Математическая и теоретическая биология , или биоматематика , — это раздел биологии , который использует теоретический анализ, математические модели и абстракции живых организмов для исследования принципов, управляющих структурой, развитием и поведением систем, в отличие от экспериментальной биологии , которая занимается проведением экспериментов для проверки научных теорий. [1] Эту область иногда называют математической биологией или биоматематикой, чтобы подчеркнуть математическую сторону, или теоретической биологией, чтобы подчеркнуть биологическую сторону. [2] Теоретическая биология больше фокусируется на разработке теоретических принципов для биологии, в то время как математическая биология фокусируется на использовании математических инструментов для изучения биологических систем, хотя эти два термина иногда взаимозаменяемы. [3] [4]
Математическая биология направлена на математическое представление и моделирование биологических процессов с использованием методов и инструментов прикладной математики . Она может быть полезна как в теоретических , так и в практических исследованиях. Количественное описание систем означает, что их поведение может быть лучше смоделировано, и, следовательно, могут быть предсказаны свойства, которые могут быть не очевидны для экспериментатора. Для этого требуются точные математические модели .
Из-за сложности живых систем теоретическая биология использует несколько областей математики [5] и внесла свой вклад в разработку новых методов.
Математика использовалась в биологии еще в 13 веке, когда Фибоначчи использовал знаменитый ряд Фибоначчи для описания растущей популяции кроликов. В 18 веке Даниил Бернулли применил математику для описания влияния оспы на человеческую популяцию. Эссе Томаса Мальтуса 1789 года о росте человеческой популяции было основано на концепции экспоненциального роста. Пьер Франсуа Верхюльст сформулировал логистическую модель роста в 1836 году. [ необходима цитата ]
Фриц Мюллер описал эволюционные преимущества того, что сейчас называется мюллеровской мимикрией , в 1879 году в отчете, примечательном тем, что это было первое использование математического аргумента в эволюционной экологии, чтобы показать, насколько мощным будет эффект естественного отбора, если не считать обсуждения Мальтусом эффектов роста населения , которые повлияли на Чарльза Дарвина : Мальтус утверждал, что рост будет экспоненциальным (он использует слово «геометрический»), в то время как ресурсы ( емкость среды ) могут расти только арифметически. [6]
Термин «теоретическая биология» впервые был использован в качестве названия монографии Иоганнесом Рейнке в 1901 году, а вскоре после этого Якобом фон Икскюлем в 1920 году. Одним из основополагающих текстов считается « О росте и форме » (1917) Д'Арси Томпсона [7] , а другими пионерами являются Рональд Фишер , Ганс Лео Прзибрам , Вито Вольтерра , Николас Рашевский и Конрад Хэл Уоддингтон [8] .
Интерес к этой области быстро рос с 1960-х годов. Вот некоторые причины этого:
Несколько областей специализированных исследований в математической и теоретической биологии [10] [11] [12] [13] [14] , а также внешние ссылки на связанные проекты в различных университетах кратко представлены в следующих подразделах, включая также большое количество соответствующих подтверждающих ссылок из списка нескольких тысяч опубликованных авторов, вносящих вклад в эту область. Многие из включенных примеров характеризуются очень сложными, нелинейными и сверхсложными механизмами, поскольку все больше признается, что результат таких взаимодействий может быть понят только посредством комбинации математических, логических, физико-химических, молекулярных и вычислительных моделей.
Абстрактная реляционная биология (ARB) занимается изучением общих, реляционных моделей сложных биологических систем, обычно абстрагируя конкретные морфологические или анатомические структуры. Некоторые из простейших моделей в ARB — это метаболические репликационные системы, или (M,R) — системы, введенные Робертом Розеном в 1957–1958 годах как абстрактные, реляционные модели клеточной и организменной организации.
Другие подходы включают понятие аутопоэзиса, разработанное Матураной и Варелой , циклы работы-ограничений Кауфмана и, совсем недавно, понятие замыкания ограничений. [15]
Алгебраическая биология (также известная как символическая системная биология) применяет алгебраические методы символьных вычислений для изучения биологических проблем, особенно в геномике , протеомике , анализе молекулярных структур и изучении генов . [16] [17] [18]
Развитие системной биологии для понимания более сложных жизненных процессов началось с 1970 года в связи с молекулярной теорией множеств, реляционной биологией и алгебраической биологией.
Монография по этой теме суммирует обширный объем опубликованных исследований в этой области до 1986 года, [19] [20] [21] включая подразделы в следующих областях: компьютерное моделирование в биологии и медицине, модели артериальной системы, модели нейронов , биохимические и колебательные сети, квантовые автоматы, квантовые компьютеры в молекулярной биологии и генетике , [22] моделирование рака, [23] нейронные сети , генетические сети , абстрактные категории в реляционной биологии, [24] системы метаболической репликации, теория категорий [25] приложения в биологии и медицине, [26] теория автоматов , клеточные автоматы , [27] модели тесселяции [28] [29] и полное самовоспроизведение, хаотические системы в организмах , реляционная биология и организменные теории. [16] [30]
Моделирование клеточной и молекулярной биологии
Эта область получила импульс в связи с растущей важностью молекулярной биологии . [13]
Моделирование физиологических систем
Вычислительная нейронаука (также известная как теоретическая нейронаука или математическая нейронаука) — это теоретическое исследование нервной системы. [43] [44]
Экология и эволюционная биология традиционно являются доминирующими областями математической биологии.
Эволюционная биология была предметом обширного математического теоретизирования. Традиционным подходом в этой области, который включает осложнения из генетики, является популяционная генетика . Большинство популяционных генетиков рассматривают появление новых аллелей путем мутации , появление новых генотипов путем рекомбинации и изменения в частотах существующих аллелей и генотипов в небольшом количестве генных локусов . Когда рассматриваются бесконечно малые эффекты в большом количестве генных локусов, вместе с предположением о равновесии сцепления или квазиравновесии сцепления , получается количественная генетика . Рональд Фишер добился фундаментальных успехов в статистике, такой как дисперсионный анализ , с помощью своей работы по количественной генетике. Еще одним важным разделом популяционной генетики, который привел к широкому развитию теории коалесценции , является филогенетика . Филогенетика — это область, которая занимается реконструкцией и анализом филогенетических (эволюционных) деревьев и сетей на основе унаследованных характеристик [45]. Традиционные популяционно-генетические модели имеют дело с аллелями и генотипами и часто являются стохастическими .
Многие модели популяционной генетики предполагают, что размеры популяции постоянны. Переменные размеры популяции, часто при отсутствии генетической изменчивости, рассматриваются в области популяционной динамики . Работа в этой области восходит к 19 веку, и даже к 1798 году, когда Томас Мальтус сформулировал первый принцип популяционной динамики, который позже стал известен как мальтузианская модель роста . Уравнения Лотки-Вольтерры хищник-жертва являются еще одним известным примером. Популяционная динамика пересекается с другой активной областью исследований в математической биологии: математической эпидемиологией , изучением инфекционных заболеваний, поражающих популяции. Были предложены и проанализированы различные модели распространения инфекций , которые дают важные результаты, которые могут быть применены к решениям политики здравоохранения.
В эволюционной теории игр , впервые разработанной Джоном Мейнардом Смитом и Джорджем Р. Прайсом , отбор действует непосредственно на унаследованные фенотипы, без генетических осложнений. Этот подход был математически усовершенствован для создания области адаптивной динамики .
На ранних этапах развития математической биологии доминировала математическая биофизика , описываемая как применение математики в биофизике, часто включающее конкретные физические/математические модели биосистем и их компонентов или компартментов.
Ниже приведен список математических описаний и их предположений.
Фиксированное отображение между начальным состоянием и конечным состоянием. Начиная с начального состояния и двигаясь вперед во времени, детерминированный процесс всегда генерирует одну и ту же траекторию, и никакие две траектории не пересекаются в пространстве состояний.
Случайное отображение между начальным состоянием и конечным состоянием, делающее состояние системы случайной величиной с соответствующим распределением вероятностей .
Одной из классических работ в этой области является статья Алана Тьюринга о морфогенезе под названием «Химическая основа морфогенеза» , опубликованная в 1952 году в «Философских трудах Королевского общества» .
Модель биологической системы преобразуется в систему уравнений, хотя слово «модель» часто используется как синоним системы соответствующих уравнений. Решение уравнений аналитическим или численным способом описывает, как биологическая система ведет себя либо с течением времени, либо в состоянии равновесия . Существует много различных типов уравнений, и тип поведения, который может возникнуть, зависит как от модели, так и от используемых уравнений. Модель часто делает предположения о системе. Уравнения также могут делать предположения о природе того, что может произойти.
Молекулярная теория множеств (МТЕ) — это математическая формулировка химической кинетики биомолекулярных реакций в широком смысле в терминах наборов молекул и их химических преобразований, представленных теоретико-множественными отображениями между молекулярными множествами. Она была введена Энтони Бартоломеем , и ее приложения были разработаны в математической биологии и особенно в математической медицине. [52] В более общем смысле МТЕ — это теория молекулярных категорий, определяемых как категории молекулярных множеств и их химических преобразований, представленных как теоретико-множественные отображения молекулярных множеств. Теория также внесла вклад в биостатистику и формулировку проблем клинической биохимии в математических формулировках патологических, биохимических изменений, представляющих интерес для физиологии, клинической биохимии и медицины. [52]
Теоретические подходы к биологической организации направлены на понимание взаимозависимости между частями организмов. Они подчеркивают цикличность, к которой приводят эти взаимозависимости. Теоретические биологи разработали несколько концепций для формализации этой идеи.
Например, абстрактная реляционная биология (ARB) [53] занимается изучением общих, реляционных моделей сложных биологических систем, обычно абстрагируя конкретные морфологические или анатомические структуры. Некоторые из простейших моделей в ARB — это метаболическая репликация, или (M,R) — системы, введенные Робертом Розеном в 1957–1958 годах как абстрактные, реляционные модели клеточной и организменной организации. [54]
Эукариотический клеточный цикл очень сложен и является предметом интенсивного изучения, поскольку его неправильная регуляция приводит к раку . Возможно, это хороший пример математической модели, поскольку она имеет дело с простым исчислением, но дает достоверные результаты. Две исследовательские группы [55] [56] создали несколько моделей клеточного цикла, имитирующих несколько организмов. Недавно они создали общую модель эукариотического клеточного цикла, которая может представлять конкретного эукариота в зависимости от значений параметров, демонстрируя, что идиосинкразии отдельных клеточных циклов обусловлены различными концентрациями и сродствами белков, в то время как основные механизмы сохраняются (Csikasz-Nagy et al., 2006).
С помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений эти модели показывают изменение во времени ( динамическая система ) белка внутри одной типичной клетки; этот тип модели называется детерминированным процессом (тогда как модель, описывающая статистическое распределение концентраций белка в популяции клеток, называется стохастическим процессом ).
Для получения этих уравнений необходимо выполнить итеративную серию шагов: сначала несколько моделей и наблюдений объединяются для формирования консенсусной диаграммы, и выбираются соответствующие кинетические законы для записи дифференциальных уравнений, таких как кинетика скорости для стехиометрических реакций, кинетика Михаэлиса-Ментен для реакций фермента-субстрата и кинетика Голдбетера-Кошланда для сверхчувствительных факторов транскрипции, затем параметры уравнений (константы скорости, коэффициенты эффективности фермента и константы Михаэлиса) должны быть подогнаны для соответствия наблюдениям; когда их невозможно подогнать, кинетическое уравнение пересматривается, а когда это невозможно, модифицируется схема соединений. Параметры подбираются и проверяются с использованием наблюдений как дикого типа, так и мутантов, таких как период полураспада белка и размер клетки.
Чтобы подогнать параметры, необходимо изучить дифференциальные уравнения. Это можно сделать либо с помощью моделирования, либо с помощью анализа. При моделировании, имея начальный вектор (список значений переменных), прогрессия системы вычисляется путем решения уравнений в каждом временном интервале с небольшими приращениями.
В анализе свойства уравнений используются для исследования поведения системы в зависимости от значений параметров и переменных. Система дифференциальных уравнений может быть представлена в виде векторного поля , где каждый вектор описывает изменение (концентрации двух или более белков), определяя, куда и как быстро движется траектория (симуляция). Векторные поля могут иметь несколько особых точек: устойчивую точку , называемую стоком, которая притягивает во всех направлениях (заставляя концентрации находиться на определенном значении), неустойчивую точку , либо источник, либо седловую точку , которая отталкивает (заставляя концентрации изменяться от определенного значения), и предельный цикл, замкнутую траекторию, к которой по спирали приближаются несколько траекторий (заставляя концентрации колебаться).
Лучшим представлением, которое обрабатывает большое количество переменных и параметров, является бифуркационная диаграмма с использованием теории бифуркации . Наличие этих специальных точек устойчивого состояния при определенных значениях параметра (например, массы) представлено точкой, и как только параметр проходит определенное значение, происходит качественное изменение, называемое бифуркацией, в котором природа пространства изменяется, что имеет серьезные последствия для концентраций белка: клеточный цикл имеет фазы (частично соответствующие G1 и G2), в которых масса через стабильную точку контролирует уровни циклина, и фазы (фазы S и M), в которых концентрации изменяются независимо, но как только фаза изменилась в событии бифуркации ( контрольная точка клеточного цикла ), система не может вернуться к предыдущим уровням, поскольку при текущей массе векторное поле существенно отличается, и масса не может быть возвращена обратно через событие бифуркации, что делает контрольную точку необратимой. В частности, контрольные точки S и M регулируются с помощью специальных бифуркаций, называемых бифуркацией Хопфа и бифуркацией бесконечного периода . [ необходима ссылка ]
{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link){{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )