Теория возможностей

Математическая теория борьбы с неопределенностью

Теория возможностей — это математическая теория, предназначенная для работы с определенными типами неопределенности и являющаяся альтернативой теории вероятностей . Он использует меры возможности и необходимости от 0 до 1, от невозможного к возможному и от ненужного к необходимому соответственно. Профессор Лотфи Заде впервые представил теорию возможностей в 1978 году как расширение своей теории нечетких множеств и нечеткой логики . Дидье Дюбуа и Анри Прад внесли дальнейший вклад в его развитие. Ранее, в 1950-х годах, экономист Г. Л. С. Шекл предложил алгебру мин/макс для описания степени потенциальной неожиданности.

Формализация возможности

Для простоты предположим, что вселенная дискурса Ω представляет собой конечное множество. Мера возможности — это функция от до [0, 1] такая, что: ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle 2^{\Omega }}$

Аксиома 1: ${\displaystyle \Pi (\varnothing )=0}$

Аксиома 2: ${\displaystyle \Pi (\Omega )=1}$

Аксиома 3: для любых непересекающихся подмножеств и . ^[1] ${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Отсюда следует, что, как и вероятность в конечных вероятностных пространствах , мера возможности определяется ее поведением на одиночных элементах:

${\displaystyle \Pi (U)=\max _{\omega \in U}\Pi (\{\omega \}).}$

Аксиому 1 можно интерпретировать как предположение о том, что Ω является исчерпывающим описанием будущих состояний мира, поскольку это означает, что элементам вне Ω не придается никакого веса доверия.

Аксиому 2 можно интерпретировать как предположение о том, что доказательства, на основе которых были построены, не содержат каких-либо противоречий. Технически это означает, что в Ω существует хотя бы один элемент с возможностью 1. ${\displaystyle \Pi }$

Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности вероятностей. Однако есть важное практическое различие. Теория возможностей более удобна в вычислительном отношении, поскольку аксиомы 1–3 предполагают, что:

${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$для любых подмножеств и . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Поскольку о возможности объединения можно узнать по возможности каждого компонента, можно сказать, что возможность композиционна по отношению к оператору объединения. Однако обратите внимание, что он не является композиционным по отношению к оператору пересечения. В целом:

${\displaystyle \Pi (U\cap V)\leq \min \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)\leq \max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right).}$

Когда Ω не конечно, аксиому 3 можно заменить следующим:

Для всех наборов индексов , если подмножества попарно не пересекаются , ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle U_{i,\,i\in I}}$ ${\displaystyle \Pi \left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\Pi (U_{i}).}$

Необходимость

В то время как теория вероятностей использует одно число, вероятность, для описания того, насколько вероятно событие произойдет, теория возможностей использует два понятия: возможность и необходимость события . Для любого множества мера необходимости определяется формулой ${\displaystyle U}$

${\displaystyle N(U)=1-\Pi ({\overline {U}})}$.

В приведенной выше формуле обозначает дополнение , то есть элементы, не принадлежащие . Это несложно показать: ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle N(U)\leq \Pi (U)}$для любого ${\displaystyle U}$

и это:

${\displaystyle N(U\cap V)=\min(N(U),N(V))}$.

Обратите внимание: вопреки теории вероятностей, возможность не является самодвойственной. То есть для любого события имеем только неравенство: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Pi (U)+\Pi ({\overline {U}})\geq 1}$

Однако справедливо следующее правило двойственности:

На любое событие либо , либо ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Pi (U)=1}$ ${\displaystyle N(U)=0}$

Соответственно, убеждения о событии могут быть представлены числом и битом.

Интерпретация

Есть четыре случая, которые можно интерпретировать следующим образом:

${\displaystyle N(U)=1}$значит, это необходимо. это конечно правда. Это подразумевает, что . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Pi (U)=1}$

${\displaystyle \Pi (U)=0}$значит это невозможно. заведомо ложно. Это подразумевает, что . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(U)=0}$

${\displaystyle \Pi (U)=1}$значит, это возможно. Я бы совсем не удивился, если бы это произошло. Он уходит без ограничений. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(U)}$

${\displaystyle N(U)=0}$значит это ненужно. Я бы совсем не удивился, если бы этого не произошло. Он уходит без ограничений. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Pi (U)}$

Пересечение последних двух случаев означает , что я вообще ничему не верю . Поскольку она допускает подобную неопределенность, теория возможностей относится к градуировке многозначной логики , такой как интуиционистская логика , а не классической двузначной логики . ${\displaystyle N(U)=0}$ ${\displaystyle \Pi (U)=1}$ ${\displaystyle U}$

Обратите внимание, что в отличие от возможности нечеткая логика является композиционной как по отношению к оператору объединения, так и по отношению к оператору пересечения. Связь с нечеткой теорией можно объяснить на следующем классическом примере.

• Нечеткая логика: когда бутылка наполовину полна, можно сказать, что уровень истинности утверждения «Бутылка полна» равна 0,5. Слово «полный» рассматривается как нечеткое предикат, описывающий количество жидкости в бутылке.
• Теория возможности: существует одна бутылка, либо полностью полная, либо совершенно пустая. Утверждение «уровень вероятности того, что бутылка полна, равна 0,5» описывает степень убеждения. Один из способов интерпретировать 0,5 в этом утверждении — определить его значение следующим образом: я готов поспорить, что он пуст, пока шансы четны (1:1) или выше, и я ни в коем случае не буду держать пари, что он полон.

Теория возможностей как неточная теория вероятностей

Существует обширное формальное соответствие между теориями вероятностей и возможностей, где оператор сложения соответствует оператору максимума.

Меру возможности можно рассматривать как согласную меру правдоподобия в теории доказательств Демпстера-Шейфера . Операторы теории возможностей можно рассматривать как сверхосторожную версию операторов переносимой модели убеждений , современного развития теории свидетельств.

Возможность можно рассматривать как верхнюю вероятность : любое распределение возможностей определяет уникальный набор доверенных значений допустимых распределений вероятностей с помощью

${\displaystyle K=\{\,P\mid \forall S\ P(S)\leq \Pi (S)\,\}.}$

Это позволяет изучать теорию возможностей, используя инструменты неточных вероятностей .

Логика необходимости

Мы называем обобщенной возможностью каждую функцию, удовлетворяющую аксиоме 1 и аксиоме 3. Мы называем обобщенной необходимостью двойственную обобщенной возможности. Обобщенные потребности связаны с очень простой и интересной нечеткой логикой, называемой логикой необходимости . В аппарате дедукции логики необходимости логические аксиомы представляют собой обычные классические тавтологии . Кроме того, существует только нечеткое правило вывода, расширяющее обычный modus ponens . Такое правило гласит, что если α и α → β доказаны на степени λ и µ соответственно, то мы можем утверждать β на степени min{ λ , µ }. Легко видеть, что теории такой логики представляют собой обобщенные потребности и что вполне непротиворечивые теории совпадают с потребностями (см., например, Gerla 2001).

Смотрите также

• Теория нечеткой меры
• Логическая возможность
• Модальная логика
• Вероятностная логика
• Случайно-нечеткая переменная
• Переносимая модель убеждений
• Верхняя и нижняя вероятности

Рекомендации

Цитаты

1. Дюбуа, Д.; Праде, Х.: Теория возможностей: подход к компьютеризированной обработке неопределенности. Пленум Пресс, 1988.

Источники

• Дюбуа, Дидье и Прад, Анри, «Теория возможностей, теория вероятностей и многозначная логика: разъяснение», Анналы математики и искусственного интеллекта 32:35–66, 2002.
• Герла Джанджакомо, Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 2001.
• Ладислав Дж. Когоут, «Теории возможностей: метааксиоматика и семантика», Нечеткие множества и системы 25: 357-367, 1988.
• Заде, Лотфи , «Нечеткие множества как основа теории возможностей», Fuzzy Sets and Systems 1:3–28, 1978. (Перепечатано в Fuzzy Sets and Systems 100 (Приложение): 9–34, 1999.)
• Брайан Р. Гейнс и Ладислав Дж. Кохут, «Возможные автоматы», в материалах Международного симпозиума по многозначной логике, стр. 183–192, Блумингтон, Индиана, 13–16 мая 1975 г.