Теорема Фостера о реактивном сопротивлении

Теорема об электрической сети

Теорема Фостера о реактивном сопротивлении является важной теоремой в области анализа и синтеза электрических сетей . Теорема утверждает, что реактивное сопротивление пассивной, без потерь двухполюсной ( однополюсной ) сети всегда строго монотонно увеличивается с частотой. Легко видеть, что реактивные сопротивления индуктивностей и конденсаторов по отдельности увеличиваются с частотой, и на этой основе может быть построено доказательство для пассивных сетей без потерь в целом. Доказательство теоремы было представлено Рональдом Мартином Фостером в 1924 году, хотя принцип был опубликован ранее коллегами Фостера из American Telephone & Telegraph .

Теорема может быть расширена до проводимостей и охватывающей концепции иммитансов . Следствием теоремы Фостера является то, что нули и полюса реактивного сопротивления должны чередоваться с частотой. Фостер использовал это свойство для разработки двух канонических форм для реализации этих сетей. Работа Фостера стала важной отправной точкой для разработки синтеза сетей .

Можно построить не-Фостеровские сети, используя активные компоненты, такие как усилители. Они могут генерировать импеданс, эквивалентный отрицательной индуктивности или емкости. Преобразователь отрицательного импеданса является примером такой схемы.

Объяснение

Реактивное сопротивление — это мнимая часть комплексного электрического импеданса . И конденсаторы , и индукторы обладают реактивным сопротивлением (но противоположного знака) и зависят от частоты. Указание, что сеть должна быть пассивной и без потерь, подразумевает, что в сети нет резисторов (без потерь), усилителей или источников энергии (пассивных). Следовательно, сеть должна состоять исключительно из индукторов и конденсаторов, а импеданс будет чисто мнимым числом с нулевой действительной частью. Теорема Фостера в равной степени применима к проводимости сети , то есть проводимость (мнимая часть проводимости) пассивного однополюсника без потерь монотонно возрастает с частотой. Этот результат может показаться нелогичным, поскольку проводимость является обратной величиной импеданса, но его легко доказать. Если импеданс равен

${\displaystyle Z=iX\,}$

где - реактивное сопротивление, а - мнимая единица , тогда проводимость определяется выражением ${\displaystyle \scriptstyle X}$ ${\displaystyle \scriptstyle i}$

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB}$

где - восприимчивость. ${\displaystyle \scriptstyle B}$

Если X монотонно возрастает с частотой, то 1/ X должно монотонно убывать. Следовательно, −1/ X должно монотонно возрастать, и, следовательно, доказано, что B также возрастает.

В теории сетей часто бывает так, что принцип или процедура одинаково хорошо применимы к импедансу или проводимости — отражая принцип двойственности для электрических сетей. В таких обстоятельствах удобно использовать концепцию иммитанса , которая может означать как импеданс, так и проводимость. Математика выполняется без указания единиц, пока не требуется рассчитать конкретный пример. Таким образом, теорему Фостера можно сформулировать в более общей форме как,

Теорема Фостера (форма иммитанса)

Мнимый иммитанс пассивного однополюсника без потерь строго монотонно увеличивается с частотой.

Теорема Фостера довольно общая. В частности, она применима к сетям с распределенными элементами , хотя Фостер сформулировал ее в терминах дискретных индукторов и конденсаторов. Поэтому она применима на микроволновых частотах так же, как и на более низких частотах. ^{[1] [2]}

Примеры

Следующие примеры иллюстрируют эту теорему на ряде простых схем.

Индуктор

Сопротивление катушки индуктивности определяется по формуле:

${\displaystyle Z=i\omega L\,}$

${\displaystyle \scriptstyle L}$это индуктивность

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$угловая частота

поэтому реактивное сопротивление равно,

${\displaystyle X=\omega L\,}$

который при осмотре можно увидеть, что он монотонно (и линейно) увеличивается с частотой. ^[3]

Конденсатор

Сопротивление конденсатора определяется по формуле:

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}}}$

${\displaystyle \scriptstyle C}$это емкость

поэтому реактивное сопротивление равно,

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\omega C}}}$

которая снова монотонно возрастает с частотой. Функция импеданса конденсатора идентична функции проводимости катушки индуктивности и наоборот. Общим результатом является то, что двойственная функция любой функции иммитанса, которая подчиняется теореме Фостера, также будет подчиняться теореме Фостера. ^[3]

Последовательный резонансный контур

Последовательная LC- цепь имеет импеданс, который является суммой импедансов катушки индуктивности и конденсатора,

${\displaystyle Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}=i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)}$

На низких частотах реактивное сопротивление доминируется конденсатором и поэтому велико и отрицательно. Оно монотонно увеличивается до нуля (величина реактивного сопротивления конденсатора становится меньше). Реактивное сопротивление проходит через ноль в точке, где величины реактивных сопротивлений конденсатора и индуктора равны (резонансная частота ), а затем продолжает монотонно увеличиваться, поскольку реактивное сопротивление индуктора становится все более доминирующим. ^[4]

Параллельный резонансный контур

Параллельная LC -цепь является двойственной последовательной цепи, и, следовательно, ее функция проводимости имеет ту же форму, что и функция импеданса последовательной цепи,

${\displaystyle Y=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}}}$

Функция импеданса:

${\displaystyle Z=i\left({\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\right)}$

На низких частотах реактивное сопротивление определяется индуктивностью и является малым и положительным. Оно монотонно увеличивается к полюсу на антирезонансной частоте, где реактивная проводимость индуктивности и конденсатора равна и противоположна и компенсируется. За полюсом реактивное сопротивление становится большим и отрицательным и увеличивается к нулю, где оно определяется емкостью. ^[4]

Нули и полюса

График реактивного сопротивления первой формы канонического точечного импеданса Фостера, показывающий схему чередующихся полюсов и нулей. Для реализации этой функции импеданса требуются три антирезонатора.

Следствием теоремы Фостера является то, что нули и полюса любой пассивной функции иммитанса должны чередоваться с ростом частоты. После прохождения полюса функция будет отрицательной и обязана пройти через ноль, прежде чем достичь следующего полюса, если она должна монотонно возрастать. ^[1]

Полюса и нули функции иммитанса полностью определяют частотные характеристики сети Фостера. Две сети Фостера, имеющие идентичные полюса и нули, будут эквивалентными схемами в том смысле, что их функции иммитанса будут идентичны. Между ними может быть разница в коэффициентах масштабирования (все элементы иммитанса, умноженные на один и тот же коэффициент масштабирования), но форма двух функций иммитанса будет идентичной. ^[5]

Другим следствием теоремы Фостера является то, что фаза иммитанса должна монотонно возрастать с частотой. Следовательно, график функции иммитанса Фостера на диаграмме Смита всегда должен перемещаться по диаграмме по часовой стрелке с увеличением частоты. ^[2]

Реализация

Первая форма Фостера канонической реализации импеданса точки возбуждения. Если полиномиальная функция имеет полюс при ω =0, одна из секций LC сведется к одному конденсатору. Если полиномиальная функция имеет полюс при ω =∞, одна из секций LC сведется к одному индуктору. Если присутствуют оба полюса, то две секции сведутся к последовательной LC- цепи.

Вторая форма Фостера канонической реализации импеданса точки возбуждения. Если полиномиальная функция имеет ноль при ω =0, одна из секций LC сведется к одному индуктору. Если полиномиальная функция имеет ноль при ω =∞, одна из секций LC сведется к одному конденсатору. Если присутствуют оба нуля, то две секции сведутся к параллельной LC- цепи.

Однопортовый пассивный иммитанс, состоящий из дискретных элементов (то есть не распределенных элементов ), можно представить как рациональную функцию s ,

${\displaystyle Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}}$

где,

${\displaystyle \scriptstyle Z(s)}$это иммитанс

${\displaystyle \scriptstyle P(s),\ Q(s)}$являются многочленами с действительными положительными коэффициентами

${\displaystyle \scriptstyle s}$— переменная преобразования Лапласа , которую можно заменить на при работе с установившимися сигналами переменного тока . ${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$

Это следует из того факта, что импеданс элементов L и C сам по себе является простыми рациональными функциями, и любая алгебраическая комбинация рациональных функций приводит к другой рациональной функции.

Иногда это называют импедансом точки возбуждения , потому что это импеданс в том месте сети, где подключена внешняя цепь и «приводит» ее в действие сигналом. В своей статье Фостер описывает, как такая рациональная функция без потерь может быть реализована (если она может быть реализована) двумя способами. Первая форма Фостера состоит из ряда последовательно соединенных параллельных LC-цепей. Вторая форма импеданса точки возбуждения Фостера состоит из ряда параллельно соединенных последовательных LC-цепей. Реализация импеданса точки возбуждения ни в коем случае не является уникальной. Реализация Фостера имеет то преимущество, что полюса и/или нули напрямую связаны с определенным резонансным контуром, но существует много других реализаций. Возможно, наиболее известной является лестничная реализация Вильгельма Кауэра из проектирования фильтра. ^{[6] [7] [8]}

Не Фостер сети

Сеть Фостера должна быть пассивной, поэтому активная сеть, содержащая источник питания, может не подчиняться теореме Фостера. Такие сети называются нефостеровскими. ^[9] В частности, схемы, содержащие усилитель с положительной обратной связью, могут иметь реактивное сопротивление, которое уменьшается с частотой. Например, можно создать отрицательную емкость и индуктивность с помощью схем преобразователя отрицательного импеданса . Эти схемы будут иметь функцию иммитанса с фазой ±π/2, как у положительного реактивного сопротивления, но амплитуду реактивного сопротивления с отрицательным наклоном относительно частоты. ^[6]

Они представляют интерес, поскольку могут выполнять задачи, которые не может выполнить сеть Фостера. Например, обычные пассивные сети согласования импеданса Фостера могут согласовывать импеданс антенны с линией передачи только на дискретных частотах, что ограничивает полосу пропускания антенны. Не-Фостеровская сеть могла бы согласовывать антенну в непрерывном диапазоне частот. ^[9] Это позволило бы создавать компактные антенны с широкой полосой пропускания, нарушая предел Чу-Харрингтона . Практические не-Фостеровские сети являются активной областью исследований.

История

Теорема была разработана в American Telephone & Telegraph в рамках продолжающихся исследований по улучшению фильтров для приложений телефонного мультиплексирования . Эта работа имела коммерческое значение; большие суммы денег могли быть сэкономлены за счет увеличения количества телефонных разговоров, которые могли быть переданы по одной линии. ^[10] Теорема была впервые опубликована Кэмпбеллом в 1922 году, но без доказательства. ^[11] Теорема сразу же нашла широкое применение в проектировании фильтров, она занимает видное место, вместе с доказательством, в знаменательной статье Зобеля 1923 года, которая суммировала состояние искусства проектирования фильтров в то время. ^[12] Фостер опубликовал свою статью в следующем году, которая включала его канонические формы реализации. ^[13]

Кауэр в Германии осознал важность работы Фостера и использовал ее в качестве основы для сетевого синтеза . Среди многочисленных нововведений Кауэра было расширение работы Фостера на все сети из 2 элементов после открытия изоморфизма между ними. Кауэр был заинтересован в поиске необходимого и достаточного условия реализуемости рациональной однопортовой сети из ее полиномиальной функции, условия, которое теперь известно как положительно-действительная функция , и обратной проблемы того, какие сети были эквивалентны, то есть имели одну и ту же полиномиальную функцию. Обе эти проблемы были важными в теории сетей и проектировании фильтров. Сети Фостера являются лишь подмножеством реализуемых сетей, ^[14]

Ссылки

1. Aberle и Loepsinger-Romak, стр. 8-9.
2. Radmanesh, стр.459.
3. Cherry, стр. 100-101.
4. Cherry, стр. 100-102.
5. Смит и Элли, стр. 173.
6. Aberle и Loepsinger-Romak, стр.9.
7. Черри, стр. 106-108.
8. Монтгомери и др. , стр. 157-158.
9. Aberle и Loepsinger-Romak, стр.8.
10. Брей, стр. 62.
11. Черри, стр.62.
12. Зобель, стр. 5,35-37.
13. Фостер, 1924.
14. Э. Кауэр и др. , стр.5.

Библиография

• Фостер, Р. М., «Теорема реактивного сопротивления», Bell System Technical Journal , т. 3 , № 2, стр. 259–267, ноябрь 1924 г.
• Кэмпбелл, GA, «Физическая теория фильтра электрических волн», Bell System Technical Journal , т. 1 , № 2, стр. 1–32, ноябрь 1922 г.
• Зобель, О. Дж., «Теория и проектирование однородных и составных электрических волновых фильтров», Bell System Technical Journal , т. 2 , № 1, стр. 1–46, январь 1923 г.
• Мэтью М. Радманеш, Основы проектирования радиочастотных и микроволновых устройств , AuthorHouse, 2007 ISBN  1-4259-7242-X .
• Джеймс Т. Аберле, Роберт Лёпсингер-Ромак, Антенны с нефостеровскими согласующими сетями , Morgan & Claypool Publishers, 2007 ISBN 1-59829-102-5 . 
• Колин Черри, Импульсы и переходные процессы в цепях связи , Тейлор и Фрэнсис, 1950.
• KCA Smith, RE Alley, Электрические цепи: введение , Cambridge University Press, 1992 ISBN 0-521-37769-2 . 
• Кэрол Грей Монтгомери, Роберт Генри Дике, Эдвард М. Перселл, Принципы микроволновых цепей , IET, 1987 ISBN 0-86341-100-2 . 
• Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды Четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Получено 19 сентября 2008 г.
• Брей, Дж., Инновации и революция в области коммуникаций , Институт инженеров-электриков, 2002 ISBN 0-85296-218-5 .