Теорема о замкнутой подгруппе

Теорема теории групп

В математике теорема о замкнутой подгруппе (иногда называемая теоремой Картана ) — теорема в теории групп Ли . Она утверждает, что если H — замкнутая подгруппа группы Ли G , то H — вложенная группа Ли с гладкой структурой (и, следовательно, топологией группы ), согласующейся с вложением. ^{[1] [2] [3]} Один из нескольких результатов, известных как теорема Картана , был впервые опубликован в 1930 году Эли Картаном , ^[4] который был вдохновлен доказательством Джона фон Неймана 1929 года особого случая для групп линейных преобразований . ^{[5] [6]}

Обзор

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли . Теперь пусть H — произвольная замкнутая подгруппа группы G. Необходимо показать, что H — гладкое вложенное подмногообразие группы G. Первым шагом является определение чего-то, что могло бы быть алгеброй Ли группы H , то есть касательного пространства H в единице. Проблема в том, что не предполагается, что H обладает какой-либо гладкостью, и поэтому неясно, как можно определить ее касательное пространство. Чтобы продолжить, определим «алгебру Ли» группы H по формуле ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.}$$

Нетрудно показать, что является подалгеброй Ли . ^[7] В частности, является подпространством , которое, как можно надеяться, будет касательным пространством H в единице. Однако, чтобы эта идея сработала, должно быть достаточно большим, чтобы захватить некоторую интересную информацию о H . Если бы, например, H была некоторой большой подгруппой G , но оказалась равной нулю, это было бы бесполезно. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Ключевым шагом, таким образом, является доказательство того, что на самом деле охватывает все элементы H , которые достаточно близки к тождеству. То есть, необходимо доказать следующую критическую лемму: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Лемма  —  Возьмем малую окрестность U начала координат в ,такую, что экспоненциальное отображение диффеоморфно отображает U на некоторую окрестностьединицы в G , и пусть log: V → U будет обратным к экспоненциальному отображению. Тогда существует некоторая меньшая окрестность W ⊂ V , такая, что если h принадлежит W ∩ H , то log( h ) принадлежит. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Как только это установлено, можно использовать экспоненциальные координаты на W , то есть, записывая каждый g ∈ W (не обязательно в H ) как g = e ^X для X = log( g ) . В этих координатах лемма гласит, что X соответствует точке в H точно, если X принадлежит . То есть, в экспоненциальных координатах вблизи единицы H выглядит как . Поскольку является просто подпространством , это означает, что является как раз таким, как R ^k ⊂ R ⁿ , с и . Таким образом, мы продемонстрировали « систему координат среза », в которой H ⊂ G локально выглядит как R ^k ⊂ R ⁿ , что является условием для вложенного подмногообразия. ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}$

Стоит отметить, что Россман показывает, что для любой подгруппы H группы G (не обязательно замкнутой) алгебра Ли группы H является подалгеброй Ли группы . ^[10] Затем Россман вводит координаты ^[11] на H , которые превращают компонент тождества H в группу Ли. Однако важно отметить, что топология на H, вытекающая из этих координат, не является топологией подмножества. То есть, так сказать, компонент тождества группы H является погруженным подмногообразием группы G , но не вложенным подмногообразием. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В частности, сформулированная выше лемма не выполняется, если H не замкнуто.

Пример незамкнутой подгруппы

Тор G. Представьте себе изогнутую спираль , разложенную на поверхности, изображающей H. Если a = p ⁄ q в простейших терминах, спираль замкнется сама на себя в точке (1, 1) после p оборотов по φ и q оборотов по θ . Если a иррационально, спираль закручивается бесконечно.

В качестве примера подгруппы, которая не является вложенной подгруппой Ли, рассмотрим тор и « иррациональную обмотку тора ». и ее подгруппу с иррациональным . Тогда H плотно в G и, следовательно, не замкнуто. ^[12] В относительной топологии малое открытое подмножество H состоит из бесконечного числа почти параллельных отрезков на поверхности тора. Это означает, что H не является локально линейно связным . В групповой топологии малые открытые множества являются отдельными отрезками на поверхности тора, а H является локально линейно связным. $${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},}$$ $${\displaystyle H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},}$$

Пример показывает, что для некоторых групп H можно найти точки в сколь угодно малой окрестности U в относительной топологии τ _r единицы, которые являются экспоненциалами элементов h , однако их нельзя связать с единицей с помощью пути, остающегося в U . ^[13] Группа ( H , τ _r ) не является группой Ли. В то время как отображение exp : h → ( H , τ _r ) является аналитической биекцией, его обратное не является непрерывным. То есть, если U ⊂ h соответствует малому открытому интервалу − ε < θ < ε , не существует открытого V ⊂ ( H , τ _r ) с log( V ) ⊂ U из-за появления множеств V . Однако с топологией группы τ _g , ( H , τ _g ) является группой Ли. С этой топологией инъекция ι  : ( H , τ _g ) → G является аналитическим инъективным погружением, но не гомеоморфизмом , следовательно, не вложением. Существуют также примеры групп H , для которых можно найти точки в сколь угодно малой окрестности (в относительной топологии) единицы, которые не являются экспонентами элементов h . ^[14] Для замкнутых подгрупп это не так, как показывает доказательство теоремы ниже.

Приложения

Из-за заключения теоремы некоторые авторы решили определить линейные группы Ли или матричные группы Ли как замкнутые подгруппы GL( n , R ) или GL( n , C ) . ^[15] В этой постановке доказывается, что каждый элемент группы, достаточно близкий к единице, является экспонентой элемента алгебры Ли. ^[8] (Доказательство практически идентично доказательству теоремы о замкнутой подгруппе, представленному ниже.) Из этого следует, что каждая замкнутая подгруппа является вложенным подмногообразием GL( n , C ) ^[16]

Теорема о построении однородного пространства  —  Если H ⊂ G — замкнутая подгруппа Ли , то G / H , левое смежное пространство, имеет единственную вещественно-аналитическую структуру многообразия, такую ​​что фактор-отображение π : G → G / H является аналитической субмерсией . Левое действие, заданное формулой g ₁ ⋅ ( g ₂ H ) = ( g ₁ g ₂ ) H, превращает G / H в однородное G -пространство .

Теорема о замкнутой подгруппе теперь значительно упрощает гипотезы, априори расширяя класс однородных пространств. Каждая замкнутая подгруппа дает однородное пространство.

Аналогичным образом теорема о замкнутой подгруппе упрощает гипотезу следующей теоремы.

Если X — множество с транзитивным групповым действием , а группа изотропии или стабилизатор точки x ∈ X — замкнутая подгруппа Ли, то X имеет единственную гладкую многообразную структуру, такую ​​что действие является гладким.

Условия закрытия

Ниже приведены несколько достаточных условий для того, чтобы H ⊂ G была замкнутой, а значит, вложенной группой Ли.

• Все классические группы замкнуты в GL( F , n ) , где F — это R , C или H , кватернионы .
• Подгруппа, которая локально замкнута , замкнута. ^[17] Подгруппа локально замкнута, если каждая точка имеет окрестность в U ⊂ G такую, что H ∩ U замкнуто в U .
• Если H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B } , где A — компактная группа, а B — замкнутое множество, то H замкнуто. ^[18]
• Если h ⊂ g — подалгебра Ли такая, что для любого X ∈ g ∖ h , [ X , h ] ∈ h , то Γ( h ) , группа, порожденная e ^h , замкнута в G . ^[19]
• Если X ∈ g , то однопараметрическая подгруппа, порожденная X, не замкнута тогда и только тогда, когда X подобна над C диагональной матрице с двумя элементами иррационального отношения. ^[20]
• Пусть h ⊂ g — подалгебра Ли. Если существует односвязная компактная группа k , изоморфная h , то Γ ( h ) замкнута в G . ^[21]
• Если G односвязна и h ⊂ g — идеал , то связная подгруппа Ли с алгеброй Ли h замкнута. ^[22]

Конверс

Вложенная подгруппа Ли H ⊂ G замкнута ^[23], поэтому подгруппа является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда она замкнута. Эквивалентно, H является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда ее топология группы равна ее относительной топологии. ^[24]

Доказательство

Джон фон Нейман в 1929 году доказал теорему в случае матричных групп , как указано здесь. Он был выдающимся во многих областях, включая квантовую механику , теорию множеств и основания математики .

Доказательство дано для матричных групп с G = GL( n , R ) для конкретности и относительной простоты, поскольку матрицы и их экспоненциальное отображение являются более простыми понятиями, чем в общем случае. Исторически этот случай был доказан первым Джоном фон Нейманом в 1929 году и вдохновил Картана на доказательство полной теоремы о замкнутой подгруппе в 1930 году. ^{[5] [6]} Доказательство для общего G формально идентично, ^[25] за исключением того, что элементы алгебры Ли являются левоинвариантными векторными полями на G , а экспоненциальное отображение является потоком времени один векторного поля. Если H ⊂ G с G замкнутым в GL( n , R ) , то H замкнуто в GL( n , R ) , поэтому специализация к GL( n , R ) вместо произвольного G ⊂ GL( n , R ) не имеет большого значения.

Доказательство ключевой леммы

Начнем с установления ключевой леммы, изложенной в разделе «Обзор» выше.

Наделим g скалярным произведением (например, скалярным произведением Гильберта–Шмидта ), и пусть h будет алгеброй Ли H, определенной как h = { X ∈ M _n ( R ) = g | e ^tX ∈ H ∀ t ∈ R } . Пусть s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h } , ортогональным дополнением h . Тогда g разлагается в прямую сумму g = s ⊕ h , поэтому каждое X ∈ g однозначно выражается как X = S + T с S ∈ s , T ∈ h .

Определим отображение Φ : g → GL( n , R ) с помощью ( S , T ) ↦ e ^S e ^T . Разложим экспоненты и прямой переход или дифференциал в точке 0 , Φ _∗ ( S , T ) = ⁠ $${\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),}$$г/дт⁠ Φ( tS , tT ) | _{t = 0} , как видно, равно S + T , т. е. Φ _∗ = Id , тождество. Условие теоремы об обратной функции выполняется с Φ аналитической, и, таким образом, существуют открытые множества U ₁ ⊂ g , ​​V ₁ ⊂ GL( n , R ) с 0 ∈ U ₁ и I ∈ V ₁ такие, что Φ является вещественно-аналитической биекцией из U ₁ в V ₁ с аналитической инверсией. Осталось показать, что U ₁ и V ₁ содержат открытые множества U и V , такие что заключение теоремы выполняется.

Рассмотрим счетный базис окрестностей Β в точке 0 ∈ g , линейно упорядоченный обратным включением с B ₁ ⊂ U ₁ . ^[a] Предположим, чтобы получить противоречие, что для всех i , Φ( B _i ) ∩ H содержит элемент h _{i ,} который не принадлежит виду h _i = e ^{T _i} , T _i ∈ h . Тогда, поскольку Φ является биекцией на B _i , существует единственная последовательность X _i = S _i + T _i , с 0 ≠ S _i ∈ s и T _i ∈ h такая, что X _i ∈ B _{i ,} сходящаяся к 0 , поскольку Β является базисом окрестностей, с e ^{S _i} e ^{T _i} = h _i . Поскольку e ^{T _i} ∈ H и h _i ∈ H , то e ^{S _i} ∈ H также.

Нормализуем последовательность в s , Y _i = ⁠С _я/|| Си ||_​⁠ . Он принимает свои значения в единичной сфере в s , и поскольку он компактен , существует сходящаяся подпоследовательность, сходящаяся к Y ∈ s . ^[26] Индекс i в дальнейшем относится к этой подпоследовательности. Будет показано, что e ^tY ∈ H , ∀ t ∈ R . Зафиксируем t и выберем последовательность m _i целых чисел, такую, что m _i || S _i || → t при i → ∞ . Например, m _i такой, что m _i || S _i || ≤ t ≤ ( m _i + 1) || S _i || , так как S _i → 0 . Тогда $${\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}$$

Так как H является группой, то левая часть принадлежит H для всех i . Так как H замкнуто, e ^tY ∈ H , ∀ t , ^[27] следовательно, Y ∈ h . Это противоречие. Следовательно, для некоторого i множества U = Β _i и V = Φ(Β _i ) удовлетворяют e ^{U ∩ h} = H ∩ V и экспонента, ограниченная на открытое множество ( U ∩ h ) ⊂ h, находится в аналитической биекции с открытым множеством Φ( U ) ∩ H ⊂ H . Это доказывает лемму.

Доказательство теоремы

Для j ≥ i образ B j в H при Φ образует базис соседства в I . Это, по способу построения, базис соседства как в топологии группы, так и в относительной топологии . Поскольку умножение в G является аналитическим, левый и правый переносы этого _базиса соседства на элемент группы g ∈ G дают базис соседства в g . Эти базисы, ограниченные на H , дают базисы соседства во всех h ∈ H . Топология, порожденная этими базисами, является относительной топологией. Вывод состоит в том, что относительная топология совпадает с топологией группы.

Далее построим координатные карты на H. Сначала определим φ ₁  : e ^{( U )} ⊂ G → g , g ↦ log( g ) . Это аналитическая биекция с аналитической инверсией. Кроме того, если h ∈ H , то φ ₁ ( h ) ∈ h . Зафиксировав базис для g = h ⊕ s и отождествив g с R ⁿ , то в этих координатах φ ₁ ( h ) = ( x ₁ ( h ), ..., x _m ( h ), 0, ..., 0) , где m — размерность h . Это показывает, что ( e ^U , φ ₁ ) — это карта срезов . Перенося карты, полученные из счетного базиса соседства, использованного выше, можно получить карты срезов вокруг каждой точки в H . Это показывает, что H является вложенным подмногообразием G .

Более того, умножение m и инверсия i в H являются аналитическими, поскольку эти операции являются аналитическими в G , а ограничение на подмногообразие (вложенное или погруженное) с относительной топологией снова дает аналитические операции m  : H × H → G и i  : H × H → G . ^[28] Но поскольку H вложено, m  : H × H → H и i  : H × H → H также являются аналитическими. ^[29]

Смотрите также

• Теорема об обратной функции
• Ложь переписка

Примечания

1. Для этого можно выбрать открытые шары, Β = { B _k | diam( B _k ) = ⁠1/к + м⁠ , k ∈ N } для некоторого достаточно большого m такого, что B ₁ ⊂ U ₁ . Здесь используется метрика, полученная из скалярного произведения Гильберта–Шмидта.

Цитаты

1. Ли 2003, Теорема 20.10. Ли формулирует и доказывает эту теорему во всей общности.
2. Rossmann 2002, Теорема 1, Раздел 2.7 Россманн формулирует теорему для линейных групп. Утверждение состоит в том, что существует открытое подмножество U ⊂ g такое, что U × H → G , ( X , H ) → e ^X H является аналитической биекцией на открытую окрестность H в G .
3. Холл 2015, Для линейных групп Холл доказывает аналогичный результат в следствии 3.45.
4. Картан 1930, § 26.
5. Нейман 1929.
6. Bochner 1958.
7. Холл 2015, Теорема 3.20.
8. Hall 2015, Теорема 3.42.
9. Ли 2003, Глава 5.
10. Россманн 2002, Глава 2, Предложение 1 и Следствие 7.
11. Россманн 2002, Раздел 2.3.
12. Ли 2003, Пример 7.3.
13. Россманн 2002, см. комментарий к следствию 5, раздел 2.2.
14. Россманн 2002.
15. Например, Hall 2015. См. определение в Главе 1.
16. Холл 2015, Следствие 3.45.
17. Россманн 2002, Задача 1. Раздел 2.7.
18. Россманн 2002, Задача 3. Раздел 2.7.
19. Россманн 2002, Задача 4. Раздел 2.7.
20. Россманн 2002, Задача 5. Раздел 2.7.
21. Холл 2015, Результат следует из теоремы 5.6.
22. Холл 2015, Упражнение 14 в Главе 5.
23. Ли 2003, Следствие 15.30.
24. Россманн 2002, Задача 2. Раздел 2.7.
25. См., например, Ли 2003 Глава 21.
26. Уиллард 1970, Согласно проблеме 17G, s является последовательно компактным, то есть каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
27. Уиллард 1970, Следствие 10.5.
28. Ли 2003, Предложение 8.22.
29. Ли 2003, Следствие 8.25.

Ссылки

• Бохнер, С. (1958), «Джон фон Нейман 1903–1957» (PDF) , Биографические мемуары Национальной академии наук : 438–456. См. в частности стр. 441.
• Картан, Эли (1930), «Теория конечных групп и непрерывного анализа и анализа ситуации », Mémorial Sc. Математика. , том. XLII, стр. 1–61.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer Graduate Texts in Mathematics, т. 218, ISBN 0-387-95448-1
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• фон Нейман, Джон (1929), «Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen», Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 30 (1): 3–42, doi : 10.1007/BF01187749, S2CID  122565679
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Dover Publications, ISBN 0-486-43479-6