Размерный анализ

В технике и науке анализ размеров — это анализ взаимосвязей между различными физическими величинами путем определения их основных величин (таких как длина , масса , время и электрический ток ) и единиц измерения (таких как метры и граммы) и отслеживания этих размеров . по мере выполнения расчетов или сравнений. Термин размерный анализ также используется для обозначения преобразования единиц измерения из одной размерной единицы в другую, что можно использовать для оценки научных формул.

Соизмеримые физические величины однородныи имеют одинаковую размерность и могут непосредственно сравниваться друг с другом, даже если они выражены в разных единицах измерения ; например, метры и футы, граммы и фунты, секунды и годы. Несоизмеримые физические величины бывают разных видов и имеют разные размерности, и их нельзя напрямую сравнивать друг с другом, независимо от того, в каких единицах они выражаются, например, метры и граммы, секунды и граммы, метры и секунды. Например, бессмысленно спрашивать, больше ли грамм часа.

Любое физически значимое уравнение или неравенство должно иметь одинаковые размерности в левой и правой частях — свойство, известное как размерная однородность . Проверка размерной однородности — это распространенное применение анализа размерностей, служащее проверкой достоверности полученных уравнений и вычислений. Он также служит руководством и ограничением при выводе уравнений, которые могут описывать физическую систему в отсутствие более строгого вывода.

Понятие физической размерности и размерного анализа было введено Жозефом Фурье в 1822 году . ^[1]^{: 42}

Формулировка

Теорема Бэкингема о π описывает, как каждое физически значимое уравнение с участием $n$ переменных может быть эквивалентно переписано как уравнение с $n - m$ безразмерными параметрами, где m - ранг размерной матрицы . Кроме того, что наиболее важно, он предоставляет метод вычисления этих безразмерных параметров по заданным переменным.

Размерное уравнение может иметь уменьшенные или исключенные размеры посредством обезразмеривания , которое начинается с анализа размерностей и включает масштабирование величин по характерным единицам системы или физическим константам природы. ^[1]^{: 43} Это может дать представление о фундаментальных свойствах системы, как показано в примерах ниже.

Размерность физической величины может быть выражена как произведение основных физических измерений, таких как длина, масса и время, каждое из которых возведено в целую (а иногда и рациональную ) степень . Размерность физической величины более фундаментальна, чем некоторая шкала или единица измерения , используемая для выражения величины этой физической величины. Например, масса — это измерение, а килограмм — это определенная эталонная величина, выбранная для выражения количества массы. Выбор единицы произволен, и его выбор часто основан на историческом прецеденте. Естественные единицы , основанные только на универсальных константах, можно считать «менее произвольными».

Существует множество возможных вариантов базовых физических размеров. Стандарт SI выбирает следующие размеры и соответствующие символы размеров :

время (Т), длина (L), масса (М), электрический ток (I), абсолютная температура (Θ), количество вещества (N) и сила света (Дж).

Символы обычно пишутся римским шрифтом без засечек . ^[2] Математически размерность величины $Q$ определяется выражением

\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}} ^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}

где $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , $g$ — показатели размерности. Другие физические величины могут быть определены как базовые величины, если они образуют линейно независимый базис – например, можно заменить размерность (I) электрического тока в базисе СИ размерностью (Q) электрического заряда , поскольку Q = ТИ .

Величина, у которой есть только $b \neq 0$ (при всех остальных показателях равных нулю), называется геометрической величиной . Величина, у которой есть только $a \neq 0$ и $b \neq 0$ , называется кинематической величиной . Величина, у которой есть только все $a \neq 0$ , $b \neq 0$ и $c \neq 0,$ называется динамической величиной . ^[3] Говорят, что величина, все показатели которой равны нулю, имеет размерность один . ^[2]

Единица измерения физической величины и ее размерность — родственные, но не тождественные понятия. Единицы физической величины определяются соглашением и связаны с каким-то стандартом; например, длина может иметь единицы измерения: метры, футы, дюймы, мили или микрометры; но любая длина всегда имеет размерность L, независимо от того, какие единицы длины выбраны для ее выражения. Две разные единицы одной и той же физической величины имеют коэффициенты пересчета , которые их связывают. Например, 1 дюйм = 2,54 см ; в данном случае 2,54 см/дюйм — это коэффициент преобразования, который сам по себе безразмерен. Следовательно, умножение на этот коэффициент преобразования не меняет размеров физической величины.

Есть также физики, которые поставили под сомнение само существование несовместимых фундаментальных измерений физических величин ^[4] , хотя это не умаляет полезности анализа размерностей.

Простые случаи

В качестве примера можно привести размерность физической величины скорости $v :$

\operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\ mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.

Размерность физической величины ускорения $а$ равна

\operatorname {dim} a={\frac {\text{speed}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L }}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.

Размерность физической величины силы $F$ равна

\operatorname {dim} F={\text{масса}}\times {\text{ускорение}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\ mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.

Размерность физической величины давления $P$ равна

\operatorname {dim} P = {\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L }}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{ \mathsf {M}}.

Размерность физической величины энергии $E$ равна

\operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf { M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.

Размерность физической величины мощности $P$ равна

\operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L }}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf { М}}.

Размерность физической величины электрического заряда $Q$ равна

\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.

Размерность физической величины разности электрических потенциалов $V$ равна

\operatorname {dim} V={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I }}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.

Размерность физической величины емкости $C$ равна

\operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.

метод Рэлея

В анализе размерностей метод Рэлея является концептуальным инструментом, используемым в физике , химии и технике . Он выражает функциональную связь некоторых переменных в виде показательного уравнения . Он был назван в честь лорда Рэлея .

Метод включает в себя следующие этапы:

Соберите все независимые переменные , которые могут повлиять на зависимую переменную .
Если $R$ — переменная, зависящая от независимых переменных $R1$ $,$ $R2,$ $R3,$ $...$ , $Rn$ , $то$ функциональное $уравнение$ $можно$ записать как $R$ = $F$ $($ $R1$ $,$ $R2$ $,$ $R3$ $,$ $...$ $,$ $Р$ $н$ $)$ .
Запишите приведенное выше уравнение в виде $R = C R 1 a R 2 b R 3 c ... R n m$ , где $C$ — безразмерная константа , а $a$ , $b$ , $c$ , ..., $m$ — произвольные показатели степени.
Выразите каждую из величин уравнения в некоторых базовых единицах , в которых требуется решение.
Используя размерную однородность, получите набор одновременных уравнений , включающих показатели $a$ , $b$ , $c$ , ..., $m$ .
Решите эти уравнения, чтобы получить значения показателей $a$ , $b$ , $c$ ,..., $m$ .
Подставьте значения показателей степени в основное уравнение и сформируйте безразмерные параметры, сгруппировав переменные с одинаковыми показателями.

Недостатком является то, что метод Рэлея не дает никакой информации о количестве безразмерных групп, которые должны быть получены в результате анализа размерностей.

Конкретные цифры и базовые единицы

Многие параметры и измерения в физических науках и технике выражаются конкретным числом — числовой величиной и соответствующей единицей измерения. Часто количество выражается через несколько других величин; например, скорость представляет собой комбинацию длины и времени, например 60 километров в час или 1,4 километра в секунду. Сложные отношения с "per" выражаются делением , например 60 км/ч. Другие отношения могут включать в себя умножение (часто показано точкой в центре или сопоставлением ), степени (например, m ² для квадратных метров) или их комбинации.

Набор основных единиц системы измерения — это условно выбранный набор единиц, ни одна из которых не может быть выражена как комбинация других и через которую могут быть выражены все остальные единицы системы. ^[5] Например, в качестве базовых единиц обычно выбираются единицы длины и времени. Однако единицы объема можно включить в базовые единицы длины (м ³ ), поэтому они считаются производными или составными единицами.

Иногда названия единиц скрывают тот факт, что они являются производными единицами. Например, ньютон (Н) — это единица силы , которую можно выразить как произведение массы (в единицах кг) и ускорения (в единицах м⋅с ^-2 ). Ньютон определяется как 1 Н = 1 кг⋅м⋅с ⁻² .

Проценты, производные и интегралы

Проценты являются безразмерными величинами, поскольку представляют собой отношения двух величин одинаковой размерности. Другими словами, знак % можно читать как «сотые», поскольку 1% = 1/100 .

Взятие производной по величине делит размерность на размерность переменной, по которой дифференцируется. Таким образом:

позиция ( $x$ ) имеет размерность L (длина);
производная положения по времени ( $dx / dt$ , скорость ) имеет размерность T ⁻¹ L — длина от положения, время из-за градиента;
вторая производная $(d 2 x / dt 2 = d (dx / dt) / dt$ , ускорение ) имеет размерность T ⁻²L .

Аналогично, взятие интеграла добавляет размерность интегрируемой переменной, но в числителе.

сила имеет размерность T ⁻²L M (масса, умноженная на ускорение);
интеграл силы по расстоянию ( $s$ ) , пройденному объектом ( , работа ) имеет размерность T ⁻²L ²M . $\textstyle \int F\ ds$

В экономике различают запасы и потоки : запас имеет единицу (скажем, виджеты или доллары), тогда как поток является производной от запаса и имеет единицу в форме этой единицы, разделенной на единицу времени (скажем, , долларов/год).

В некоторых контекстах размерные величины выражаются в виде безразмерных величин или процентов путем опускания некоторых измерений. Например, отношение долга к ВВП обычно выражается в процентах: общая непогашенная задолженность (размер валюты) делится на годовой ВВП (размер валюты). имеют измерения валюта/время (например, доллары/год), и поэтому отношение долга к ВВП должно иметь единицу года, что указывает на то, что отношение долга к ВВП — это количество лет, необходимых для постоянного ВВП для выплаты долга, если весь ВВП тратится на долг, а в остальном долг не меняется.

Размерная однородность (соизмеримость)

Самым основным правилом размерного анализа является правило размерной однородности. ^[6]

Сравнивать , приравнивать , складывать или вычитать можно только соизмеримые величины (физические величины, имеющие одинаковую размерность) .

Однако при умножении размеры образуют абелеву группу , поэтому:

Можно взять отношения несоизмеримых величин (количеств разных размерностей) и умножить или разделить их .

Например, нет смысла спрашивать, является ли 1 час большим, равным или меньшим 1 километру, поскольку они имеют разные размеры, а также не имеет смысла прибавлять 1 час к 1 километру. Однако имеет смысл задаться вопросом, является ли 1 миля больше, такой же или меньше 1 километра, поскольку это одно и то же измерение физической величины, даже если единицы измерения разные. С другой стороны, если объект проходит 100 км за 2 часа, можно разделить их и прийти к выводу, что средняя скорость объекта составила 50 км/ч.

Правило подразумевает, что в физически значимом выражении можно складывать, вычитать или сравнивать только величины одинаковой размерности. Например, если $m man$ , $m rat$ и $L man$ обозначают соответственно массу какого-то человека, массу крысы и длину этого человека, то размерно-однородное выражение $m man + m rat$ имеет смысл, а гетерогенное выражение $м ман + Л ман$ бессмысленно. Однако $m man / L 2 man$ — это нормально. Таким образом, анализ размерностей можно использовать для проверки правильности физических уравнений: две части любого уравнения должны быть соизмеримы или иметь одинаковые размеры.

Даже если две физические величины имеют одинаковые размеры, их сравнение или сложение, тем не менее, может быть бессмысленным. Например, хотя крутящий момент и энергия имеют общую размерность T ⁻²L ²M , это принципиально разные физические величины.

Для сравнения, сложения или вычитания величин одинаковых размеров, но выраженных в разных единицах, стандартная процедура заключается в том, чтобы сначала преобразовать их все в одну и ту же единицу. Например, чтобы сравнить 32 метра с 35 ярдами, используйте 1 ярд = 0,9144 м , чтобы преобразовать 35 ярдов в 32,004 м.

Связанный с этим принцип заключается в том, что любой физический закон, который точно описывает реальный мир, должен быть независимым от единиц, используемых для измерения физических переменных. ^[7] Например, законы движения Ньютона должны оставаться верными независимо от того, измеряется ли расстояние в милях или километрах. Этот принцип приводит к форме, которую должен принимать коэффициент преобразования между единицами измерения одного и того же измерения: умножение на простую константу. Это также обеспечивает эквивалентность; например, если два здания имеют одинаковую высоту в футах, то они должны быть одинаковой высоты в метрах.

Фактор общения

В анализе размерностей коэффициент, который преобразует одну единицу измерения в другую без изменения количества, называется коэффициентом преобразования . Например, кПа и бар являются единицами измерения давления, а 100 кПа = 1 бар . Правила алгебры позволяют разделить обе части уравнения на одно и то же выражение, поэтому это эквивалентно 100 кПа / 1 бар = 1 . Поскольку любую величину можно умножить на 1, не меняя ее, выражение « 100 кПа / 1 бар » можно использовать для преобразования баров в кПа путем умножения его на преобразуемую величину, включая единицы измерения. Например, 5 бар × 100 кПа / 1 бар = 500 кПа , поскольку 5 × 100 / 1 = 500 , а бар/бар сокращается, поэтому 5 бар = 500 кПа .

Приложения

Анализ размерностей чаще всего используется в физике и химии, а также в их математике, но находит некоторые применения и за пределами этих областей.

Математика

Простое применение анализа размерностей в математике заключается в вычислении формы объема n $-$ шара (сплошного шара в n измерениях) или площади его поверхности, n $-$ сферы : будучи $n$ -мерной фигурой, объем масштабируется как $x n$ , а площадь поверхности, будучи $(n - 1)$ -мерной, масштабируется как $x n -1$ . Таким образом, объем $n$ -шара, выраженный в радиусе, равен $C n r n$ для некоторой постоянной $C n$ . Определение константы требует более сложной математики, но форму можно вывести и проверить только с помощью анализа размерностей.

Финансы, экономика и бухгалтерский учет

В финансах, экономике и бухгалтерском учете размерный анализ чаще всего упоминается с точки зрения различия между запасами и потоками . В более общем смысле, размерный анализ используется для интерпретации различных финансовых коэффициентов , экономических коэффициентов и коэффициентов бухгалтерского учета.

Например, коэффициент P/E имеет временные измерения (единица измерения: год) и может интерпретироваться как «годы заработка, необходимые для получения уплаченной цены».
В экономике соотношение долга к ВВП также имеет единицу года (долг имеет единицу валюты, ВВП имеет единицу валюты/год).
Скорость обращения денег имеет единицу измерения 1/год (ВВП/денежная масса имеет единицу валюты/год, а не валюту): как часто единица валюты обращается в год.
Годовые непрерывно начисляемые процентные ставки и простые процентные ставки часто выражаются в процентах (безразмерная величина), а время выражается как безразмерная величина, состоящая из количества лет. Однако если в качестве единицы измерения время включает год, размерность ставки равна 1/год. Конечно, нет ничего особенного (кроме обычного соглашения) в использовании года как единицы времени: можно использовать любую другую единицу времени. Более того, если скорость и время включают свои единицы измерения, использование разных единиц для каждой из них не является проблематичным. Напротив, скорость и время должны относиться к общему периоду, если они аразмерны. (Обратите внимание, что эффективные процентные ставки могут быть определены только как аразмерные величины.)
В финансовом анализе дюрация облигации может быть определена как $(dV / dr)/ V$ , где $V$ — стоимость облигации (или портфеля), $r$ — непрерывно начисляемая процентная ставка, а $dV / dr$ — производный инструмент. Из предыдущего пункта размерность $r$ равна 1/время. Следовательно, измерением продолжительности является время (обычно выражаемое в годах), поскольку $dr$ находится в «знаменателе» производной.

Гидравлическая механика

В механике жидкости анализ размерностей выполняется для получения безразмерных членов или групп числа Пи . Согласно принципам размерного анализа, любой прототип можно описать серией этих терминов или групп, описывающих поведение системы. Используя подходящие термины или группы Пи, можно разработать аналогичный набор терминов Пи для модели, имеющей те же размерные отношения. ^[8] Другими словами, термины «пи» обеспечивают быстрый путь к разработке модели, представляющей определенный прототип. К общим безразмерным группам в механике жидкости относятся:

Число Рейнольдса ( $Re$ ), обычно важное для всех типов проблем с жидкостью: $\mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.$
Число Фруда ( $Fr$ ), моделирующее течение со свободной поверхностью: $\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.$
Число Эйлера ( $Eu$ ), используемое в задачах, в которых представляет интерес давление: $\mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.$
Число Маха ( $Ма$ ), важное для высокоскоростных потоков, где скорость приближается к местной скорости звука или превышает ее: $\mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},$ где $c$ — местная скорость звука.

История

Истоки размерного анализа оспариваются историками. ^[9]^[10] Первое письменное применение анализа размерностей было приписано Франсуа Давье , ученику Лагранжа , в статье 1799 года в Туринской академии наук. ^[10]

Это привело к выводу, что значимые законы должны быть однородными уравнениями в различных единицах измерения, и этот результат позже был формализован в π-теореме Букингема .Симеон Пуассон также рассмотрел ту же проблему закона параллелограмма Давиета в своих трактатах 1811 и 1833 годов (том I, стр. 39). ^[11] Во втором издании 1833 года Пуассон явно вводит термин размерность вместо однородности Давие .

В 1822 году выдающийся учёный эпохи Наполеона Жозеф Фурье сделал первый признанный важный вклад ^[12] , основанный на идее о том, что физические законы, такие как F = ma , должны быть независимыми от единиц, используемых для измерения физических переменных.

Джеймс Клерк Максвелл сыграл важную роль в установлении современного использования анализа размерностей, выделив массу, длину и время как фундаментальные единицы, а другие единицы назвал производными. ^[13] Хотя Максвелл определил длину, время и массу как «три фундаментальные единицы», он также отметил, что гравитационную массу можно получить из длины и времени, приняв форму закона всемирного тяготения Ньютона, в которой гравитационная постоянная $G$ равна принимается за единицу, тем самым определяя M = T ⁻² L ³ . ^[14] Приняв форму закона Кулона , в которой постоянная Кулона k _e принимается за единицу, Максвелл затем определил, что размеры электростатической единицы заряда были Q = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2 , ^{[ 15]} , что после подстановки его уравнения M = T ⁻² L ³ для массы приводит к тому, что заряд имеет те же размеры, что и масса, а именно. Q знак равно Т ^-2 L ³ .

Анализ размерностей также используется для установления взаимосвязей между физическими величинами, участвующими в конкретном явлении, которое хочется понять и охарактеризовать. Впервые его таким образом применил в 1872 году лорд Рэлей , который пытался понять, почему небо голубое. ^[16] Рэлей впервые опубликовал эту технику в своей книге 1877 года « Теория звука» . ^[17]

Первоначальное значение слова « размерность» в «Теории де ла Шалёра» Фурье заключалось в числовом значении показателей основных единиц. Например, считалось, что ускорение имеет размерность 1 по отношению к единице длины и размерность -2 по отношению к единице времени. ^[18] Это было немного изменено Максвеллом, который сказал, что размерность ускорения равна T ⁻² L, а не просто показатели степени. ^[19]

Примеры

Простой пример: период гармонического осциллятора.

Каков период колебаний $Т$ массы $m$ , прикрепленной к идеальной линейной пружине с коэффициентом жесткости $k$ , подвешенной под действием силы тяжести $g$ ? Этот период является решением для $T$ некоторого безразмерного уравнения в переменных $T$ , $m$ , $k$ и $g$ . Четыре величины имеют следующие размерности: $T$ [T]; $м$ [М]; $к$ [М/Т ² ]; и $г$ [L/T ² ]. Из них мы можем сформировать только одно безразмерное произведение степеней выбранных нами переменных, $G 1 = T 2 k / m$ [T ² · M/T ² / M = 1] , и полагая $G 1 = C$ для некоторой безразмерной константы $C$ , получаем искомое безразмерное уравнение. Безразмерное произведение степеней переменных иногда называют безразмерной группой переменных; здесь термин «группа» означает «совокупность», а не математическую группу . Их еще часто называют безразмерными числами .

Переменная $g$ не встречается в группе. Легко видеть, что невозможно сформировать безразмерное произведение степеней, которое объединяет $g$ с $k$ , $m$ и $T$ , поскольку $g$ — единственная величина, включающая размерность L. Это означает, что в этой задаче $g$ не имеет значения. Анализ размерностей иногда может привести к убедительным заявлениям о неуместности некоторых величин в задаче или о необходимости дополнительных параметров. Если мы выбрали достаточно переменных, чтобы правильно описать проблему, то из этого аргумента мы можем заключить, что период массы на пружине не зависит от $g$ : он одинаков на Земле или на Луне. Уравнение, демонстрирующее существование произведения степеней для нашей задачи, можно записать совершенно эквивалентным образом: , для некоторой безразмерной константы $κ$ (равной из исходного безразмерного уравнения). $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$ ${\sqrt {C}}$

Когда мы сталкиваемся со случаем, когда анализ размерностей отклоняет переменную ( здесь $g$ ), которую интуитивно можно ожидать в физическом описании ситуации, другая возможность заключается в том, что отвергнутая переменная на самом деле релевантна, но какая-то другая релевантная переменная была опущено, что может в сочетании с отклоненной переменной образовать безразмерную величину. Однако здесь дело обстоит не так.

Когда анализ размерностей дает только одну безразмерную группу, как здесь, неизвестных функций нет, и решение считается «полным», хотя оно все еще может включать неизвестные безразмерные константы, такие как $κ$ .

Более сложный пример: энергия вибрирующей проволоки.

Рассмотрим случай, когда провод длиной $ℓ$ (L) колеблется с амплитудой $A$ (L). Проволока имеет линейную плотность $ρ$ (M/L) и находится под напряжением $s$ (LM/T ² ), и мы хотим знать энергию $E$ (L ² M/T ² ) в проволоке. Пусть $π 1$ и $π 2$ — два безразмерных произведения степеней выбранных переменных, заданные формулой

{\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}

Линейная плотность проволоки не учитывается. Две найденные группы можно объединить в эквивалентную форму в виде уравнения

F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,

где $F$ — некоторая неизвестная функция, или, что то же самое, как

E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),

где $f$ — некоторая другая неизвестная функция. Здесь неизвестная функция подразумевает, что наше решение теперь неполное, но анализ размерностей дал нам то, что, возможно, не было очевидным: энергия пропорциональна первой степени напряжения. Оставив дальнейший аналитический анализ, мы могли бы перейти к экспериментам по обнаружению формы неизвестной функции $f$ . Но наши эксперименты проще, чем при отсутствии анализа размерностей. Мы не будем ничего предпринимать, чтобы убедиться, что энергия пропорциональна напряжению. Или, возможно, мы могли бы догадаться, что энергия пропорциональна $ℓ$ , и сделать вывод, что $E = ℓs$ . Сила размерного анализа как средства для экспериментирования и формирования гипотез становится очевидной.

Сила анализа размерностей действительно становится очевидной, когда он применяется к ситуациям, в отличие от приведенных выше, которые более сложны, набор задействованных переменных не очевиден, а основные уравнения безнадежно сложны. Рассмотрим, например, небольшой камешек, лежащий на русле реки. Если река течет достаточно быстро, она фактически поднимет гальку и заставит ее течь вместе с водой. При какой критической скорости это произойдет? Разобрать угаданные переменные уже не так просто, как раньше. Но анализ размерностей может оказаться мощным подспорьем в понимании подобных проблем и обычно является самым первым инструментом, применяемым к сложным задачам, в которых основные уравнения и ограничения плохо понятны. В таких случаях ответ может зависеть от безразмерного числа, такого как число Рейнольдса , которое можно интерпретировать с помощью анализа размерностей.

Третий пример: спрос и мощность вращающегося диска.

Рассмотрим случай тонкого твердого вращающегося диска с параллельными сторонами осевой толщины $t$ (L) и радиуса $R$ (L). Диск имеет плотность $ρ$ (M/L ³ ), вращается с угловой скоростью $ω$ (T ^-1 ) и это приводит к возникновению напряжения $S$ (T ^-2 L ^-1 M) в материале. Существует теоретическое линейно-упругое решение этой проблемы, данное Ламе, когда диск тонкий по сравнению с его радиусом, грани диска могут свободно перемещаться в осевом направлении, и можно предположить, что определяющие соотношения плоского напряжения действительны. Поскольку диск становится толще относительно радиуса, решение о плоском напряжении нарушается. Если диск закреплен в осевом направлении на своих свободных поверхностях, то возникнет состояние плоской деформации. Однако если это не так, то напряженное состояние можно определить только с учетом трехмерной упругости, и для этого случая не существует известного теоретического решения. Поэтому инженер может быть заинтересован в установлении взаимосвязи между пятью переменными. Анализ размерностей в этом случае приводит к следующим ( 5 − 3 = 2 ) безразмерным группам:

спрос/мощность =

ρR 2 ω 2 / S

толщина/радиус или соотношение сторон =

t / R

С помощью численных экспериментов с использованием, например, метода конечных элементов , характер связи между двумя безразмерными группами можно получить, как показано на рисунке. Поскольку эта проблема затрагивает только две безразмерные группы, полная картина представлена на одном графике, который можно использовать в качестве схемы проектирования/оценки вращающихся дисков. ^[20]

Характеристики

Математические свойства

Измерения, которые могут быть сформированы из заданного набора основных физических измерений, таких как T, L и M, образуют абелеву группу : тождество записывается как 1; ^{[ нужна цитата ]} L ⁰ = 1 , а обратное к L равно 1/L или L ⁻¹ . L, возведенная в любую целую степень $p$ , является членом группы и имеет обратную величину L ^{$- p$} или 1/L ^$p$ . Операцией группы является умножение с обычными правилами обращения с показателями ( L ^$n$ × L ^$m$ = L ^{$n + m$} ). Физически 1/L можно интерпретировать как обратную длину , а 1/T как обратное время (см. обратную секунду ).

Абелева группа эквивалентна модулю над целыми числами с размерным символом T ^$i$ L ^$j$ M ^$k$ , соответствующим набору $(i, j, k)$ . Когда физические измеряемые величины (будь то одноразмерные или разноразмерные) умножаются или делятся друг на друга, их размерные единицы также умножаются или делятся; это соответствует сложению или вычитанию в модуле. Когда измеримые величины возводятся в целую степень, то же самое происходит с размерными символами, прикрепленными к этим величинам; это соответствует скалярному умножению в модуле.

Базис такого модуля размерных символов называется набором базовых величин , а все остальные векторы — производными единицами. Как и в любом модуле, можно выбрать разные базы , что дает разные системы единиц (например, выбрать , является ли единица заряда производной от единицы тока или наоборот).

Групповое тождество, размерность безразмерных величин, соответствует началу координат в этом модуле $(0, 0, 0)$ .

В некоторых случаях можно определить дробные размерности, в частности, формально определив дробные степени одномерных векторных пространств, таких как $V L 1/2$ . ^[21] Однако невозможно взять произвольные дробные степени единиц из-за препятствий теории представлений . ^[22]

Можно работать с векторными пространствами заданных размерностей без использования единиц измерения (соответствующих системам координат векторных пространств). Например, для данных размерностей $M$ и $L$ имеются векторные пространства $VM$ и $V L , и$ $можно$ определить $V ML$ $:$ $=$ $VM$ $\otimes$ $V$ $L$ как тензорное произведение . Точно так же двойственное пространство можно интерпретировать как имеющее «отрицательные» измерения. ^[23] Это соответствует тому факту, что при естественном спаривании векторного пространства и его двойственного пространства размеры сокращаются, оставляя безразмерный скаляр.

Набор единиц физических величин, участвующих в задаче, соответствует набору векторов (или матрице). Нульность описывает некоторое количество (например, $m$ ) способов, которыми эти векторы могут быть объединены для получения нулевого вектора . Они соответствуют получению (на основе измерений) ряда безразмерных величин ${π$ $1$ $, ..., π$ $m$ $}$ . (На самом деле эти способы полностью охватывают нулевое подпространство другого другого пространства степеней измерений.) Любой возможный способ умножения (и возведения в степень ) вместе измеренных величин, чтобы получить что-то с той же единицей измерения, что и некоторая производная величина $X$ , может быть выражена в общем виде

X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.

Следовательно, всякое возможное соизмеримое уравнение физики системы можно переписать в виде

f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.

Знание этого ограничения может стать мощным инструментом для получения нового понимания системы.

Механика

Размерность физических величин, представляющих интерес в механике , может быть выражена через базовые размеры T, L и M – они образуют трехмерное векторное пространство. Это не единственный допустимый выбор базовых размеров, но он используется чаще всего. Например, можно выбрать силу, длину и массу в качестве базовых размеров (как это сделали некоторые) с соответствующими размерами F, L, M; это соответствует другому базису, и можно переходить между этими представлениями, меняя базис . Таким образом, выбор базового набора измерений является соглашением, имеющим большую полезность и узнаваемость. Выбор базовых размеров не является полностью произвольным, поскольку они должны составлять основу : они должны охватывать пространство и быть линейно независимыми .

Например, F, L, M образуют набор фундаментальных измерений, поскольку они образуют основу, эквивалентную T, L, M: первые можно выразить как [F = LM/T 2 ^] , L, M, а последнее можно выразить как [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M.

С другой стороны, длина, скорость и время (T, L, V) не образуют набор основных размеров для механики по двум причинам:

Невозможно получить массу – или что-либо производное от нее, например, силу – без введения другого базового измерения (таким образом, они не охватывают пространство ).
Скорость, выражаемая через длину и время ( V = L/T ), является избыточной (множество не является линейно независимым ).

Другие области физики и химии

В зависимости от области физики может быть выгодно выбрать тот или иной расширенный набор размерных символов. Например, в электромагнетизме может быть полезно использовать размеры T, L, M и Q, где Q представляет собой размерность электрического заряда . В термодинамике базовый набор измерений часто расширяется за счет включения измерения температуры Θ. В химии количество вещества (число молекул, разделенное на константу Авогадро , ≈6,02 × 10 ²³ моль ^-1 ) определяется также как базовый размер Н. При взаимодействии релятивистской плазмы с сильными лазерными импульсами безразмерный параметр релятивистского подобия , связанный со свойствами симметрии бесстолкновительного уравнения Власова , строится из уравнения плотности плазмы, электронов и критическая плотность в дополнение к электромагнитному векторному потенциалу. Выбор измерений или даже количества измерений, которые будут использоваться в различных областях физики, в некоторой степени произволен, но последовательность в использовании и простота общения являются общими и необходимыми характеристиками.

Полиномы и трансцендентные функции

Теорема Бриджмена ограничивает тип функции, которая может использоваться для определения физической величины, от общих (размерно составных) величин до произведений только степеней величин, если только некоторые из независимых величин не объединяются алгебраически для получения безразмерных групп, функции которых сгруппированы. вместе в безразмерном числовом множителе. ^[24]^[25] Это исключает полиномы из более чем одного члена или трансцендентные функции другой формы.

Скалярные аргументы трансцендентных функций, таких как экспоненциальные , тригонометрические и логарифмические функции, или неоднородных полиномов , должны быть безразмерными величинами . (Примечание: это требование несколько смягчено в ориентационном анализе Сиано, описанном ниже, в котором квадраты определенных размерных величин безразмерны.)

Хотя большинство математических тождеств безразмерных чисел легко переводятся в размерные величины, необходимо проявлять осторожность с логарифмами отношений: тождество $log(a / b) = log a - log b$ , где логарифм берется в любом основании, имеет место. для безразмерных чисел $a$ и $b$ , но это неверно , если $a$ и $b$ размерны, потому что в этом случае левая часть четко определена, а правая - нет. ^[26]

Аналогично, хотя можно оценивать мономы ( $x n$ ) размерных величин, нельзя оценивать полиномы смешанной степени с безразмерными коэффициентами от размерных величин: для $x 2$ имеет смысл выражение (3 м) ² = 9 м ² (как площадь ), а для $x 2 + x$ выражение (3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 m не имеет смысла.

Однако полиномы смешанной степени могут иметь смысл, если коэффициенты представляют собой правильно выбранные физические величины, которые не являются безразмерными. Например,

{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.

Это высота, на которую поднимется объект за время $t$ , если ускорение свободного падения равно 9,8 метра в секунду и начальная скорость подъема 500 метров в секунду . $t$ не обязательно должно быть в секундах . Например, предположим, что $t$ = 0,01 минуты. Тогда первый член будет

{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}

Объединение единиц измерения и числовых значений

Значение размерной физической величины $Z$ записывается как произведение единицы [ Z $]$ внутри измерения и безразмерного числового значения или числового коэффициента $n$ . ^[27]

Z=n\times [Z]=n[Z]

Когда величины одинаковой величины складывают, вычитают или сравнивают, удобно выражать их в одной и той же единице, чтобы числовые значения этих величин можно было непосредственно складывать или вычитать. Но теоретически не возникает проблем с добавлением величин одного и того же измерения, выраженных в разных единицах. Например, 1 метр, добавленный к 1 футу, является длиной, но невозможно получить эту длину, просто сложив 1 и 1. Необходим коэффициент пересчета , который представляет собой отношение одноименных величин и равен безразмерной единице:

\mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m}

идентичен

1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.

Коэффициент 0,3048 м/фут идентичен безразмерному 1, поэтому умножение на этот коэффициент преобразования ничего не меняет. Затем при сложении двух величин одинакового размера, но выраженных в разных единицах измерения, соответствующий коэффициент преобразования, который по сути представляет собой безразмерную 1, используется для преобразования величин в одну и ту же единицу измерения, чтобы их числовые значения можно было складывать или вычитать.

Только в этом случае имеет смысл говорить о сложении одинаковых количеств различных единиц.

Количественные уравнения

Количественное уравнение , также иногда называемое полным уравнением , представляет собой уравнение, которое остается действительным независимо от единицы измерения , используемой при выражении физических величин . ^[28]

Напротив, в уравнении с числовыми значениями встречаются только числовые значения величин без единиц измерения. Следовательно, это действительно только тогда, когда каждое числовое значение относится к определенной единице измерения.

Например, количественное уравнение для перемещения $d$ как скорости $s$ , умноженной на разницу во времени $t,$ будет иметь вид:

д = с т

для $s$ = 5 м/с, где $t$ и $d$ могут быть выражены в любых единицах, конвертируемых при необходимости. Напротив, соответствующее уравнение с числовым значением будет иметь вид:

Д = 5 Т

где $T$ — числовое значение $t$ , выраженное в секундах, а $D$ — числовое значение $d$ , выраженное в метрах.

Как правило, использование уравнений с числовыми значениями не рекомендуется. ^[28]

Безразмерные концепции

Константы

Безразмерные константы, которые возникают в полученных результатах, такие как $C$ в задаче о законе Пуазейля и $κ$ в проблемах с пружиной, обсуждавшихся выше, возникают в результате более детального анализа основной физики и часто возникают в результате интегрирования какого-либо дифференциального уравнения. Сам анализ размерностей мало что может сказать об этих константах, но полезно знать, что они очень часто имеют величину порядка единицы. Это наблюдение может позволить иногда делать « закрытые » расчеты интересующего явления и, следовательно, иметь возможность более эффективно планировать эксперименты для его измерения или суждения о том, важно ли это и т. д.

Формализмы

Как ни парадоксально, анализ размерностей может быть полезным инструментом, даже если все параметры базовой теории безразмерны, например, решеточные модели, такие как модель Изинга , могут использоваться для изучения фазовых переходов и критических явлений. Такие модели могут быть сформулированы чисто безразмерным образом. По мере того, как мы приближаемся к критической точке все ближе и ближе, расстояние, на котором переменные в решеточной модели коррелируют (так называемая корреляционная длина, $χ$ ), становится все больше и больше. Теперь корреляционная длина — это соответствующий масштаб длины, связанный с критическими явлениями, поэтому можно, например, предположить на «размерных основаниях», что неаналитическая часть свободной энергии на узел решетки должна составлять $~ 1/ χ d$ , где $d$ - размер решетки.

Некоторые физики, например, Майкл Дж. Дафф , ^[4]^[29] утверждали , что законы физики по своей сути безразмерны. Тот факт, что мы присвоили несовместимые измерения длине, времени и массе, согласно этой точке зрения, является всего лишь вопросом условности, основанным на том факте, что до появления современной физики не было способа связать массу с массой. длина и время друг к другу. Тогда три независимые размерные константы: c , ħ и G в фундаментальных уравнениях физики следует рассматривать как простые коэффициенты преобразования для преобразования массы, времени и длины друг в друга.

Как и в случае с критическими свойствами решеточных моделей, результаты анализа размерностей можно восстановить в соответствующем пределе масштабирования; например, анализ размерностей в механике можно получить, повторно вставив константы $ħ$ , $c$ и $G$ (но теперь мы можем считать их безразмерными) и потребовав, чтобы несингулярное соотношение между величинами существовало в пределе $c \to \infty$ , $ħ \to 0$ и $Г \to 0$ . В задачах, связанных с гравитационным полем, следует выбирать последний предел так, чтобы поле оставалось конечным.

Размерные эквиваленты

Ниже приведены таблицы часто встречающихся в физике выражений, связанных с размерностями энергии, импульса и силы. ^[30]^[31]^[32]

единицы СИ

Языки программирования

Размерная корректность как часть проверки типов изучается с 1977 года. ^[33] Реализации для Ada ^[34] и C++ ^[35] были описаны в 1985 и 1988 годах. В диссертации Кеннеди 1996 года описана реализация в Standard ML , ^[36] и позже в Ф# . ^[37] Существуют реализации для Haskell , ^[38] OCaml , ^[39] и Rust , ^[40] Python, ^[41] и средство проверки кода для Fortran . ^[42]^[43]
Диссертация Гриффиона в 2019 году расширила систему типов Кеннеди Хиндли-Милнера для поддержки матриц Харта. ^[44]^[45] Макбрайд и Нордвалл-Форсберг показывают, как использовать зависимые типы для расширения систем типов для единиц измерения. ^[46]

В системе Mathematica 13.2 есть функция для преобразований величин под названием NondimensionizationTransform, которая применяет к уравнению преобразование обезразмеривания. ^[47] В системе Mathematica также имеется функция UnitDimensions для определения размеров такой единицы, как 1 Дж. ^[48] В Mathematica также есть функция, которая находит размерно эквивалентные комбинации подмножества физических величин, называемая DimensionalCombations. ^[49] Система Mathematica также может выделить определенное измерение с помощью UnitDimensions, указав аргумент функции UnityDimensions. ^[50] Например, вы можете использовать UnityDimensions для исключения углов. ^[50] Помимо UnitDimensions, Mathematica может найти размеры QuantityVariable с помощью функции QuantityVariableDimensions. ^[51]

Геометрия: положение против смещения

Аффинные величины

Некоторые обсуждения анализа размерностей неявно описывают все величины как математические векторы. (В математике скаляры считаются частным случаем векторов; ^{векторы можно добавлять} к другим векторам или вычитать из них, а также, среди прочего, умножать или делить на скаляры. Если вектор используется для определения положения, это предполагает неявная точка отсчета: начало координат . Хотя это полезно и часто совершенно адекватно, позволяя обнаружить множество важных ошибок, оно может не смоделировать определенные аспекты физики. Более строгий подход требует различения между положением и смещением (или моментом в время в зависимости от продолжительности или абсолютная температура в зависимости от изменения температуры).

Рассмотрим точки на линии, каждая из которых имеет положение относительно заданного начала координат, а также расстояния между ними. Позиции и перемещения имеют единицы длины, но их значения не взаимозаменяемы:

добавление двух смещений должно дать новое перемещение (пройдя десять шагов, а затем двадцать шагов, вы сделаете тридцать шагов вперед),
добавление смещения к позиции должно привести к созданию новой позиции (пройдя один квартал по улице от перекрестка, вы доберетесь до следующего перекрестка),
вычитание двух позиций должно дать смещение,
но нельзя добавлять две позиции.

Это иллюстрирует тонкое различие между аффинными величинами (моделируемыми аффинным пространством , такими как положение) и векторными величинами (моделируемыми векторным пространством , такими как смещение).

Векторные величины могут быть добавлены друг к другу, давая новую векторную величину, а векторная величина может быть добавлена к подходящей аффинной величине (векторное пространство действует на аффинное пространство), давая новую аффинную величину.
Аффинные величины нельзя складывать, но их можно вычитать, получая относительные величины, которые являются векторами, и эти относительные разности затем можно складывать друг с другом или с аффинной величиной.

Тогда позиции имеют размерность аффинной длины, а смещения имеют размерность векторной длины. Чтобы присвоить число аффинной единице, необходимо не только выбрать единицу измерения, но и точку отсчета , тогда как для присвоения числа векторной единице требуется только единица измерения.

Таким образом, некоторые физические величины лучше моделируются векторными величинами, тогда как другие требуют аффинного представления, и это различие отражается в их размерном анализе.

Это различие особенно важно в случае температуры, для которой числовое значение абсолютного нуля не является началом нуля в некоторых шкалах. Для абсолютного нуля,

−273,15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459,67 °F,

где символ ≘ означает , что, хотя эти значения на соответствующих температурных шкалах совпадают , они представляют собой разные величины точно так же, как расстояния от разных начальных точек до одной и той же конечной точки являются разными величинами и, как правило, не могут быть приравнены.

По разнице температур,

1 К = 1 °С ≠ 1 °F = 1 °R.

(Здесь °R относится к шкале Ренкина , а не к шкале Реомюра ). Преобразование единиц измерения разницы температур заключается в простом умножении, например, на 1 °F / 1 K (хотя это соотношение не является постоянной величиной). Но поскольку начало некоторых из этих шкал не соответствует абсолютному нулю, переход из одной температурной шкалы в другую требует учета этого. В результате простой размерный анализ может привести к ошибкам, если неясно, означает ли 1 К абсолютную температуру, равную -272,15 ° C, или разницу температур, равную 1 ° C.

Ориентация и система отсчета

Проблема ориентации аналогична проблеме точки отсчета: смещение в 2 или 3 измерениях — это не просто длина, а длина вместе с направлением . (Этот вопрос не возникает в 1 измерении, а скорее эквивалентен различению положительного и отрицательного.) Таким образом, для сравнения или объединения двухмерных величин в многомерном пространстве также необходима ориентация: их нужно сравнивать. в систему отсчета .

Это приводит к расширениям, обсуждаемым ниже, а именно к направленным измерениям Хантли и ориентационному анализу Сиано.

Расширения Хантли

Хантли отметил, что анализ размерностей может стать более эффективным, если обнаружить новые независимые измерения в рассматриваемых величинах, тем самым повысив ранг матрицы размерностей. ^[52] $m$

Он представил два подхода:

Величины компонентов вектора следует считать размерно независимыми. Например, вместо недифференцированного измерения длины L мы можем использовать L _x , представляющее измерение в направлении x и так далее. Это требование в конечном итоге вытекает из требования, чтобы каждый компонент физически значимого уравнения (скаляр, вектор или тензор) был согласован по размеру.
Массу как меру количества материи следует считать размерно независимой от массы как меры инерции.

Направленные размеры

В качестве примера полезности первого подхода предположим, что мы хотим вычислить расстояние, которое проходит пушечное ядро при выстреле с вертикальной составляющей скорости и горизонтальной составляющей скорости , предполагая, что оно стреляет по плоской поверхности. Предполагая, что направленные длины не используются, тогда интересующими величинами являются $R$ , пройденное расстояние с размером L, , , оба имеют размер T ⁻¹ L, и $g$ нисходящее ускорение силы тяжести с размером T ⁻² L. $v_{\text{y}}$ $v_{\text{x}}$ $v_{\text{x}}$ $v_{\text{y}}$

Учитывая эти четыре величины, мы можем заключить, что уравнение для диапазона $R$ можно записать:

R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.

Или размерно

{\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}

из которого мы можем вывести это и , что оставляет один показатель степени неопределенным. Этого и следовало ожидать, поскольку у нас есть два фундаментальных измерения T и L и четыре параметра с одним уравнением. $a+b+c=1$ $a+b+2c=0$

Однако, если мы используем направленные размеры длины, то они будут иметь размеры как T ⁻¹ L _$x$ , как T ⁻¹ L _$y$ , $R$ как L _$x$ и $g$ как T ⁻² L _$y$ . Уравнение размеров становится: $v_{\mathrm {x} }$ $v_{\mathrm {y} }$

{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}

и мы можем полностью решить как $a = 1$ , $b = 1$ и $c = -1$ . Очевидно увеличение дедуктивной мощности, получаемой за счет использования направленных размеров длины.

Однако концепция Хантли о направленных размерах длины имеет некоторые серьезные ограничения:

Он плохо справляется с векторными уравнениями, включающими векторное произведение ,
он также плохо справляется с использованием углов в качестве физических переменных.

Также часто бывает довольно сложно присвоить символы L, Lx _$,$ Ly _$,$ Lz _{$физическим$} переменным, участвующим в интересующей задаче. Он вызывает процедуру, которая включает в себя «симметрию» физической проблемы. Зачастую это очень сложно применить надежно: неясно, к каким частям проблемы применяется понятие «симметрии». Силы действуют на физическое тело или на точки, линии или области, к которым применяются силы? Что, если задействовано более одного тела с разной симметрией?

Рассмотрим сферический пузырек, прикрепленный к цилиндрической трубке, где скорость потока воздуха зависит от разницы давлений в двух частях. Каковы расширенные размеры Хантли вязкости воздуха, содержащегося в соединяемых деталях? Каковы расширенные размеры давления двух частей? Они одинаковые или разные? Эти трудности являются причиной ограниченного применения размерностей направленной длины Хантли к реальным задачам.

Количество материи

Во втором подходе Хантли он считает, что иногда полезно (например, в механике жидкости и термодинамике) различать массу как меру инерции ( инертную массу ) и массу как меру количества материи. Количество материи определяется Хантли как количество, пропорциональное только инертной массе, не предполагающее при этом инерционных свойств. К его определению не добавляется никаких дополнительных ограничений.

Например, рассмотрим вывод закона Пуазейля . Мы хотим найти скорость массового расхода вязкой жидкости через круглую трубу. Не проводя различий между инертной и вещественной массой, мы можем выбрать в качестве соответствующих переменных:

Существует три фундаментальные переменные, поэтому приведенные выше пять уравнений дадут две независимые безразмерные переменные:

\pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}

\pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}

Если мы различаем инертную массу с размером и количество вещества с размером , то массовый расход и плотность будут использовать количество вещества в качестве параметра массы, а градиент давления и коэффициент вязкости будут использовать инерционную массу. Теперь у нас есть четыре фундаментальных параметра и одна безразмерная константа, так что можно записать размерное уравнение: $M_{\text{i}}$ $M_{\text{m}}$

C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}

где теперь только $C$ является неопределенной константой (которая оказывается равной методам, не связанным с анализом размерностей). Это уравнение можно решить для массового расхода, чтобы получить закон Пуазейля . $\pi /8$

Признание Хантли количества материи как независимого количественного измерения, очевидно, успешно в тех проблемах, где оно применимо, но его определение количества материи открыто для интерпретации, поскольку ему не хватает специфичности, помимо двух требований, которые он для него постулировал. Для данного вещества размерность СИ количество вещества с единицей моля действительно удовлетворяет двум требованиям Хантли как мера количества материи и может использоваться в качестве количества материи в любой задаче анализа размерностей, где применима концепция Хантли.

Расширение Сиано: ориентационный анализ

Углы принято считать безразмерными величинами. В качестве примера снова рассмотрим задачу о снаряде, в которой точечная масса запускается из начала координат $(x, y) = (0, 0)$ со скоростью $v$ и углом $θ$ над осью x , при этом сила тяжести направлена вдоль отрицательная ось Y. Требуется найти диапазон $R$ , в котором масса возвращается к оси x . Обычный анализ дает безразмерную переменную $π = R g / v 2$ , но не дает понимания взаимосвязи между $R$ и $θ$ .

Сиано предложил заменить направленные измерения Хантли использованием ориентационных символов $1 x 1 y 1 z$ для обозначения направлений векторов и неориентированного символа 1 ₀ . ^{[53] Таким образом, L}_$x$ Хантли становится L1 _$x$ , где L определяет размерность длины, а $1 x$ определяет ориентацию. Сиано далее показывает, что ориентационные символы имеют собственную алгебру. Наряду с требованием, чтобы $1 i -1 = 1 i$ , получается следующая таблица умножения для символов ориентации:

Ориентационные символы образуют группу ( четыре группы Клейна или «Viergruppe»). В этой системе скаляры всегда имеют ту же ориентацию, что и единичный элемент, независимо от «симметрии задачи». Физические величины, являющиеся векторами, имеют ожидаемую ориентацию: сила или скорость в направлении z имеет ориентацию $1 z$ . В качестве углов рассмотрим угол $θ$ , лежащий в плоскости z. Образуйте прямоугольный треугольник в плоскости z, где $θ$ является одним из острых углов. Тогда сторона прямоугольного треугольника, примыкающая к углу, имеет ориентацию $1 x$ , а противоположная сторона имеет ориентацию $1 y$ . Поскольку (используя $~$ для обозначения ориентационной эквивалентности) $tan(θ) = θ + ... ~ 1 y /1 x$ , мы заключаем, что угол в плоскости xy должен иметь ориентацию $1 y /1 x = 1 z$ , что не является необоснованным. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что $sin(θ)$ имеет ориентацию $1 z$ , тогда как $cos(θ)$ имеет ориентацию 1 ₀ . Они разные, поэтому можно заключить (правильно), например, что не существует решений физических уравнений вида $a cos(θ) + b sin(θ)$ , где $a$ и $b$ — действительные скаляры. Такое выражение, как не является несовместимым по размерам, поскольку оно является частным случаем формулы суммы углов и должно быть правильно записано: $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$

\sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),

что для и дает . Сиано различает геометрические углы, которые имеют ориентацию в трехмерном пространстве, и фазовые углы, связанные с колебаниями, основанными на времени, которые не имеют пространственной ориентации, т.е. ориентация фазового угла равна . $a=\theta$ $b=\pi /2$ $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ $1_{0}$

Присвоение ориентационных символов физическим величинам и требование, чтобы физические уравнения были ориентационно однородными, на самом деле могут использоваться способом, аналогичным анализу размерностей, для получения дополнительной информации о приемлемых решениях физических проблем. В этом подходе каждый решает размерное уравнение, насколько это возможно. Если наименьшая степень физической переменной дробная, обе части решения возводятся в степень, в которой все степени являются целыми, что приводит его к нормальной форме . Затем решается уравнение ориентации, чтобы задать более ограничительные условия для неизвестных степеней ориентационных символов. Тогда решение будет более полным, чем то, которое дает только анализ размерностей. Часто дополнительная информация заключается в том, что одна из степеней определенной переменной является четной или нечетной.

Например, для задачи о снаряде с использованием ориентационных символов $θ$ , находящийся в плоскости xy, будет иметь размерность $1 z$ , а дальность полета снаряда $R$ будет иметь вид:

R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,

Размерная однородность теперь будет правильно давать $a = -1$ и $b = 2$ , а ориентационная однородность требует, чтобы . Другими словами, $c$ должно быть нечетным целым числом. Фактически, требуемой функцией теты будет $sin($ $θ$ $)cos($ $θ$ $)$ , которая представляет собой ряд, состоящий из нечетных степеней $θ$ . $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$

Видно, что ряды Тейлора $sin(θ)$ и $cos(θ)$ ориентационно однородны с использованием приведенной выше таблицы умножения, в то время как такие выражения, как $cos(θ) + sin(θ)$ и $exp(θ)$ , не являются и являются (правильно ) считается нефизическим.

Ориентационный анализ Сиано совместим с общепринятой концепцией безразмерных угловых величин, и в рамках ориентационного анализа радиан по -прежнему можно считать безразмерной единицей. Ориентационный анализ количественного уравнения проводится отдельно от обычного анализа размерностей, что дает информацию, дополняющую анализ размерностей.

Смотрите также

Теорема Букингема о π
Безразмерные числа в механике жидкости.
Оценка Ферми - используется для обучения анализу размерностей.
Числовое уравнение
Метод размерного анализа Рэлея
Сходство - применение размерного анализа
Система измерения

Связанные области математики

Примечания

^ аб Болстер, Диого; Хершбергер, Роберт Э.; Доннелли, Рассел Э. (сентябрь 2011 г.). «Динамическое подобие, безразмерная наука» . Физика сегодня . 64 (9): 42–47. дои : 10.1063/PT.3.1258.
^ ab BIPM (2019). «2.3.3 Размеры величин». Брошюра СИ: Международная система единиц (СИ) (PDF) (на английском и французском языках) (т. 1.08, 9-е изд.). стр. 136–137. ISBN 978-92-822-2272-0. Проверено 1 сентября 2021 г.
^ Ялин, М. Селим (1971). «Принципы теории размерностей». Теория гидравлических моделей . стр. 1–34. дои : 10.1007/978-1-349-00245-0_1. ISBN 978-1-349-00247-4.
^ Аб Дафф, MJ; Окунь, Л.Б.; Венециано, Г. (сентябрь 2002 г.), «Триалог о числе фундаментальных констант», Журнал физики высоких энергий , 2002 (3): 023, arXiv : Physics/0110060 , Bibcode : 2002JHEP...03..023D, doi :10.1088/1126-6708/2002/03/023, S2CID 15806354
^ JCGM (2012), JCGM 200:2012 - Международный словарь по метрологии - Основные и общие концепции и связанные с ними термины (VIM) (PDF) (3-е изд.), заархивировано из оригинала (PDF) 23 сентября 2015 г. , получено 2 июня. 2015 год
^ Цимбала, Джон; Ченгель, Юнус (2006). «§7-2 Размерная однородность». Основы механики жидкости: основы и приложения . МакГроу-Хилл. п. 203–. ISBN 9780073138350.
^ де Йонг, Фриц Дж.; Куэйд, Вильгельм (1967). Размерный анализ для экономистов . Северная Голландия. п. 28.
^ Уэйт, Ли; Хорошо, Джерри (2007). Прикладная механика биожидкостей . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 260. ИСБН 978-0-07-147217-3.
^ Маканьо, Энцо О. (1971). «Историко-критический обзор размерного анализа». Журнал Института Франклина . 292 (6): 391–340. дои : 10.1016/0016-0032(71)90160-8.
^ аб Мартинс, Роберто Де А. (1981). «Происхождение размерного анализа». Журнал Института Франклина . 311 (5): 331–337. дои : 10.1016/0016-0032(81)90475-0.
^ Мартинс, с. 403 в книге трудов, содержащей его статью.
^ Мейсон, Стивен Финни (1962), История наук , Нью-Йорк: Collier Books, стр. 169, ISBN 978-0-02-093400-4
^ Рош, Джон Дж (1998), Математика измерения: критическая история, Springer, стр. 203, ISBN 978-0-387-91581-4Начиная , по-видимому, с Максвелла, масса, длина и время стали интерпретироваться как имеющие привилегированный фундаментальный характер, а все другие величины - как производные не только по отношению к измерению, но и по отношению к их физическому состоянию.
^ Максвелл, Джеймс Клерк (1873), Трактат об электричестве и магнетизме , стр. 4
^ Максвелл, Джеймс Клерк (1873), Трактат об электричестве и магнетизме , серия Clarendon Press, Оксфорд, стр. 45, hdl : 2027/uc1.l0065867749
^ (Песич 2005)
^ Рэлей, барон Джон Уильям Стратт (1877), Теория звука, Макмиллан
^ Фурье (1822), с. 156.
^ Максвелл, Джеймс Клерк (1873), Трактат об электричестве и магнетизме, том 1, стр. 5
^ Рамзи, Ангус. «Размерный анализ и численные эксперименты для вращающегося диска». Рамзи Маундер Ассошиэйтс . Проверено 15 апреля 2017 г.
^ Тао 2012, «Приложив немного дополнительных усилий (и в полной мере воспользовавшись одномерностью векторных пространств), можно также определить пространства с дробными показателями ...».
^ Тао 2012, «Однако при работе с векторными величинами в двух и более измерениях существуют теоретические препятствия для принятия произвольных дробных степеней единиц ...».
^ Тао 2012 «Аналогично можно определить $VT -1 как пространство ,$ двойственное к $VT$ ... $»$
^ Бриджмен 1922, 2. Размерные формулы, стр. 17–27.
^ Берберан-Сантос, Марио Н.; Польяни, Лионелло (1999). «Два альтернативных вывода теоремы Бриджмена» (PDF) . Журнал математической химии . 26 : 255–261, см. §5 Общие результаты, с. 259. дои :10.1023/А:1019102415633. S2CID 14833238.
^ Берберан-Сантос и Польяни 1999, с. 256
^ Обзор различных используемых соглашений см.: Pisanty, E (17 сентября 2013 г.). «Обозначение размеров и единиц в квадратных скобках: использование и условные обозначения». Обмен стеками по физике . Проверено 15 июля 2014 г.
^ Аб Томпсон, Эмблер (ноябрь 2009 г.). Руководство по использованию международной системы единиц (СИ): Метрическая система (PDF) . Издательство ДИАНА. ISBN 9781437915594.
^ Дафф, Майкл Джеймс (июль 2004 г.). «Комментарий к изменению фундаментальных констант во времени». arXiv : hep-th/0208093v3 .
^ Воан, Г. (2010), Кембриджский справочник физических формул , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-57507-2
^ Моска, Джин; Типлер, Пол Аллен (2007), Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.), Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-8964-2
^ Мартин, БР; Шоу, Г.; Манчестерская физика (2008), Физика элементарных частиц (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-470-03294-7
^ Гехани, Н. (1977). «Единицы измерения как атрибут данных». Вычислить. Ланг . 2 (3): 93–111. дои : 10.1016/0096-0551(77)90010-8.
^ Гехани, Н. (июнь 1985 г.). «Производные типы и единицы измерения Ады». Программное обеспечение: практика и опыт . 15 (6): 555–569. дои : 10.1002/спе.4380150604. S2CID 40558757.
^ Цмелик, РФ; Гехани, Нью-Хэмпшир (май 1988 г.). «Размерный анализ с помощью C++». Программное обеспечение IEEE . 5 (3): 21–27. дои : 10.1109/52.2021. S2CID 22450087.
^ Кеннеди, Эндрю Дж. (апрель 1996 г.). Языки программирования и измерения (доктор философии). Том. 391. Кембриджский университет. ISSN 1476-2986. UCAM-CL-TR-391.
^ Кеннеди, А. (2010). «Типы единиц измерения: теория и практика». В Хорвате, З.; Пласмейер, Р.; Жок, В. (ред.). Центральноевропейская школа функционального программирования. CEFP 2009 . Конспекты лекций по информатике. Том. 6299. Спрингер. стр. 268–305. CiteSeerX 10.1.1.174.6901 . дои : 10.1007/978-3-642-17685-2_8. ISBN 978-3-642-17684-5.
^ Гандри, Адам (декабрь 2015 г.). «Плагин проверки типов для единиц измерения: решение ограничений, специфичных для предметной области, в GHC Haskell» (PDF) . Уведомления SIGPLAN . 50 (12): 11–22. дои : 10.1145/2887747.2804305. Архивировано (PDF) из оригинала 10 августа 2017 года.
^ Гарриг, Дж.; Ли, Д. (2017). «Des unités dans le typeur» (PDF) . 28ièmes Journées Francophones des Langaeges Applicatifs, январь 2017 г., Гуретт, Франция (на французском языке). hal-01503084. Архивировано (PDF) из оригинала 10 ноября 2020 г.
^ Теллер, Дэвид (январь 2020 г.). «Единицы измерения в Rust с типами уточнений».
^ Грекко, Эрнан Э. (2022). «Пинта: упрощает работу с единицами».
^ «CamFort: укажите, проверьте и реорганизуйте код Фортрана» . Кембриджский университет; Кентский университет. 2018.
^ Бенних-Бьоркман, О.; Маккивер, С. (2018). «Очередные 700 шашек». Материалы 11-й Международной конференции ACM SIGPLAN по языковой инженерии программного обеспечения . стр. 121–132. дои : 10.1145/3276604.3276613. ISBN 978-1-4503-6029-6. S2CID 53089559.
^ Харт 1995
^ Гриффиоен, П. (2019). Матричный язык с поддержкой единиц измерения и его применение в контроле и аудите (PDF) (Диссертация). Университет Амстердама. hdl : 11245.1/fd7be191-700f-4468-a329-4c8ecd9007ba. Архивировано (PDF) из оригинала 21 февраля 2020 года.
^ Макбрайд, Конор ; Нордвалль-Форсберг, Фредрик (2022). «Системы типов для программ с учетом размеров» (PDF) . Передовые математические и вычислительные средства в метрологии и испытаниях XII . Достижения математики для прикладных наук. Всемирная научная. стр. 331–345. дои : 10.1142/9789811242380_0020. ISBN 9789811242380. S2CID 243831207. Архивировано (PDF) из оригинала 17 мая 2022 года.
^ «Безразмерное преобразование — Документация по языку Wolfram» . ссылка.wolfram.com . Проверено 19 апреля 2023 г.
^ «UnitDimensions — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 19 апреля 2023 г.
^ «Комбинации измерений — Документация на языке Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 19 апреля 2023 г.
^ ab «UnityDimensions — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 19 апреля 2023 г.
^ «QuantityVariableDimensions — Документация на языке Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 19 апреля 2023 г.
^ (Хантли, 1967)
^ Сиано (1985-I, 1985-II)

дальнейшее чтение

Джанколи, Дуглас К. (2014). «1. Введение, измерение, оценка §1.8 Размеры и анализ размеров». Физика: принципы с приложениями (7-е изд.). ISBN 978-0-321-62592-2. ОСЛК 853154197.

Внешние ссылки

В Викибуке «Механика жидкости» есть страница на тему: Анализ размеров .

Викискладе есть медиафайлы по теме размерного анализа .

Список размерностей различных физических величин
Веб-калькулятор Unicalc Live выполняет преобразование единиц путем анализа размеров
Реализация C++ размерного анализа во время компиляции в библиотеках с открытым исходным кодом Boost.
Пи-теорема Бэкингема
Калькулятор количественной системы для преобразования единиц на основе размерного подхода. Архивировано 24 декабря 2017 г. на Wayback Machine.
Единицы измерения, количества и фундаментальные константы проецируют карты анализа размерностей
Боули, Роджер (2009). «Пространственный анализ». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
Дюрейсе, Дэвид (2019). Введение в размерный анализ (лекция). ИНСА Лион.