постоянная Больцмана

Физическая константа, связывающая кинетическую энергию частицы с температурой

Константа Больцмана ( k _B или k ) — это коэффициент пропорциональности , который связывает среднюю относительную тепловую энергию частиц в газе с термодинамической температурой газа. ^[2] Он встречается в определениях кельвина и газовой постоянной , а также в законе Планка о излучении черного тела и формуле энтропии Больцмана , а также используется при расчете теплового шума в резисторах . Константа Больцмана имеет размеры энергии, разделенные на температуру, такие же, как и энтропия . Назван в честь австрийского учёного Людвига Больцмана .

В рамках переопределения базовых единиц СИ в 2019 году константа Больцмана стала одной из семи « определяющих констант », которым были даны точные определения. Они используются в различных комбинациях для определения семи основных единиц СИ. Постоянная Больцмана определяется как в точности1,380 649 × 10 ^-23  Дж⋅К ^-1 . ^[1]

Роль постоянной Больцмана

Связь между законами Бойля , Шарля , Гей-Люссака , Авогадро , комбинированного и идеального газа с постоянной Больцмана k"="р/Н _А"="н  р/Н(в каждом законе свойства , обведенные кружком, являются переменными, а свойства, не обведенные кружком, остаются постоянными)

Макроскопически закон идеального газа гласит, что для идеального газа произведение давления p и объема V пропорционально произведению количества вещества n и абсолютной температуры T :

$${\displaystyle pV=nRT,}$$

где R — молярная газовая постоянная (8,314 462 618 153 24  Дж⋅К ^-1 ⋅моль ^-1 ). ^[3] Введение постоянной Больцмана как газовой постоянной на молекулу ^[4] k = R / N _A преобразует закон идеального газа в альтернативную форму:

$${\displaystyle pV=NkT,}$$

где N — число молекул газа.

Роль в равнораспределении энергии

Учитывая термодинамическую систему при абсолютной температуре T , средняя тепловая энергия, переносимая каждой микроскопической степенью свободы в системе, равна1/2 k T (т.е. около2,07 × 10-21  Дж , ^или0,013  эВ , при комнатной температуре). Обычно это справедливо только для классических систем с большим числом частиц и в которых квантовые эффекты пренебрежимо малы.

В классической статистической механике предсказывается, что это среднее значение справедливо именно для однородных идеальных газов . Одноатомные идеальные газы (шесть благородных газов) обладают тремя степенями свободы на атом, что соответствует трем пространственным направлениям. Согласно равнораспределению энергии это означает, что существует тепловая энергия3/2 к Т на атом. Это очень хорошо согласуется с экспериментальными данными. Тепловую энергию можно использовать для расчета среднеквадратичной скорости атомов, которая оказывается обратно пропорциональна квадратному корню из атомной массы . Среднеквадратические скорости, найденные при комнатной температуре, точно отражают это и варьируются от1370 м/с для гелия , вплоть до240 м/с для ксенона .

Кинетическая теория дает среднее давление p для идеального газа как

$${\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}$$

Сочетание с законом идеального газа

$${\displaystyle pV=NkT}$$

показывает, что средняя поступательная кинетическая энергия равна

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.}$$

Учитывая, что вектор скорости поступательного движения v имеет три степени свободы (по одной для каждого измерения), получаем среднюю энергию на одну степень свободы, равную одной трети от этого, т.е.1/2 к Т .

Уравнению идеального газа также точно подчиняются молекулярные газы; но форма теплоемкости сложнее, поскольку молекулы обладают дополнительными внутренними степенями свободы, а также тремя степенями свободы движения молекулы в целом. Например, двухатомные газы обладают в общей сложности шестью степенями простой свободы на молекулу, связанными с движением атомов (три поступательные, две вращательные и одна колебательная). При более низких температурах не все эти степени свободы могут полностью участвовать в теплоемкости газа из-за квантово-механических ограничений на наличие возбужденных состояний при соответствующей тепловой энергии на молекулу.

Роль факторов Больцмана

В более общем смысле, системы, находящиеся в равновесии при температуре T , имеют вероятность Pi занять состояние i _с энергией E , взвешенной соответствующим фактором Больцмана :

$${\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},}$$

где Z — статистическая сумма . Опять же, центральное значение имеет энергоподобная величина k T.

Следствием этого является (помимо приведенных выше результатов для идеальных газов) уравнение Аррениуса в химической кинетике .

Роль в статистическом определении энтропии

Могила Больцмана в Центральном Фридхофе в Вене, с бюстом и формулой энтропии.

В статистической механике энтропия S изолированной системы в термодинамическом равновесии определяется как натуральный логарифм W , количества различных микроскопических состояний , доступных системе с учетом макроскопических ограничений (таких как фиксированная полная энергия E ):

$${\displaystyle S=k\,\ln W.}$$

Это уравнение, которое связывает микроскопические детали или микросостояния системы (через W ) с ее макроскопическим состоянием (через энтропию S ), является центральной идеей статистической механики. Его важность настолько велика, что оно начертано на надгробии Больцмана.

Константа пропорциональности k служит для того, чтобы сделать статистическую механическую энтропию равной классической термодинамической энтропии Клаузиуса :

$${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}$$

Вместо этого можно было бы выбрать безразмерную энтропию, масштабированную в микроскопических терминах, такую, что

$${\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}$$

Это более естественная форма, и эта масштабированная энтропия точно соответствует последующей информационной энтропии Шеннона .

Таким образом, характеристическая энергия kT — это энергия, необходимая для увеличения перемасштабированной энтропии на один nat .

Тепловое напряжение

В полупроводниках уравнение диода Шокли — взаимосвязь между потоком электрического тока и электростатическим потенциалом через p-n-переход — зависит от характеристического напряжения, называемого тепловым напряжением _и обозначаемого VT . Тепловое напряжение зависит от абсолютной температуры T как

$${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},}$$

где q — величина электрического заряда электрона, равная1,602 176 634 × 10 ^-19  Кл . ^[5] Эквивалентно,

$${\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}$$

При комнатной температуре 300 К (27 °C; 80 °F) V _T составляет примерно25,85 мВ ^{[6] [7]} , которое можно получить, подставив следующие значения:

$${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV} }$$

При стандартной температуре 298,15 К (25,00 °C; 77,00 °F) это примерно25,69 мВ . Тепловое напряжение также важно в плазме и растворах электролитов (например, уравнение Нернста ); в обоих случаях он обеспечивает меру того, насколько на пространственное распределение электронов или ионов влияет граница, удерживаемая при фиксированном напряжении. ^{[8] [9]}

История

Постоянная Больцмана названа в честь ее австрийского первооткрывателя XIX века Людвига Больцмана . Хотя Больцман впервые связал энтропию и вероятность в 1877 году, это соотношение никогда не выражалось с помощью конкретной константы до тех пор , пока Макс Планк впервые не ввел k и не дал для него более точное значение (1,346 × 10 ⁻²³  Дж/К , что примерно на 2,5% ниже сегодняшнего показателя) при выводе закона излучения чёрного тела в 1900–1901 годах. ^[10] До 1900 года уравнения, включающие факторы Больцмана, записывались не с использованием энергий на молекулу и постоянной Больцмана, а с использованием формы газовой постоянной R и макроскопических энергий для макроскопических количеств вещества. Знаменитая краткая форма уравнения S = k ln W на надгробии Больцмана на самом деле принадлежит Планку, а не Больцману. Планк фактически представил его в той же работе, что и его одноименный h . ^[11]

В 1920 году Планк в своей лекции, присужденной Нобелевской премии, написал: ^[12]

Эту константу часто называют константой Больцмана, хотя, насколько мне известно, сам Больцман никогда ее не вводил – своеобразное положение дел, которое можно объяснить тем, что Больцман, как следует из его периодических высказываний, никогда не задумывался о возможность проведения точного измерения константы.

Это «особое положение дел» иллюстрируется ссылкой на один из величайших научных споров того времени. Во второй половине девятнадцатого века существовали значительные разногласия относительно того, реальны ли атомы и молекулы или они являются просто эвристическим инструментом для решения проблем. Не было единого мнения о том, являются ли химические молекулы, измеренные атомными весами , такими же, как физические молекулы, измеренные кинетической теорией . Лекция Планка 1920 года продолжалась: ^[12]

Ничто не может лучше иллюстрировать положительную и лихорадочную скорость прогресса, достигнутого искусством экспериментаторов за последние двадцать лет, чем тот факт, что с тех пор был открыт не один, а множество методов измерения массы молекулу практически с той же точностью, что и для планеты.

В версиях СИ до переопределения базовых единиц СИ в 2019 году константа Больцмана была измеряемой величиной, а не фиксированным значением. Его точное определение также менялось с годами из-за переопределения кельвина (см. Кельвин § История ) и других основных единиц СИ (см. Джоуль § История ).

В 2017 году наиболее точные измерения постоянной Больцмана были получены с помощью акустической газовой термометрии, которая определяет скорость звука одноатомного газа в трехосной эллипсоидной камере с помощью микроволновых и акустических резонансов. ^{[13] [14]} Эта десятилетняя работа была предпринята с использованием различных методов несколькими лабораториями; ^[a] это один из краеугольных камней переопределения базовых единиц СИ в 2019 году. На основании этих измерений CODATA рекомендовала1,380 649 × 10 ⁻²³  Дж/К — окончательное фиксированное значение постоянной Больцмана, которое будет использоваться в Международной системе единиц . ^[15]

Стоимость в разных единицах

†Значение является точным, но не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби; округляется только до 9 десятичных знаков.

Поскольку k является коэффициентом пропорциональности между температурой и энергией, его численное значение зависит от выбора единиц энергии и температуры. Небольшое численное значение постоянной Больцмана в единицах СИ означает, что изменение температуры на 1 К меняет энергию частицы лишь на небольшую величину. Изменение1  °C определяется как изменение1 К. Характеристическая энергия kT — это термин, встречающийся во многих физических отношениях.

Постоянная Больцмана устанавливает связь между длиной волны и температурой (деление hc / k на длину волны дает температуру), причем один микрометр относится к14 387,777 К , а также связь между напряжением и температурой ( кТ в единицах эВ соответствует напряжению), при этом один вольт относится к11 604 .518 К . Отношение этих двух температур14 387 .777 К  / 11 604 ,518 К  ≈ 1,239842 — численное значение hc в единицах эВ⋅мкм.

Натуральные единицы

Постоянная Больцмана обеспечивает отображение характеристической микроскопической энергии E в макроскопическую температурную шкалу T =Э/к. В фундаментальной физике это отображение часто упрощается за счет использования естественных единиц , приравнивающих k к единице. Это соглашение означает, что величины температуры и энергии имеют одинаковые размерности . ^{[17] [18]} В частности, единица измерения СИ-кельвин становится лишней, поскольку ее определяют в джоулях как 1 K =1,380 649 × 10 ^-23  Дж . ^[19] При таком соглашении температура всегда выражается в единицах энергии, а константа Больцмана явно не требуется в формулах. ^[17]

Это соглашение упрощает многие физические соотношения и формулы. Например, формула равнораспределения энергии, связанной с каждой классической степенью свободы (см. выше), принимает вид ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kT}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T}$$

Другой пример: определение термодинамической энтропии совпадает с формой информационной энтропии :

$${\displaystyle S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.}$$

где Pi _— вероятность каждого микросостояния .

Смотрите также

• Комитет по данным Международного научного совета
• Термодинамическая бета
• Список ученых, имена которых используются в физических константах

Примечания

1. Использовались независимые методы: акустическая газовая термометрия, газовая термометрия с диэлектрической проницаемостью, шумовая термометрия Джонсона. Участвующие лаборатории, указанные CODATA в 2017 году: LNE - Cnam (Франция), NPL (Великобритания), INRIM (Италия), PTB (Германия), NIST (США), NIM (Китай).

Рекомендации

1. Ньюэлл, Дэвид Б.; Тиесинга, Эйте (2019). Международная система единиц (СИ). Специальная публикация NIST 330. Гейтерсбург, Мэриленд: Национальный институт стандартов и технологий. doi :10.6028/nist.sp.330-2019. S2CID  242934226.
2. Ричард Фейнман (1970). Лекции Фейнмана по физике Том I. Аддисон Уэсли Лонгман. ISBN 978-0-201-02115-8.
3. «Материалы 106-го заседания» (PDF) . 16–20 октября 2017 г.
4. Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия: принципы и современные приложения (8-е изд.). Прентис Холл. п. 785. ИСБН 0-13-014329-4.
5. «Значение CODATA 2018: элементарный заряд» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
6. Рашид, Мухаммед Х. (2016). Микроэлектронные схемы: анализ и проектирование (3-е изд.). Cengage Обучение. стр. 183–184. ISBN 9781305635166.
7. Катальдо, Энрико; Ди Лието, Альберто; Маккарроне, Франческо; Паффути, Джампьеро (18 августа 2016 г.). «Измерения и анализ вольт-амперной характеристики pn-диода для студенческой физической лаборатории». arXiv : 1608.05638v1 [физика.ed-ph].
8. Кирби, Брайан Дж. (2009). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах (PDF) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.
9. Табелинг, Патрик (2006). Введение в микрофлюидику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856864-3.
10. Планк, Макс (1901), "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum", Ann. Физ. , 309 (3): 553–63, Бибкод : 1901АнП...309..553П, doi : 10.1002/andp.19013090310. Английский перевод: «О законе распределения энергии в нормальном спектре». Архивировано из оригинала 17 декабря 2008 года.
11. Геархарт, Клейтон А. (2002). «Планк, квант и историки». Физика в перспективе . 4 (2): 177. Бибкод : 2002PhP.....4..170G. дои : 10.1007/s00016-002-8363-7. ISSN  1422-6944. S2CID  26918826.
12. Планк, Макс (2 июня 1920 г.), Происхождение и современное состояние развития квантовой теории (Нобелевская лекция)
13. Питр, Л; Спараски, Ф; Рисегари, Л; Гвианварч, К; Мартин, К; Химберт, Мэн; Плиммер, доктор медицины; Аллард, А; Марти, Б; Джулиано Альбо, Пенсильвания; Гао, Б; Молдовер, MR; Мель, Дж.Б. (1 декабря 2017 г.). «Новое измерение постоянной Больцмана методом акустической термометрии газа гелия-4» (PDF) . Метрология . 54 (6): 856–873. Бибкод : 2017Метро..54..856P. дои : 10.1088/1681-7575/aa7bf5. hdl : 11696/57295. S2CID  53680647. Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2019 года.
14. де Подеста, Майкл; Марк, Даррен Ф; Даймок, Росс С; Андервуд, Робин; Баккар, Томас; Саттон, Гэвин; Дэвидсон, Стюарт; Мачин, Грэм (1 октября 2017 г.). «Повторная оценка соотношений изотопов аргона, ведущая к пересмотренной оценке постоянной Больцмана» (PDF) . Метрология . 54 (5): 683–692. Бибкод : 2017Метро..54..683D. дои : 10.1088/1681-7575/aa7880. S2CID  125912713.
15. Ньюэлл, Д.Б.; Кабиати, Ф.; Фишер Дж.; Фуджи, К.; Каршенбойм, С.Г.; Марголис, HS; Мирандес, Э. де; Мор, П.Дж.; Нез, Ф. (2018). «Значения h, e, k и NA в CODATA 2017 для пересмотра SI». Метрология . 55 (1): Л13. Бибкод : 2018Метро..55Л..13Н. дои : 10.1088/1681-7575/aa950a . ISSN  0026-1394.
16. «Значение CODATA: соотношение Кельвин-килограмм» .
17. Калинин, М.; Кононогов, С. (2005). «Константа Больцмана, энергетический смысл температуры и термодинамическая необратимость». Методика измерения . 48 (7): 632–636. дои : 10.1007/s11018-005-0195-9. S2CID  118726162.
18. Киттель, Чарльз; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman. п. 41. ИСБН 0716710889. Мы предпочитаем использовать более естественную температурную шкалу... фундаментальная температура имеет единицы энергии.
19. Мор, Питер Дж.; Ширли, Эрик Л.; Филлипс, Уильям Д.; Тротт, Майкл (1 октября 2022 г.). «О размерности углов и их единиц». Метрология . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Бибкод : 2022Метро..59e3001M. дои : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .

Внешние ссылки

• Проект главы 2 брошюры СИ после пересмотра определений базовых единиц (подготовлен Консультативным комитетом по единицам)
• Большой шаг к переопределению кельвина: ученые нашли новый способ определения постоянной Больцмана