перестановки) _, а числа s и r также единственны.

Точнее, если G = B ₁ ∗...∗ B _k ∗ F _t — другое такое разложение, то k = r , s = t , и существует перестановка σ∈ S _r такая, что для каждого i = 1,..., r подгруппы A _i и B _{σ( i )} сопряжены в G .

Существование вышеуказанного разложения, называемого разложением Грушко для G , является непосредственным следствием исходной теоремы Грушко, в то время как утверждение о единственности требует дополнительных аргументов (см., например, ^[17] ).

Алгоритмическое вычисление разложения Грушко для определенных классов групп является сложной проблемой, которая в первую очередь требует возможности определить, является ли данная группа свободно разложимой. Положительные результаты доступны для некоторых классов групп, таких как свободные от кручения гиперболические группы , некоторые классы относительно гиперболических групп , ^[18] фундаментальные группы конечных графов конечно порожденных свободных групп ^[19] и другие.

Теорема о разложении Грушко является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнезера о разложении простых чисел для 3-многообразий , которая гласит, что замкнутое 3-многообразие может быть однозначно разложено в виде связной суммы неприводимых 3-многообразий. ^[20]

Набросок доказательства с использованием теории Басса–Серра

Ниже приведен набросок доказательства теоремы Грушко, основанный на использовании техники сверток для групп, действующих на деревьях ( полные доказательства с использованием этого аргумента см. в ^{[10] [11] [12] ).}

Пусть S = { g ₁ ,...., g _n } — конечный порождающий набор для G = A ∗ B размера | S |= n =rank( G ). Реализуем G как фундаментальную группу графа групп Y , который является одним непетлевым ребром с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Пусть — покрывающее дерево Басса–Серра для Y . Пусть F = F ( x ₁ ,...., x _n ) — свободная группа со свободным базисом x ₁ ,...., x _{n ,} и пусть φ ₀ : F → G — гомоморфизм такой, что φ ₀ ( x _i )= g _i для i =1,..., n . Реализуем F как фундаментальную группу графа Z ₀ , который является клином из n окружностей, которые соответствуют элементам x ₁ ,...., x _n . Мы также думаем о Z ₀ как о графе групп с базовым графом Z ₀ и тривиальными группами вершин и ребер. Тогда универсальное покрытие Z 0 _и дерево покрытия Басса–Серра для Z ₀ совпадают. Рассмотрим φ ₀ -эквивариантное отображение , так что оно отправляет вершины в вершины, а ребра в реберные пути. Это отображение неинъективно и, поскольку и источник, и цель отображения являются деревьями, это отображение «складывает» некоторые пары ребер в источнике. Граф групп Z ₀ служит начальным приближением для Y . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {Y} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}:{\tilde {Z}}_{0}\to {\tilde {\mathbf {Y} }}}$

Теперь мы начинаем выполнять последовательность "складывающихся движений" на Z ₀ (и на его покрывающем дереве Басса-Серра), чтобы построить последовательность графов групп Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...., которые образуют все лучшие и лучшие приближения для Y . Каждый из графов групп Z _j имеет тривиальные группы ребер и поставляется со следующей дополнительной структурой: для каждой нетривиальной группы вершин назначается конечное порождающее множество этой группы вершин. Сложность c ( Z j ₎ Z j _{является} суммой размеров порождающих множеств ее групп вершин и ранга свободной группы π ₁ ( Z _j ). Для графа начального приближения мы имеем c ( Z ₀ )= n .

Складывающиеся ходы, которые переводят Z _j в Z _{j +1,} могут быть одного из двух типов:

• сгибы, которые отождествляют два ребра базового графа с общей начальной вершиной, но различными конечными вершинами в одно ребро; при выполнении такого сгиба порождающие наборы групп вершин и конечных ребер «объединяются» вместе в порождающий набор новой группы вершин; ранг фундаментальной группы базового графа не изменяется при таком перемещении.
• сворачивает два ребра, которые уже имели общие начальные вершины и общие конечные вершины, в одно ребро; такой ход уменьшает ранг фундаментальной группы базового графа на 1, а элемент, соответствующий циклу в сворачиваемом графе, «добавляется» к порождающему набору одной из групп вершин.

Видно, что сдвиги сворачивания не увеличивают сложность, но уменьшают количество ребер в Z _j . Следовательно, процесс сворачивания должен завершиться за конечное число шагов с графом групп Z _k , который больше не может быть сложен. Из основных соображений теории Басса–Серра следует, что Z _k фактически должен быть равен ребру групп Y и что Z _k оснащен конечными порождающими наборами для групп вершин A и B . Сумма размеров этих порождающих наборов является сложностью Z _{k ,} которая, следовательно, меньше или равна c ( Z ₀ )= n . Это означает, что сумма рангов групп вершин A и B не превышает n , то есть rank( A )+rank( B )≤rank( G ), как и требуется.

Эскиз доказательства Столлинга

Доказательство Столлингса теоремы Грушко следует из следующей леммы.

Лемма

Пусть F — конечно порожденная свободная группа с n образующими. Пусть G ₁ и G ₂ — две конечно представленные группы. Предположим, что существует сюръективный гомоморфизм . Тогда существуют две подгруппы F ₁ и F ₂ группы F с и , такие, что ${\displaystyle \phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}}$ ${\displaystyle \phi (F_{1})=G_{1}}$ ${\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}}$ ${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}.}$

Доказательство: Мы приводим доказательство, предполагая, что F не имеет генератора, который отображается на единицу , поскольку если такие генераторы есть, их можно добавить к любому из или . ${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

В доказательстве используются следующие общие результаты.

1. Существует одномерный или двумерный комплекс CW , Z с фундаментальной группой F. По теореме Ван Кампена , клин из n окружностей является одним из таких пространств.

2. Существует два комплекса , где — точка на одной ячейке X, такая, что X ₁ и X ₂ — два комплекса с фундаментальными группами G ₁ и G ₂ соответственно. Обратите внимание, что по теореме Ван Кампена это означает, что фундаментальная группа X — это . ${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$ ${\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$

3. Существует отображение , такое что индуцированное отображение на фундаментальных группах такое же, как ${\displaystyle f:Z\rightarrow X}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \phi }$

Для удобства обозначим и . Поскольку ни один генератор F не отображается в тождество, множество не имеет петель, поскольку если это так, то они будут соответствовать окружностям Z , которые отображаются в , которые в свою очередь соответствуют генераторам F , которые переходят в тождество. Таким образом, компоненты стягиваемы. В случае, когда имеет только один компонент, по теореме Ван Кампена мы делаем это, как и в этом случае, : . ${\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}}$ ${\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})}$

Общее доказательство следует из сведения Z к пространству, гомотопически ему эквивалентному, но с меньшим числом компонент в , и, таким образом, посредством индукции по компонентам . ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

Такое уменьшение Z достигается путем прикрепления дисков вдоль связующих стяжек.

Мы называем карту связующей связью, если она удовлетворяет следующим свойствам: ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$

1. Он монохромный , т.е. или ${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{1}}$ ${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}}$

2. Это связь , т.е. и лежат в разных компонентах . ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma (1)}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

3. Он нулевой , т.е. нулевой гомотопный в X. ${\displaystyle f\circ \gamma ([0,1])}$

Предположим, что такая связующая связь существует. Пусть будет связующей связью. ${\displaystyle \gamma }$

Рассмотрим отображение, заданное . Это отображение является гомеоморфизмом на свой образ. Определим пространство как ${\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}}$ ${\displaystyle g(t)=e^{it}}$ ${\displaystyle Z'}$

${\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim }$где : ${\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ iff}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ or }}\\x=\gamma (t){\text{ and }}y=g(t){\text{ for some }}t\in [0,1]{\mbox{ or }}\\x=g(t){\text{ and }}y=\gamma (t){\text{ for some }}t\in [0,1]\end{cases}}}$

Обратите внимание, что деформация пространства Z' стягивается к Z. Сначала мы расширяем f до функции как ${\displaystyle ''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }$

${\displaystyle f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Так как гомотопно нулю, то далее продолжается внутрь диска, и, следовательно, до . Пусть i = 1,2 . Так как и лежат в различных компонентах , имеет на один компонент меньше, чем . ${\displaystyle f(\gamma )}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle Z'}$ ${\displaystyle Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma (1)}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}'\cap Z_{2}'}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

Строительство связывающей стяжки

Связывание выполняется в два этапа.

Шаг 1: Построение нулевой связи :

Рассмотрим отображение с и в различных компонентах . Поскольку является сюръективным, существует петля, основанная на γ'(1), такая, что и гомотопически эквивалентны в X . Если мы определим кривую как для всех , то является нулевой связью. ${\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma '(1)}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \!\lambda }$ ${\displaystyle \!f(\gamma ')}$ ${\displaystyle \!f(\lambda )}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \!\gamma }$

Шаг 2: Делаем нулевую связь одноцветной :

Связь может быть записана как где каждая является кривой в или такой, что если находится в , то находится в и наоборот. Это также подразумевает, что является петлей, основанной на p в X . Итак, ${\displaystyle \!\gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{i+1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

${\displaystyle [e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}$

Следовательно, для некоторого j . Если это связь, то мы имеем монохроматическую нулевую связь. Если это не связь, то конечные точки находятся в том же компоненте . В этом случае мы заменяем на путь в , скажем . Этот путь может быть добавлен к , и мы получим новую нулевую связь ${\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}}$ ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j}'}$ ${\displaystyle \!\gamma _{j-1}}$

${\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}}$, где . ${\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}$

Таким образом, индукцией по m мы доказываем существование связующей связи.

Доказательство теоремы Грушко

Предположим, что порождается . Пусть будет свободной группой с -образующими, а именно . Рассмотрим гомоморфизм, заданный , где . ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}$ ${\displaystyle h:F\rightarrow G}$ ${\displaystyle h(f_{i})=g_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

По лемме существуют свободные группы и с такими, что и . Следовательно, и . Следовательно, ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}$ ${\displaystyle h(F_{1})=A}$ ${\displaystyle h(F_{2})=B}$ ${\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})}$ ${\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})}$ ${\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}$

Смотрите также

• Теория Басса–Серра
• Генерация набора группы

Примечания

1. И.А. Грушко, О базисах свободного произведения групп , Математический сборник, т. 8 (1940), с. 169–182.
2. Б. Х. Нейман. О числе генераторов свободного произведения. Журнал Лондонского математического общества, т. 18, (1943), стр. 12–20.
3. А. Г. Курош, Теория групп. Том I. Перевод и редакция К. А. Хирша. Chelsea Publishing Co., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 1955
4. Роджер С. Линдон , «Теорема Грушко». Труды Американского математического общества , т. 16 (1965), стр. 822–826.
5. Джон Р. Столлингс. «Топологическое доказательство теоремы Грушко о свободных произведениях». Mathematische Zeitschrift , т. 90 (1965), стр. 1–8.
6. Хайнер Цишанг. «Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam». Inventiones Mathematicae , том. 10 (1970), стр. 4–37.
7. Скотт, Питер . Введение в 3-многообразия. Кафедра математики, Мэрилендский университет, Конспект лекций, № 11. Кафедра математики, Мэрилендский университет, Колледж-Парк, Мэриленд, 1974
8. Вильфрид Имрих «Теорема Грушко». Archiv der Mathematik (Базель), том. 43 (1984), вып. 5, стр. 385-387.
9. И. М. Чизвелл, Теорема Грушко-Неймана. Учеб. Лондонская математика. Соц. (3) 33 (1976), вып. 3, 385–400.
10. Уоррен Дикс. Группы, деревья и проективные модули. Lecture Notes in Mathematics 790, Springer, 1980
11. Джон Р. Столлингс. "Складывания G-деревьев". Arboreal group theory (Беркли, Калифорния, 1988), стр. 355–368, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 19. Springer, Нью-Йорк, 1991; ISBN  0-387-97518-7
12. Илья Капович, Ричард Вайдман и Алексей Мясников. Складывания, графы групп и проблема членства. International Journal of Algebra and Computation, т. 15 (2005), № 1, стр. 95–128
13. Мартин Дж. Данвуди. «Доступность конечно представленных групп». Inventiones Mathematicae , т. 81 (1985), № 3, стр. 449–457
14. Мартин Дж. Данвуди. «Недоступная группа». Геометрическая теория групп , т. 1 (Сассекс, 1991), стр. 75–78, London Mathematical Society Lecture Notes Series, 181, Cambridge University Press, Кембридж, 1993. ISBN 0-521-43529-3 
15. PJ Higgins. "Теорема Грушко". Журнал алгебры , т. 4 (1966), стр. 365–372
16. Хиггинс, Филип Дж., Заметки о категориях и группоидах. Van Nostrand Rienhold Mathematical Studies, № 32. Van Nostrand Reinhold Co., Лондон-Нью-Йорк-Мельбурн, 1971. Переиздано как Theory and Applications of Categories Reprint № 7, 2005.
17. Джон Столлингс. Согласованность 3-многообразных фундаментальных групп. Архивировано 2011-06-05 на семинаре Wayback Machine Bourbaki, 18 (1975-1976), Exposé № 481.
18. Франсуа Дамани и Дэниел Гроувс. «Обнаружение свободных расщеплений в относительно гиперболических группах». Труды Американского математического общества . Опубликовано онлайн 21 июля 2008 г.
19. Го-Ань Дяо и Марк Фейн. «Разложение Грушко конечного графа свободных групп конечного ранга: алгоритм». Геометрия и топология . том 9 (2005), стр. 1835–1880
20. Х. Кнезер, Geschlossene Flächen in drei Dimensionen Mannigfaltigkeiten. Яресбер. немецкий. Математика. Верейн., вып. 38 (1929), стр. 248–260.