stringtranslate.com

Теория импульса

Гравюра артиллерии на дереве, 1582 год, работа Вальтера Германа Риффа  [ де ]

Теория импульса [1] — это вспомогательная или вторичная теория аристотелевской динамики , первоначально выдвинутая для объяснения движения снаряда против силы тяжести . Он был введен Иоанном Филопоном в VI веке [2] [3] и развит Нур ад-Дином аль-Битруджи в конце XII века. [4] Теория была модифицирована Авиценной в 11 веке и Абуль-Баракатом аль-Багдади в 12 веке, прежде чем она была позже утверждена в западной научной мысли Жаном Буриданом в 14 веке. Это интеллектуальный предшественник понятий инерции , импульса и ускорения в классической механике .

Аристотелевская теория

Аристотелевская физика — это форма естествознания , описанная в трудах греческого философа Аристотеля (384–322 до н.э.). В своей работе «Физика» Аристотель намеревался установить общие принципы изменений, которые управляют всеми природными телами, как живыми, так и неживыми, небесными и земными, включая любое движение, количественные изменения, качественные изменения и существенные изменения.

Аристотель описывает два вида движения: «неистовое» или «неестественное движение», например движение брошенного камня, в « Физике » (254b10) и «естественное движение», например, падающего объекта, в « На небесах» (300a20). . При насильственном движении, как только агент перестает его вызывать, прекращается и само движение: другими словами, естественное состояние объекта — это покой, поскольку Аристотель не рассматривает трение .

Теория Гиппарха

Во II веке Гиппарх предположил, что сила броска передается телу в момент броска и что тело рассеивает ее во время последующего движения вверх и вниз при свободном падении. Это по мнению неоплатоника Симплиция Киликийского , который цитирует Гиппарха в своей книге « Aristotelis De Caelo commentaria 264, 25» следующим образом: «Гиппарх говорит в своей книге « О телах, уносимых своим весом» , что сила броска является причиной движения вверх [комка] земли брошено вверх до тех пор, пока эта сила окажется сильнее силы брошенного тела; чем больше сила броска, тем быстрее будет движение вверх. Затем, когда сила уменьшится, движение вверх продолжится с меньшей скоростью до тех пор, пока тело не начнет двигаться вниз под действием собственного веса, при этом сила броска еще каким-то образом сохраняется. По мере ее уменьшения скорость падения увеличивается и достигает наибольшего значения, когда эта сила полностью рассеивается». Таким образом, Гиппарх не говорит о непрерывном контакте между движущей силой и движущимся телом или о функции воздуха как промежуточного носителя движения, как утверждает Аристотель.

Теория Филопонана

В VI веке Иоанн Филопон частично принял теорию Аристотеля о том, что «продолжение движения зависит от продолжающегося действия силы», но модифицировал ее, включив в нее свою идею о том, что брошенное тело приобретает движущую силу или склонность к принудительному движению от агента, производящего первоначальное движение и что эта сила обеспечивает продолжение такого движения. Однако он утверждал, что эта впечатляемая добродетель была временной: что это была склонность к саморасходу, и, таким образом, возникающее резкое движение заканчивается, превращаясь обратно в естественное движение. [5]

В своей книге «О физике Аристотеля» 641, 12; 641, 29; 642, 9 Филопон сначала открыто возражает против объяснения Аристотеля о том, что брошенный камень после того, как он покинул руку, не может двигаться дальше за счет воздуха позади него. Затем он продолжает: «Вместо этого метатель должен сообщить снаряду некую нематериальную кинетическую силу. При этом толкаемый воздух либо не вносит никакого вклада, либо лишь очень мало способствует этому движению. Но если движущиеся тела обязательно движутся таким образом, это ясно. что тот же процесс произойдет гораздо легче, если стрелу или камень бросить обязательно и против своего стремления в пустое пространство, и что для этого не нужно ничего, кроме бросающего». Это последнее предложение призвано показать, что в пустом пространстве — что Аристотель отвергает — и вопреки мнению Аристотеля, движущееся тело будет продолжать двигаться. Следует отметить, что Филопон в своей книге использует два разных выражения для импульса: кинетическую мощность (dynamis) и кинетическую силу (energeia). Оба выражения обозначают в его теории понятие, близкое сегодняшнему понятию энергии, но далекое от аристотелевских представлений о потенциальности и действительности.

арабские теории

В 11 веке Авиценна (Ибн Сина) обсуждал теорию Филопона в «Книге исцеления» , в «Физике» IV.14 он говорит: [6]

Когда мы самостоятельно проверяем вопрос (о движении снаряда), то обнаруживаем, что наиболее правильным учением является учение тех, кто думает, что перемещаемый предмет приобретает наклон от движущегося.

Ибн Сина согласился с тем, что метатель сообщает снаряду импульс, но в отличие от Филопона, который считал, что это временное достоинство, которое будет уменьшаться даже в вакууме, он рассматривал его как постоянное, требующее внешних сил, таких как сопротивление воздуха, для рассеивания. это. [7] [8] [9] Ибн Сина проводил различие между «силой» и «наклоном» (называемым «майл») и утверждал, что объект приобретает майл, когда объект находится в противоречии со своим естественным движением. Поэтому он пришел к выводу, что продолжение движения объясняется наклоном, передаваемым предмету, и этот предмет будет находиться в движении до тех пор, пока не израсходуется майл. Он также утверждал, что снаряд в вакууме не остановится, если на него не воздействовать, что согласуется с концепцией инерции Ньютона. [10] Эта идея (которая расходилась с аристотелевской точкой зрения) была позже описана как «стимул» Жаном Буриданом , который, возможно, находился под влиянием Ибн Сины. [11] [12]

В XII веке Хибат Аллах Абуль-Баракат аль-Багдади принял теорию импульса Филопона. В своем «Китаб аль-Мутабар» Абу'л-Баракат заявил, что движущийся объект придает сильное влечение ( майл касри ) движущемуся, и что оно уменьшается по мере удаления движущегося объекта от движущегося. [13] Как и Филопон и в отличие от Ибн Сины, аль-Багдади считал, что майл самозатухает. [14]

Он также предложил объяснение ускорения падающих тел при последовательном применении «одного майла за другим», поскольку именно падающее тело создает майл, в отличие от стрельбы из лука, где применяется только один сильный майл. [14] Согласно Шломо Пайнсу , теория аль-Багдади была

старейшее отрицание фундаментального динамического закона Аристотеля [а именно, что постоянная сила производит равномерное движение], [и, таким образом, является] смутным предвосхищением фундаментального закона классической механики [ а именно, что сила, приложенная непрерывно, производит ускорение] . [14]

Жан Буридан и Альберт Саксонский позже ссылаются на Абу'л-Бараката, объясняя, что ускорение падающего тела является результатом его возрастающего импульса. [13]

Буриданистский импульс

В 14 веке Жан Буридан постулировал понятие движущей силы, которую он назвал импульсом.

Когда движитель приводит тело в движение, он вкладывает в него определенный импульс, т. е. известную силу, позволяющую телу двигаться в том направлении, в котором движитель его приводит в движение, будь то вверх, вниз, в сторону или по кругу. Имплантированный импульс увеличивается в той же пропорции, что и скорость. Именно благодаря этому импульсу камень движется дальше после того, как метатель прекратил его перемещать. Но из-за сопротивления воздуха (а также из-за тяжести камня), стремящегося переместить его в направлении, противоположном движению, вызванному толчком, последний будет все время ослабевать. Поэтому движение камня будет постепенно замедляться, и, наконец, импульс настолько ослабнет или исчезнет, ​​что сила тяжести камня преобладает и перемещает камень к его естественному месту. По моему мнению, это объяснение можно принять, поскольку другие объяснения оказываются ложными, тогда как все явления согласуются с этим. [15]

Буридан придает своей теории математическое значение: импульс = вес x скорость.

Ученик Буридана Доминик де Клавазио в своем «De Caelo» 1357 года следующим образом:

«Когда что-то силой перемещает камень, оно не только сообщает ему действительную силу, но и сообщает ему известный импульс. Точно так же гравитация не только сообщает само движение движущемуся телу, но и придает ему движущую силу и толчок...».

Позиция Буридана заключалась в том, что движущийся объект можно остановить только сопротивлением воздуха и весом тела, которое противодействует его импульсу. [16] Буридан также утверждал, что импульс пропорционален скорости; таким образом, его первоначальная идея импульса во многом была похожа на современную концепцию импульса . Буридан рассматривал свою теорию лишь как модификацию основной философии Аристотеля, поддерживая многие другие странствующие взгляды, включая веру в то, что между объектом в движении и объектом в покое все еще существует фундаментальное различие. Буридан также утверждал, что импульс может иметь не только линейный, но и круговой характер, заставляя объекты (например, небесные тела) двигаться по кругу.

Буридан отметил, что ни неподвижные движущие силы Аристотеля, ни души Платона не встречаются в Библии, поэтому он применил теорию импульса к вечному вращению небесных сфер, расширив земной пример ее применения к вращательному движению в форме вращающегося мельничного колеса, которое продолжает вращаться. вращаясь в течение длительного времени после того, как первоначально движущая рука была убрана, под действием импульса, попавшего в нее. [17] О небесном импульсе сфер он писал следующее:

«Бог, когда Он сотворил мир, перемещал каждое из небесных светил так, как Ему было угодно, и, перемещая их, Он вложил в них импульсы, которые приводили их в движение без необходимости больше перемещать их... И те импульсы, которые Он вложил в небесные тела впоследствии не уменьшались и не искажались, потому что у небесных тел не было склонности к другим движениям. Не было и сопротивления, которое было бы развращающим или подавляющим этот импульс». [18]

Однако, игнорируя возможность какого-либо сопротивления либо из-за противоположной склонности двигаться в любом противоположном направлении, либо из-за какого-либо внешнего сопротивления, он пришел к выводу, что их импульс, следовательно, не был искажен никаким сопротивлением. Буридан также не учитывал любое присущее движению сопротивление в форме склонности к покою внутри самих сфер, такое как инерция, постулируемая Аверроэсом и Фомой Аквинским. В противном случае это сопротивление уничтожило бы их импульс, как утверждала антидюгемистская историк науки Аннализа Майер, парижские динамики импульса были вынуждены заключить из-за своей веры во присущую всем телам склонность ad quietem или инерцию.

Это подняло вопрос, почему движущая сила импульса не перемещает сферы с бесконечной скоростью. Один из ответов на вопрос динамики импульса, казалось, заключался в том, что это был вторичный вид движущей силы, который создавал равномерное движение, а не бесконечную скорость [19] , а не создавал равномерно ускоренное движение, как это делала первичная сила, создавая постоянно увеличивающееся количество импульса. Однако в своем « Трактате о небесах и мире, в котором небеса движутся неодушевленными механическими силами», ученик Буридана Орем предложил альтернативный томистский инерционный ответ на эту проблему. Его ответ состоял в том, чтобы постулировать сопротивление движению, присущее небесам (то есть сферам), но которое является лишь сопротивлением ускорению, превышающему их естественную скорость, а не самому движению, и, таким образом, было тенденцией к сохранению их естественной скорости. [20]

Идея Буридана была продолжена его учеником Альбертом Саксонским (1316–1390), польскими писателями, такими как Иоанн Кантиус , и Оксфордскими калькуляторами . Их работа, в свою очередь, была разработана Николь Орем , которая впервые начала демонстрировать законы движения в виде графиков.

Туннельный эксперимент и колебательное движение.

Теория импульса Буридана разработала один из самых важных мысленных экспериментов в истории науки — «туннельный эксперимент». Этот эксперимент впервые включил колебательное и маятниковое движение в динамический анализ и науку о движении. Он также установил один из важных принципов классической механики. Маятник сыграл решающую роль в развитии механики в 17 веке. Туннельный эксперимент также породил более общий важный аксиоматический принцип динамики Галилея, Гюйгена и Лейбница, а именно, что тело поднимается на ту же высоту, с которой оно упало, - принцип гравитационной потенциальной энергии . Как Галилео Галилей выразил этот фундаментальный принцип своей динамики в своем «Диалоге» 1632 года :

Тяжелое падающее тело приобретает достаточный импульс [при падении с заданной высоты], чтобы вернуть его на равную высоту. [21]

Этот воображаемый эксперимент предсказал, что пушечное ядро, упавшее в туннель, проходящий прямо через центр Земли, а выйдя с другой стороны, пройдет центр и поднимется на противоположную поверхность на ту же высоту, с которой оно упало в первый раз, подгоняемое вверх гравитационным импульсом. оно постоянно накапливалось, падая к центру. Этот импульс потребует резкого движения, соответствующего подъема на ту же высоту мимо центра, чтобы теперь противодействующая сила гравитации разрушила все это на том же расстоянии, которое ранее требовалось для его создания. В этот момент поворота мяч снова опустится и будет колебаться взад и вперед между двумя противоположными поверхностями вокруг центра в принципе бесконечно. Туннельный эксперимент предоставил первую динамическую модель колебательного движения, в частности, с точки зрения динамики импульса АБ. [22]

Этот мысленный эксперимент затем был применен для динамического объяснения колебательного движения реального мира, а именно движения маятника. Колебательное движение пушечного ядра сравнивали с движением маятника, представляя его прикрепленным к концу чрезвычайно длинного шнура, подвешенного к своду неподвижных звезд с центром на Земле. Сравнительно короткая дуга его пути через далекую Землю представляла собой практически прямую линию вдоль туннеля. Тогда маятники реального мира были задуманы как микроверсии этого «туннельного маятника», но с гораздо более короткими шнурами и качаниями, колеблющимися над поверхностью Земли по дугам, соответствующим туннелю, поскольку их колеблющаяся средняя точка динамически ассимилировалась с центром туннеля.

Благодаря такому « латеральному мышлению », его боковое горизонтальное движение, которое было задумано как случай гравитационного свободного падения, за которым следует резкое движение в повторяющемся цикле, при этом боб постоянно проходит через и за пределы самой низкой по вертикали, но средней по горизонтали точки движения, которая заменяла для центра Земли в туннельном маятнике. Боковые движения боба сначала к нормали, а затем от нее при махе вниз и вверх становятся боковыми движениями вниз и вверх по отношению к горизонтали, а не к вертикали.

Ортодоксальные сторонники Аристотеля рассматривали движение маятника как динамическую аномалию, как «трудное падение в состояние покоя». Томас Кун написал в своей книге «Структура научных революций» 1962 года о новом анализе теории импульса, что в принципе оно не падало с какими-либо динамическими трудностями, а скорее падало в повторяющихся и потенциально бесконечных циклах чередования естественного гравитационного движения вниз и насильственного гравитационного движения вверх. движение. [23] Галилей в конечном итоге обратился к движению маятника, чтобы продемонстрировать, что скорость гравитационного свободного падения одинакова для всех неравных масс, посредством динамического моделирования движения маятника таким образом как случая циклически повторяющегося гравитационного свободного падения вдоль горизонтали в принцип. [24]

Туннельный эксперимент был решающим экспериментом в пользу динамики импульса против как ортодоксальной аристотелевской динамики без какой-либо вспомогательной теории импульса, так и аристотелевской динамики с ее вариантом HP. Согласно двум последним теориям, боб не может выйти за рамки нормы. В ортодоксальной аристотелевской динамике не существует силы, которая могла бы нести груз вверх за пределы центра в резком движении против собственной силы тяжести, которая несет его к центру, где он останавливается. В сочетании со вспомогательной теорией Филопона в случае, когда пушечное ядро ​​выведено из состояния покоя, такой силы не существует, потому что либо вся начальная восходящая сила импульса, первоначально приложенная к нему для удержания его в статическом динамическом равновесии, была исчерпана, или если любой оставшийся объект будет действовать в противоположном направлении и в сочетании с гравитацией предотвратит движение через центр и за его пределы. Пушечное ядро, брошенное вниз, также не могло привести к колебательному движению. Хотя тогда он мог бы выйти за пределы центра, он никогда не смог бы вернуться, пройти через него и снова подняться вверх. Логически было бы возможно, чтобы он вышел за пределы центра, если бы, достигнув центра, некоторая часть постоянно затухающих нисходящих импульсов осталась и все еще была достаточно сильнее гравитации, чтобы вытолкнуть ее за пределы центра и снова вверх, в конечном итоге став слабее гравитации. Тогда шар под действием силы тяжести будет притянут обратно к центру, но не сможет затем выйти за пределы центра и снова подняться, потому что у него не будет силы, направленной против силы тяжести, чтобы преодолеть его. Любой, возможно, оставшийся импульс будет направлен «вниз» к центру, в том же направлении, в котором он был первоначально создан.

Таким образом, движение маятника было динамически невозможно как для ортодоксальной аристотелевской динамики, так и для динамики импульса HP по аналогии с этой «туннельной моделью». Это было предсказано туннельным предсказанием теории импульса, поскольку эта теория постулировала, что постоянно накапливающаяся нисходящая сила импульса, направленная к центру, приобретается в естественном движении, достаточном для того, чтобы затем перенести ее вверх за пределы центра против силы тяжести, а не просто иметь первоначально восходящая сила импульса от центра, как в теории естественного движения. Таким образом, туннельный эксперимент стал решающим экспериментом между тремя альтернативными теориями естественного движения.

Импульсная динамика должна была быть предпочтительнее, если аристотелевская наука о движении должна была включать динамическое объяснение движения маятника. Ему также следует отдать предпочтение в более общем плане, если оно должно было объяснить другие колебательные движения, такие как колебания вперед и назад вокруг нормали натянутых музыкальных струн, например, гитары. Аналогия, проведенная с экспериментом с гравитационным туннелем, заключалась в том, что натяжение струны, тянущее ее к нормали, играло роль силы тяжести, и, таким образом, когда ее дергали (т. е. отрывали от нормали), а затем отпускали, это было эквивалентно притягиванию пушечного ядра. на поверхность Земли, а затем выпуская ее. Таким образом, музыкальная струна вибрировала в непрерывном цикле попеременного создания импульса к нормальному и его разрушения после прохождения через нормальное, пока этот процесс не начнется снова с созданием нового «нисходящего» импульса, как только весь «восходящий» импульс будет уничтожен. .

Это постулирование динамического семейного сходства движений маятника и вибрирующих струн с парадигматическим туннельным экспериментом, источником всех колебаний в истории динамики, было одним из величайших творческих разработок средневековой аристотелевской динамики в ее растущем репертуаре динамических модели различных видов движения.

Незадолго до появления теории импульса Галилея Джамбаттиста Бенедетти модифицировал развивающуюся теорию импульса, включив в него только линейное движение:

... [Любая] часть телесной материи, которая движется сама по себе, когда на нее воздействует какая-либо внешняя движущая сила, имеет естественную тенденцию двигаться по прямолинейному, а не изогнутому пути. [25]

Бенедетти приводит движение камня в праще как пример естественного линейного движения объектов, вынужденных двигаться по кругу.

Смотрите также

Ссылки и сноски

  1. ^ Дюэм, Пьер (1913), «Физика, история», в книге Чарльза Г. Гербермана; Эдвард А. Пейс; Конде Б. Паллен; Джон Дж. Винн; Томас Дж. Шахан (ред.), Католическая энциклопедия: международный справочный материал по конституции, доктрине и истории католической церкви, том. 12, Нью-Йорк: Энциклопедия Пресс, с. 51
  2. ^ Крейг, Эдвард, изд. (1998). «Филопон, Иоанн». Философская энциклопедия Рутледжа, том 7, Нигилизм-Квантовая механика . Рутледж. стр. 371–377. ISBN 978-0-415-18712-1.ISBN относится к седьмому тому, а не к набору.
  3. ^ Линдберг, Дэвид К. (2007). Начало западной науки: европейская научная традиция в философском, религиозном и институциональном контексте, предыстория до 1450 года нашей эры (второе изд.). Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. стр. 307–308. ISBN 978-0-226-48205-7.Ссылка на страницу 307 из копии Google, переизданной в 2008 году.
  4. ^ Самсо, Хулио (2007). «Битруджи: Нур ад-Дин Абу Исхак [Абу Джафар] Ибрагим ибн Юсуф аль-Битруджи». В хоккее Томас; и другие. (ред.). Биографическая энциклопедия астрономов . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 133–134. ISBN 978-0-387-31022-0.(PDF-версия)
  5. ^ Айдын Сайили (1987), «Ибн Сина и Буридан о движении снаряда», Анналы Нью-Йоркской академии наук 500 (1): 477–482 [477]
  6. ^ Макгиннис, Джон; Райсман, Дэвид К. (2007). Классическая арабская философия: антология источников. Издательство Хакетт. п. 174. ИСБН 978-0-87220-871-1.
  7. ^ Эспиноза, Фернандо (2005). «Анализ исторического развития идей о движении и его значения для обучения». Физическое образование . 40 (2): 141. Бибкод : 2005PhyEd..40..139E. дои : 10.1088/0031-9120/40/2/002. S2CID  250809354.
  8. ^ Сейед Хосейн Наср и Мехди Амин Разави (1996). Исламская интеллектуальная традиция в Персии . Рутледж . п. 72. ИСБН 978-0-7007-0314-2.
  9. ^ Айдын Сайили (1987). «Ибн Сина и Буридан о движении снаряда». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 500 (1): 477–482. Бибкод : 1987NYASA.500..477S. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37219.x. S2CID  84784804.
  10. ^ Эспиноза, Фернандо. «Анализ исторического развития представлений о движении и его значения для преподавания». Физическое образование. Том. 40(2).
  11. ^ Сайили, Айдын. «Ибн Сина и Буридан о движении снаряда». Анналы Нью-Йоркской академии наук, том. 500(1). стр. 477–482.
  12. ^ Зупко, Джек (2015). «Иоанн Буридан». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 5 февраля 2019 г.
  13. ^ Аб Гутман, Оливер (2003). Псевдо-Авиценна, Liber Celi Et Mundi: критическое издание . Издательство «Брилл» . п. 193. ИСБН 90-04-13228-7.
  14. ^ abc Франко, Абель Б. (2003). «Avempace, движение снаряда и теория импульса». Журнал истории идей . 64 (4): 527–528. дои : 10.1353/jhi.2004.0004. S2CID  170691363.
  15. ↑ Педерсен, Олаф (26 марта 1993 г.). Ранняя физика и астрономия: историческое введение. Архив Кубка. п. 210. ИСБН 978-0-521-40899-8. Проверено 16 июня 2010 г.
  16. ^ «Жан Буридан: Вопросы по физике Аристотеля». Архивировано из оригинала 20 июля 2011 года.
  17. ^ Согласно теории Буридана, импульс действует в том же направлении или способом, которым он был создан, и, таким образом, импульс, созданный по кругу или вращению, после этого действует по кругу.
  18. ^ Вопросы по восьми книгам физики Аристотеля: Книга VIII Вопрос 12 Английский перевод в книге Кладжетта « Наука механики в средние века» 1959 года, стр. 536
  19. ^ Различие между первичными движущими силами и вторичными движущими силами, такими как побуждение, было выражено Оремом, например, в его De Caelo Bk2 Qu13, в котором о побуждении говорилось: «Это определенное качество второго вида...; это создаваемый двигателем посредством движения...» [См. с. 552 Кладжетт 1959]. А в 1494 году Тома Брико из Парижа также говорил об импульсе как о втором качестве и как об инструменте, который начинает движение под влиянием главного конкретного агента, но продолжает его один. [См. стр. 639 Кладжетт 1959].
  20. ^ «Ибо сопротивление на небесах не стремится к какому-то другому движению или покою, а только к тому, чтобы не двигаться быстрее». Книга 2 Глава 3 Трактат о небе и мире
  21. ^ См. стр. 22–3 и 227 журнала Dialogo , Stillman Drake (tr.), University of California Press, 1953, где обсуждается туннельный эксперимент. См. также перевод Discorsi , сделанный Дрейком в 1974 году (стр. 206–8) на стр. 162–4, где Сальвиати представляет «экспериментальное доказательство» этого постулата с помощью маятниковых движений.
  22. ^ Утверждения о взаимосвязи между движением маятника и предсказанием туннеля см., например, в обсуждении Орема в его «Трактате о небесах и мире», переведенном на стр. 570 книги Кладжетта 1959 года и обсуждение Бенедетти на стр. 235 книги Дрейка и Драбкина 1959 года. Обсуждение Буриданом движения маятника в его «Вопросах» см. на стр. 537–8 книги Кладжетта 1959 года.
  23. ^ См. стр. 117–125 издания 1962 года и стр. 118–26 второго издания 1970 года.
  24. ↑ См. стр. 128–131 его Discorsi 1638 года , переведенного на стр. 86–90 английского издания Дрейка 1974 года.
  25. ^ Джованни Бенедетти, выборка из Speculationum , в Стиллмане Дрейке и И.Е. Драбкине, Механика в Италии шестнадцатого века (The University of Wisconsin Press, 1969), стр. 156.

Библиография