Теорема Лагранжа (теория групп)

В математической области теории групп теорема Лагранжа — это теорема, которая утверждает, что для любой конечной группы $G$ $порядок$ ( количество элементов) каждой подгруппы G делит порядок $G.$ Теорема названа в честь Жозефа-Луи Лагранжа . Следующий вариант утверждает, что для подгруппы конечной группы не только является целым числом, но и ее значением является индекс , определяемый как количество левых смежных классов в . $H$ $G$ $|G|/|H|$ $[G:H]$ $H$ $G$

Теорема Лагранжа . Если $H$ — подгруппа группы $G$ , то $\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.$

Этот вариант справедлив, даже если бесконечно, при условии, что , , и интерпретируются как кардинальные числа . $G$ $|G|$ $|H|$ $[G:H]$

Доказательство

Левые смежные классы H в $G$ являются классами эквивалентности определенного отношения эквивалентности на $G$ : в частности, назовите $x$ и $y$ в $G$ эквивалентными, если существует $h$ в $H$ такой, $что$ $x$ $=$ $yh$ . $Следовательно$ , левые смежные классы образуют разбиение G . Каждый левый смежный класс $aH$ имеет ту же мощность, что и $H$ , поскольку определяет биекцию (обратное ). Число левых смежных классов — это индекс $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ . Судя по предыдущим трем предложениям, $x\mapsto ax$ $H\to aH$ $y\mapsto a^{-1}y$

\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.

Расширение

Теорему Лагранжа можно распространить на уравнение индексов между тремя подгруппами $G$ . ^[1]

Расширение теоремы Лагранжа . Если $H$ — подгруппа $G$ , а $K$ — подгруппа $H$ , то

[G:K]=[G:H]\,[H:K].

Доказательство

Пусть $S$ будет набором представителей смежных классов для $K$ в $H$ , поэтому (дизъюнктное объединение), и . Для любого умножение слева на $a$ является биекцией , поэтому . Таким образом, каждый левый класс класса $H$ распадается на левые классы класса $K$ . Поскольку $G$ разлагается на левые классы класса $H$ , каждый из которых распадается на левые классы класса $K$ , общее количество левых классов класса $K$ в $G$ равно . $H=\coprod _{s\in S}sK$ $|S|=[H:K]$ $a\in G$ $G\to G$ $aH=\coprod _{s\in S}asK$ $[H:K]$ $[G:H]$ $[H:K]$ $[G:K]$ $[G:H][H:K]$

Если мы возьмем $K = {e}$ ( $e$ — единица $G$ ), то $[G : {e}] = | г |$ и $[ЧАС : {е}] = | Ч |$ . Следовательно, мы можем восстановить исходное уравнение $| г | знак равно [г : ЧАС] | Ч |$ .

Приложения

Следствием теоремы является то, что порядок любого элемента $a$ конечной группы (т.е. наименьшего натурального целого числа $k$ с $a k = e$ , где $e$ — единичный элемент группы) делит порядок этой группы, поскольку порядок $a$ равен порядку циклической подгруппы , порожденной $a$ . Если в группе $n$ элементов, то

\displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}

Это можно использовать для доказательства малой теоремы Ферма и ее обобщения — теоремы Эйлера . Эти частные случаи были известны задолго до доказательства общей теоремы.

Теорема также показывает, что любая группа простого порядка является циклической и простой , поскольку подгруппа, порожденная любым неединичным элементом, должна быть самой группой.

Теорему Лагранжа можно также использовать, чтобы показать, что существует бесконечно много простых чисел : предположим, что существует наибольшее простое число . Любой простой делитель числа Мерсенна удовлетворяет (см. модульную арифметику ), что означает, что порядок в мультипликативной группе равен . По теореме Лагранжа порядок должен делить порядок , который равен . Так делит , давая , что противоречит предположению, что это наибольшее простое число. ^[2] $p$ $q$ $2^{p}-1$ $2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}$ $2$ $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}$ $p$ $2$ $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}$ $q-1$ $p$ $q-1$ $p<q$ $p$

Существование подгрупп данного порядка

Теорема Лагранжа поднимает обратный вопрос: каждый ли дивизор порядка группы является порядком некоторой подгруппы. В общем случае это не так: дана конечная группа G и дивизор d группы | G |, не обязательно существует подгруппа G порядка d . Самый маленький пример — A ₄ ( чередующаяся группа степени 4), которая имеет 12 элементов, но не имеет подгруппы порядка 6.

Группа «Обратной теоремы Лагранжа» (CLT) — это конечная группа, обладающая тем свойством, что для каждого делителя порядка группы существует подгруппа этого порядка. Известно, что группа CLT должна быть разрешимой и что каждая сверхразрешимая группа является группой CLT. Однако существуют разрешимые группы, не являющиеся CLT (например, A ₄ ), и CLT-группы, не являющиеся сверхразрешимыми (например, S ₄ , симметрическая группа степени 4).

Существуют частичные обращения к теореме Лагранжа. Для общих групп теорема Коши гарантирует существование элемента и, следовательно, циклической подгруппы любого простого числа, делящего порядок группы. Теорема Силова распространяет это на существование подгруппы порядка, равного максимальной степени любого простого числа, делящего порядок группы. Для разрешимых групп теоремы Холла утверждают существование подгруппы порядка, равного любому унитарному дивизору порядка группы (т. е. дивизора, взаимно простого со своим сомножителем).

Контрпример обращения теоремы Лагранжа

Обратная теорема Лагранжа утверждает, что если $d$ — делитель порядка группы $G$ , то существует подгруппа $H$ , где $| Ч | = д$ .

Мы рассмотрим знакопеременную группу $A 4$ , набор четных перестановок , как подгруппу симметрической группы $S 4$ .

А 4 = {е, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4) , (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}

$| А 4 | = 12$ , поэтому делители равны $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Предположим противное, что существует подгруппа $H$ в $A 4$ такая, что $| Ч | = 6$ .

Пусть $V$ — нециклическая подгруппа группы $A4,$ называемая четырехгруппой Клейна .

V знак равно {е, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}

Пусть $К = ЧАС ⋂ V.$ _ Поскольку и $H$ , и $V$ являются подгруппами $A 4$ , $K$ также является подгруппой $A 4$ .

Согласно теореме Лагранжа, порядок $K$ должен делить $6$ и $4$ , порядки $H$ и $V$ соответственно. Единственные два положительных целых числа, которые делят и $6$ , и $4,$ — это $1$ и $2$ . Итак $| К | = 1$ или $2$ .

Предположим $| К | знак равно 1$ , тогда $K знак равно {е}$ . Если $H$ не имеет общих элементов с $V$ , то 5 элементов в $H,$ кроме элемента Identity $e$ , должны иметь форму $(abc)$ , где $a, b, c$ — отдельные элементы в ${1, 2, 3, 4}$ .

Поскольку любой элемент формы $(abc)$ в квадрате равен $(acb)$ и $(abc)(acb) = e$ , любой элемент $H$ в форме $(abc)$ должен быть соединен с его обратным. В частности, оставшиеся 5 элементов $H$ должны происходить из разных пар элементов $A 4$ , которых нет в $V$ . Это невозможно, так как пары элементов должны быть четными и не могут в сумме составлять до 5 элементов. Таким образом, предположения, что $| К | = 1$ неверно, поэтому $| К | = 2$ .

Тогда $K = {e, v}$ , где $v \in V$ , $v$ должно быть в форме $(ab)(cd)$ , где $a, b, c, d$ — различные элементы из ${1, 2, 3, 4}$ . Остальные четыре элемента в $H$ являются циклами длины 3.

Обратите внимание, что смежные классы , порожденные подгруппой группы, образуют раздел группы. Классы смежности, порожденные определенной подгруппой, либо идентичны друг другу, либо не пересекаются . Индекс подгруппы в группе $[A 4 : H] = | А 4 |/| Ч |$ — количество смежных классов, порожденных этой подгруппой. Поскольку $| А 4 | = 12$ и $| Ч | = 6$ , $H$ будет генерировать два левых смежных класса, один из которых равен $H$ , а другой, $gH$ , имеет длину 6 и включает все элементы из $A 4 ,$ не входящие в $H$ .

Поскольку существует только два различных смежных класса, порожденных $H$ , то $H$ должно быть нормальным. Поэтому $H = gHg -1 (\forall g \in A 4)$ . В частности, это верно для $g = (abc) \in A 4$ . Поскольку $H = gHg -1$ , $gvg$ $-$ $1$ $\in$ $H.$

Без ограничения общности предположим, что $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ , $d = 4$ . Тогда $g = (1 2 3)$ , $v = (1 2)(3 4)$ , $g -1 = (1 3 2)$ , $gv = (1 3 4)$ , $gvg -1 = (1 4)(2 3)$ . Преобразуя обратно, мы получаем $gvg -1 = (a d)(b c)$ . Поскольку $V$ содержит все непересекающиеся транспозиции из $A 4$ , $gvg -1 \in V$ . Следовательно , $gvg -1 \in H ⋂ V = K.$

Поскольку $gvg -1 \neq v$ $, мы показали, что в K$ существует третий элемент . Но ранее мы предполагали, что $| К | = 2$ , поэтому мы имеем противоречие.

Следовательно, наше исходное предположение о существовании подгруппы порядка 6 неверно и, следовательно, в $A 4$ нет подгруппы порядка 6 , и обратная теорема Лагранжа не обязательно верна. КЭД

История

Сам Лагранж не доказал теорему в ее общем виде. В своей статье «Reflexions sur la resolution algébrique des équations» [ ^3] он заявил , что если переменные многочлена от $n$ переменных переставлены во всех $n!$ способами количество получаемых различных полиномов всегда кратно $n!$ . (Например, если переменные $x$ , $y$ и $z$ переставлены всеми 6 возможными способами в многочлене $x + y - z$ , то мы получим в общей сложности 3 разных многочлена: $x + y - z$ , $x + z - y$ , и $y + z - x$ Обратите внимание, что 3 — это коэффициент 6.) Число таких многочленов — это индекс в симметричной группе $S n$ подгруппы $H$ перестановок, сохраняющих полином. (На примере $x + y - z$ подгруппа $H$ в $S 3$ содержит единицу и транспозицию $(xy)$ .) Таким образом, размер $H$ делит $n!$ . С последующим развитием абстрактных групп было признано, что этот результат Лагранжа о полиномах распространяется на общую теорему о конечных группах, которая теперь носит его имя.

В своих Disquisitiones Arithmeticae в 1801 году Карл Фридрих Гаусс доказал теорему Лагранжа для частного случая , мультипликативной группы ненулевых целых чисел по модулю $p$ , где $p$ - простое число. ^[4] В 1844 году $Огюстен$ -Луи Коши доказал теорему Лагранжа для симметрической группы $Sn$ . ^[5] $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$

Камилла Жордан окончательно доказала теорему Лагранжа для случая любой группы подстановок в 1861 году. ^[6]

Примечания

^ Брэй, Николас, «Теорема о группе Лагранжа», MathWorld
^ Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 1», Доказательства из КНИГИ (переработанное и дополненное шестое изд.), Берлин: Springer, стр. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1
^ Лагранж, Жозеф-Луи (1771), «Сюита размышлений о алгебраическом разрешении уравнений. [Ряд размышлений об алгебраическом решении уравнений. Третий раздел. О решении уравнений пятой и более высоких степеней], Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 138–254. ; особенно см. стр. 202–203.
^ Гаусс, Карл Фридрих (1801), Disquisitiones Arithmeticae (на латыни), Лейпциг (Липсия): Г. Флейшер, стр. 41-45, ст. 45-49.
^ Огюстен-Луи Коши , §VI. - Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées [О произведениях одной или нескольких перестановок и о системах сопряженных перестановок] из: "Mémoire sur les Arrangements que l'on peut ex avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l’aide desquelles on passe d’un Arrangement à un autre » от одного расположения к другому] в: Упражнения по анализу и математической физике [Упражнения по анализу и математической физике], том. 3 (Париж, Франция: Башелье, 1844), стр. 183–185.
^ Джордан, Камилла (1861), «Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions» [Мемуары о количестве значений функций], Journal de l'École Polytechnique , 22 : 113–194. Обобщение Джорданом теоремы Лагранжа появляется на странице 166.