Теория подъема

Понятие в теории меры

В математике теория подъема была впервые представлена ​​Джоном фон Нейманом в пионерской статье 1931 года, в которой он ответил на вопрос, поднятый Альфредом Хааром . ^[1] Теория была далее развита Дороти Махарам (1958) ^[2] и Александрой Ионеску Тулчей и Кассием Ионеску Тулчей (1961). ^[3] Теория подъема была мотивирована в значительной степени ее поразительными приложениями. Ее развитие до 1969 года было описано в монографии Ионеску Тулчей. ^[4] С тех пор теория подъема продолжала развиваться, давая новые результаты и приложения.

Определения

Поднятие на пространстве меры — это линейный и мультипликативный оператор , который является правым обратным к фактор-отображению ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ $${\displaystyle T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}}$$

где — полунормированное L p пространство измеримых функций, а — его обычное нормированное отношение. Другими словами, подъем выбирает из каждого класса эквивалентности ограниченных измеримых функций по модулю пренебрежимо малых функций представителя — который далее записывается или или просто — таким образом, что и для всех и всех ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle T([f])}$ ${\displaystyle T[f]}$ ${\displaystyle Tf}$ ${\displaystyle T[1]=1}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),}$$ $${\displaystyle T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).}$$

Подъемы используются для получения дезинтеграций мер , например, условных распределений вероятностей при заданных непрерывных случайных величинах и расслоений меры Лебега на множествах уровня функции.

Наличие подъемов

Теорема. Предположим, что является полным. ^[5] Тогда допускает поднятие тогда и только тогда, когда существует набор взаимно непересекающихся интегрируемых множеств, в объединении которых есть В частности, если является пополнением σ -конечной ^[6] меры или внутренней регулярной борелевской меры на локально компактном пространстве , то допускает поднятие. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

Доказательство состоит в расширении поднятия на все большие под -σ -алгебры, применяя теорему Дуба о сходимости мартингалов, если в процессе встречается счетная цепочка.

Сильные подъемы

Предположим, что является полным и снабжено полностью регулярной топологией Хаусдорфа, такой, что объединение любого набора пренебрежимо малых открытых множеств снова пренебрежимо мало – это имеет место, если является σ -конечным или происходит из меры Радона . Тогда носитель можно определить как дополнение наибольшего пренебрежимо малого открытого подмножества, а набор ограниченных непрерывных функций принадлежит ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \Sigma }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu ),}$ ${\displaystyle C_{b}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).}$

Сильное поднятие для — это поднятие такое, что для всех из Это то же самое, что требовать, чтобы ^[7] для всех открытых множеств в ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ $${\displaystyle T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$ ${\displaystyle T\varphi =\varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \tau .}$

Теорема. Если является σ -конечным и полным и имеет счетную базу, то допускает сильное поднятие. ${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

Доказательство. Пусть будет поднятием для и счетным базисом для Для любой точки в пренебрежимо малом множестве пусть будет любым характером ^[8] на , который расширяет характер Тогда для в и в определяем: — искомое сильное поднятие. ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatorname {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}}$$ ${\displaystyle T_{p}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \phi (p)}$ ${\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ $${\displaystyle (T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T}$

Применение: распад меры

Предположим, что и являются σ -пространствами конечной меры ( положительными), а — измеримым отображением. Разложение по отношению к — это множество положительных σ -аддитивных мер на , таких, что ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (Y,\Phi ,\nu )}$ ${\displaystyle \mu ,\mu }$ ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y\ni y\mapsto \lambda _{y}}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$

1. ${\displaystyle \lambda _{y}}$переносится волокном более , т.е. и почти для всех ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{y\}\in \Phi }$ ${\displaystyle \lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0}$ ${\displaystyle y\in Y}$
2. для каждой -интегрируемой функции в том смысле, что для -почти всех из -интегрируема , функция является -интегрируемой, и указанное равенство выполняется. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \int _{X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{y}}$ $${\displaystyle y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (*)}$

Распады существуют в различных обстоятельствах, доказательства различаются, но почти все используют сильные подъемы. Вот довольно общий результат. Его короткое доказательство дает общее представление.

Теорема. Предположим, что есть польское пространство ^[9] и сепарабельное хаусдорфово пространство, оба снабжены своими борелевскими σ -алгебрами. Пусть есть σ -конечная борелевская мера на и измеримое отображение . Тогда существует σ-конечная борелевская мера на и распад (*). Если есть конечно, можно взять как pushforward ^[10] , и тогда есть вероятности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle \Sigma ,\Phi -}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \pi _{*}\mu ,}$ ${\displaystyle \lambda _{y}}$

Доказательство. Из-за польской природы существует последовательность компактных подмножеств , которые взаимно не пересекаются, объединение которых имеет пренебрежимо малое дополнение и на которых является непрерывным. Это наблюдение сводит задачу к случаю, когда и компактны и являются непрерывными, и Полны относительно и фиксируют сильный подъем для Дана ограниченная -измеримая функция пусть обозначит ее условное ожидание относительно то есть производная Радона-Никодима из ^[11] относительно Тогда положим, для каждого в Чтобы показать, что это определяет распад, нужно разобраться в бухгалтерии и подобрать подходящую теорему Фубини. Чтобы увидеть, как входит сила подъема, отметим, что и возьмем инфимум по всем положительным в с становится очевидным, что носитель лежит в слое над ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu =\pi _{*}\mu .}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (Y,\Phi ,\nu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \lfloor f\rfloor }$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \pi _{*}(f\mu )}$ ${\displaystyle \pi _{*}\mu .}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).}$ $${\displaystyle \lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{b}(Y)}$ ${\displaystyle \varphi (y)=1;}$ ${\displaystyle \lambda _{y}}$ ${\displaystyle y.}$

Ссылки

1. фон Нейман, Джон (1931). «Algebraische Repräsentanten der Funktionen «bis auf eine Menge vom Maße Null»». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1931 (165): 109–115. дои : 10.1515/crll.1931.165.109. МР  1581278.
2. Махарам, Дороти (1958). «О теореме фон Неймана». Труды Американского математического общества . 9 (6): 987–994. doi : 10.2307/2033342 . JSTOR  2033342. MR  0105479.
3. Ионеску Тулча, Александра ; Ионеску Тулча, Кассий (1961). "На подъемном свойстве. И." Журнал математического анализа и приложений . 3 (3): 537–546. дои : 10.1016/0022-247X(61)90075-0 . МР  0150256.
4. Ионеску Тулча, Александра ; Ионеску Тулча, Кассий (1969). Темы теории лифтинга . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 48. Нью-Йорк: Springer-Verlag . МР  0276438. OCLC  851370324.
5. Подмножество локально пренебрежимо мало, если оно пересекает каждое интегрируемое множество в подмножестве пренебрежимо малого множества является полным , если каждое локально пренебрежимо мало и принадлежит ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma .}$
6. т.е. существует счетный набор интегрируемых множеств – множеств конечной меры в – который покрывает базовое множество ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$
7. идентифицируются с их индикаторными функциями. ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}$
8. Символ в унитальной алгебре — это мультипликативный линейный функционал со значениями в поле коэффициентов, которое отображает единицу в 1.
9. Сепарабельное пространство является польским, если его топология исходит из полной метрики. В настоящей ситуации было бы достаточно потребовать, чтобы было Суслиным , то есть, чтобы было непрерывным хаусдорфовым образом польского пространства. ${\displaystyle X}$
10. Продвижка вперед под также называется образом под и обозначается как мера на , определяемая для в . ${\displaystyle \pi _{*}\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (\mu ),}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$
11. — это мера, имеющая плотность относительно ${\displaystyle f\mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$