Теория жизнеспособности — область математики, изучающая эволюцию динамических систем при ограничениях на состояние системы . [1] [2] Он был разработан для формализации задач, возникающих при изучении различных природных и социальных явлений, и имеет тесную связь с теориями оптимального управления и многозначного анализа .
Многие системы, организации и сети, возникающие в биологии и социальных науках, не развиваются ни детерминистски, ни даже стохастически. Скорее, они развиваются с дарвиновским привкусом, движимые случайными колебаниями, но все же вынужденные оставаться «жизнеспособными» окружающей средой. Теория жизнеспособности началась в 1976 году с математического перевода названия книги Жака Моно « Шанс и необходимость» [3] на дифференциальное включение случайности и необходимости. Дифференциальное включение — это тип «эволюционной машины» (называемой эволюционной системой, связывающей с любым начальным состоянием x подмножество эволюций, начинающихся с x. Система называется детерминированной, если это множество состоит из одной и только одной эволюции, а в противном случае — контингентной). Необходимость — это требование, чтобы в каждый момент эволюция была жизнеспособной (сохранялась) в среде K, описываемой ограничениями жизнеспособности , словом, охватывающим многозначные понятия, такие как стабильность, ограничение, гомеостаз, адаптация и т. д., выражающие идею о том, что некоторые переменные должны быть. подчиняются некоторым ограничениям (представляющим собой физические, социальные, биологические и экономические ограничения и т. д.), которые никогда не могут быть нарушены. Итак, теория жизнеспособности начинается с сопоставления эволюционных систем, управляющих эволюцией, и ограничений жизнеспособности, которым такая эволюция должна подчиняться. У них есть общие черты:
Таким образом, теория жизнеспособности проектирует и разрабатывает математические и алгоритмические методы исследования «адаптации к ограничениям жизнеспособности» эволюции, управляемой сложными системами в условиях неопределенности, которые встречаются во многих областях, связанных с живыми существами, от биологической эволюции до экономики, от наук об окружающей среде до финансовых рынков и т. д. от теории управления и робототехники до когнитивных наук. Требовалось создать дифференциальное исчисление многозначных отображений (множественный анализ), дифференциальные включения и дифференциальное исчисление в метрических пространствах (мутационный анализ).
Основная проблема теории жизнеспособности состоит в том, чтобы найти «ядро жизнеспособности» среды, подмножество начальных состояний среды, такое, что существует по крайней мере одна эволюция, «жизнеспособная» в среде, в том смысле, что в каждый момент времени состояние эволюции остается ограниченным окружающей средой. Второй вопрос заключается в том, чтобы предоставить карту регулирования, выбирающую такие жизнеспособные эволюции, начиная с ядра жизнеспособности. Ядро жизнеспособности может быть равно среде, и в этом случае среда называется жизнеспособной в рамках эволюционной системы, и пустому множеству, и в этом случае оно называется репеллером, поскольку все эволюции в конечном итоге нарушают ограничения.
Ядро жизнеспособности предполагает, что некий «лицо, принимающее решения», контролирует или регулирует развитие системы. Если нет, то следующая проблема касается «тихастического ядра» (от tyche, что по-гречески означает «случайность») или «ядра инвариантности», подмножества начальных состояний в окружающей среде, таких, что все эволюции «жизнеспособны» в окружающей среде, альтернативы. путь к стохастическим дифференциальным уравнениям, заключающим в себе концепцию «страховки» от неопределенности, предоставляя способ ее искоренения, а не оценки.
