Распространение неопределенности

Влияние неопределенности переменных на неопределенность функции, основанной на них

В статистике распространение неопределенности (или распространение ошибки ) — это влияние неопределенностей переменных (или ошибок , точнее случайных ошибок ) на неопределенность функции, основанной на них. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ) , которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность u может быть выражена несколькими способами. Она может быть определена с помощью абсолютной погрешности Δ x . Неопределенности также могут быть определены с помощью относительной погрешности (Δ x )/ x , которая обычно записывается в процентах. Чаще всего неопределенность величины количественно определяется с помощью стандартного отклонения σ , которое является положительным квадратным корнем дисперсии . Значение величины и ее погрешность затем выражаются как интервал x ± u . Однако наиболее общий способ характеризовать неопределенность — это указать ее распределение вероятностей . Если распределение вероятностей переменной известно или может быть предположено, теоретически можно получить любую ее статистику. В частности, можно вывести доверительные пределы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительные пределы для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляют приблизительно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет охватывать истинное значение примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелируют, то необходимо учитывать ковариацию . Корреляция может возникнуть из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда базовые значения коррелируют по всей популяции, неопределенности в средних значениях группы будут коррелированы. ^[1]

В общем контексте, где нелинейная функция изменяет неопределенные параметры (коррелированные или нет), стандартными инструментами для распространения неопределенности и вывода результирующего распределения вероятностей/статистики являются методы выборки из семейства методов Монте-Карло . ^[2] Для очень обширных данных или сложных функций вычисление распространения ошибки может быть очень обширным, поэтому может потребоваться суррогатная модель ^[3] или стратегия параллельных вычислений ^{[4] [5] [6]} .

В некоторых частных случаях расчет распространения неопределенности может быть выполнен с помощью упрощенных алгебраических процедур. Некоторые из этих сценариев описаны ниже.

Линейные комбинации

Пусть будет набором из m функций, которые являются линейными комбинациями переменных с коэффициентами комбинации : или в матричной записи, ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$ $${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

Также пусть матрица дисперсии-ковариации x = ( x ₁ , ..., x n ₎ обозначается как , а среднее значение обозначается как : — внешнее произведение . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \otimes }$

Тогда матрица дисперсии-ковариации функции f определяется как ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E[(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])]=E[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]=\mathbf {A} E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.}$$

В компонентной записи уравнение выглядит следующим образом: $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$ $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$$

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки из одного набора переменных в другой. Когда ошибки по x некоррелированы, общее выражение упрощается до , где - дисперсия k -го элемента вектора x . Обратите внимание, что даже если ошибки по x могут быть некоррелированными, ошибки по f в общем случае коррелированы; другими словами, даже если - диагональная матрица, - в общем случае полная матрица. $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$ ${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a — вектор-строка): $${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

Каждый ковариационный член может быть выражен через коэффициент корреляции следующим образом : , так что альтернативное выражение для дисперсии f имеет вид ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

В случае, если переменные в x не коррелируют, это упрощается еще больше: $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим $${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

Для среднего арифметического результатом является стандартная ошибка среднего : ${\displaystyle a=1/n}$ $${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

Нелинейные комбинации

Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , можно выполнить интервальное распространение для вычисления интервалов, содержащих все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция f обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора первого порядка , хотя в некоторых случаях можно вывести точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии произведений. ^[7] Разложение Тейлора будет выглядеть так: где обозначает частную производную f _k по отношению к i -й переменной, вычисленную по среднему значению всех компонентов вектора x . Или в матричной записи , где J - матрица Якоби . Поскольку f ⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку в f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но заменяя линейные коэффициенты A _ki и A _kj частными производными и . В матричной записи ^[8] $${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$ ${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$ $${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$ $${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

То есть, якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов матрицы дисперсии-ковариации аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с . ${\displaystyle \mathrm {J=A} }$

Упрощение

Пренебрежение корреляциями или предположение о независимости переменных приводит к общей формуле среди инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок — формуле дисперсии: ^[9] где представляет собой стандартное отклонение функции , представляет собой стандартное отклонение , представляет собой стандартное отклонение и т. д. $${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$$ ${\displaystyle s_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{y}}$ ${\displaystyle y}$

Эта формула основана на линейных характеристиках градиента и, следовательно, является хорошей оценкой для стандартного отклонения, если они достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация должна быть близка к внутри окрестности радиуса . ^[10] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$

Пример

Любая нелинейная дифференцируемая функция двух переменных и может быть разложена как Если мы возьмем дисперсию с обеих сторон и применим формулу ^[11] для дисперсии линейной комбинации переменных, то получим где — стандартное отклонение функции , — стандартное отклонение , — стандартное отклонение и — ковариация между и . ${\displaystyle f(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),}$$ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},}$$ ${\displaystyle \sigma _{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

В частном случае, когда , , . Тогда или где есть корреляция между и . ${\displaystyle f=ab}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$$ ${\displaystyle \rho _{ab}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Когда переменные и некоррелированы, . Тогда ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \rho _{ab}=0}$ $${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$$

Предостережения и предупреждения

Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования усеченного расширения ряда. Степень этого смещения зависит от природы функции. Например, смещение ошибки, вычисленной для log(1+ x ), увеличивается с ростом x , поскольку расширение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; ^[12] подробности см . в разделе Количественная оценка неопределенности .

Взаимные и смещенные взаимные

В особом случае обратного или обратного распределения , когда следует стандартное нормальное распределение , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и не существует определяемой дисперсии. ^[13] ${\displaystyle 1/B}$ ${\displaystyle B=N(0,1)}$

Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции для следования общему нормальному распределению, тогда статистики среднего и дисперсии существуют в смысле главного значения , если разница между полюсом и средним значением является действительной. ^[14] ${\displaystyle 1/(p-B)}$ ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$

Коэффициенты

Соотношения также проблематичны; при определенных условиях существуют нормальные приближения.

Примеры формул

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных со стандартными отклонениями, ковариацией и корреляцией. Действительные коэффициенты и предполагаются точно известными (детерминированными), т.е. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$ ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$ ${\displaystyle \rho _{AB}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

В правых столбцах таблицы и — это ожидаемые значения , а — значение функции, рассчитанное при этих значениях. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$

Для некоррелированных переменных ( , ) выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение, предполагающее отсутствие корреляции, дает ${\displaystyle \rho _{AB}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$ $${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

Для этого случая у нас также есть выражение Гудмана ^[7] для точной дисперсии: для некоррелированного случая оно равно и поэтому мы имеем ${\displaystyle f=AB}$ $${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2}),}$$ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$

Влияние корреляции на различия

Если A и B не коррелируют, их разность A − B будет иметь большую дисперсию, чем любая из них. Увеличивающаяся положительная корреляция ( ) уменьшит дисперсию разности, сходясь к нулевой дисперсии для идеально коррелированных переменных с той же дисперсией . С другой стороны, отрицательная корреляция ( ) еще больше увеличит дисперсию разности по сравнению с некоррелированным случаем. ${\displaystyle \rho _{AB}\to 1}$ ${\displaystyle \rho _{AB}\to -1}$

Например, самовычитание f = A − A имеет нулевую дисперсию только в том случае, если переменная полностью автокоррелирована ( ). Если A некоррелирована, то выходная дисперсия в два раза больше входной дисперсии, а если A полностью антикоррелирована, то входная дисперсия в четыре раза больше выходной (обратите внимание на f = aA − aA в таблице выше). ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$ ${\displaystyle \rho _{A}=1}$ ${\displaystyle \rho _{A}=0,}$ ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}$ ${\displaystyle \rho _{A}=-1,}$ ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}$ ${\displaystyle 1-\rho _{A}=2}$

Примеры расчетов

Функция арктангенса

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции арктангенса в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определим , где абсолютная неопределенность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна $${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$ $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$$

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна , где — абсолютная распространенная неопределенность. $${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$$ ${\displaystyle \Delta _{f}}$

Измерение сопротивления

Практическим применением является эксперимент , в котором измеряют ток I и напряжение V на резисторе , чтобы определить сопротивление R , используя закон Ома R = V / I.

Учитывая измеренные переменные с неопределенностями, I ± σ _I и V ± σ _V , и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисляемой величины, σ _R , равна:

$${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Точность и аккуратность
• Автоматическая дифференциация
• Личность Бьенеме
• Дельта-метод
• Снижение точности (навигация)
• Ошибки и остатки в статистике
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Интервальный конечный элемент
• Неопределенность измерения
• Численная стабильность
• Анализ границ вероятности
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная
• Дисперсия § Распространение

Ссылки

1. Киршнер, Джеймс. "Data Analysis Toolkit #5: Uncertainty Analysis and Error Propagation" (PDF) . Berkeley Seismology Laboratory . University of California . Получено 22 апреля 2016 г. .
2. Kroese, DP; Taimre, T.; Botev, ZI (2011). Справочник по методам Монте-Карло . John Wiley & Sons.
3. Ранфтл, Саша; фон дер Линден, Вольфганг (13.11.2021). «Байесовский суррогатный анализ и распространение неопределенности». Physical Sciences Forum . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . doi : 10.3390/psf2021003006 . ISSN  2673-9984.
4. Атанасова, Е.; Гуров, Т.; Караиванова, А.; Ивановска, С.; Дурхова, М.; Димитров, Д. (2016). «О подходах к распараллеливанию для архитектуры Intel MIC». Труды конференции AIP . 1773 (1): 070001. Bibcode : 2016AIPC.1773g0001A. doi : 10.1063/1.4964983.
5. Кунья младший, А.; Нассер, Р.; Сампайо, Р.; Лопес, Х.; Брейтман, К. (2014). «Количественная оценка неопределенности с помощью метода Монте-Карло в условиях облачных вычислений». Computer Physics Communications . 185 (5): 1355–1363. arXiv : 2105.09512 . Bibcode : 2014CoPhC.185.1355C. doi : 10.1016/j.cpc.2014.01.006. S2CID  32376269.
6. Линь, И.; Ван, Ф.; Лю, Б. (2018). «Генератор случайных чисел для крупномасштабного параллельного моделирования Монте-Карло на ПЛИС». Журнал вычислительной физики . 360 : 93–103. Bibcode : 2018JCoPh.360...93L. doi : 10.1016/j.jcp.2018.01.029.
7. Goodman, Leo (1960). «О точной дисперсии продуктов». Журнал Американской статистической ассоциации . 55 (292): 708–713. doi :10.2307/2281592. JSTOR  2281592.
8. Ochoa1, Benjamin; Belongie, Serge "Распространение ковариации для управляемого сопоставления" Архивировано 20 июля 2011 г. на Wayback Machine
9. Ku, HH (октябрь 1966 г.). «Заметки об использовании распространения формул ошибок». Журнал исследований Национального бюро стандартов . 70C (4): 262. doi : 10.6028/jres.070c.025 . ISSN  0022-4316 . Получено 3 октября 2012 г.
10. Клиффорд, А.А. (1973). Многомерный анализ ошибок: справочник по распространению и вычислению ошибок в многопараметрических системах . John Wiley & Sons. ISBN 978-0470160558.^{[ нужна страница ]}
11. Soch, Joram (2020-07-07). "Дисперсия линейной комбинации двух случайных величин". The Book of Statistical Proofs . Получено 29-01-2022 .
12. Ли, Ш.; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа «черный ящик»». Structural and Multidisciplinary Optimization . 37 (3): 239–253. doi :10.1007/s00158-008-0234-7. S2CID  119988015.
13. Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, том 1. Wiley. стр. 171. ISBN 0-471-58495-9.
14. Lecomte, Christophe (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем ранга один». Journal of Sound and Vibration . 332 (11): 2750–2776. doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
15. "A Summary of Error Propagation" (PDF) . стр. 2. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-12-13 . Получено 2016-04-04 .
16. "Распространение неопределенности посредством математических операций" (PDF) . стр. 5 . Получено 2016-04-04 .
17. "Стратегии оценки дисперсии" (PDF) . стр. 37 . Получено 2013-01-18 .
18. Harris, Daniel C. (2003), Количественный химический анализ (6-е изд.), Macmillan, стр. 56, ISBN 978-0-7167-4464-1
19. "Учебник по распространению ошибок" (PDF) . Foothill College . 9 октября 2009 г. . Получено 01.03.2012 .

Дальнейшее чтение

• Бевингтон, Филип Р.; Робинсон, Д. Кит (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Форназини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории, Springer, стр. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически предсказать ошибки измерения , CreateSpace
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (краткое изд.)
• Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: изучение неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
• Ван, CM; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространяющихся неопределенностей». Metrologia . 42 (5): 406–410. doi :10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN  0026-1394. S2CID  122841691.

Внешние ссылки

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
• GUM, Руководство по выражению неопределенности в измерениях
• EPFL Введение в распространение ошибок, вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx'
• пакет неопределенностей, программа/библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Пакет soerp, программа/библиотека Python для прозрачного выполнения вычислений *второго порядка* с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет по руководствам по метрологии (2011). JCGM 102: Оценка данных измерений — Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» — Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Получено 13 февраля 2013 г.
• Калькулятор неопределенности Распространить неопределенность для любого выражения