Возведение в степень

Арифметическая операция

Графики y = b ^x для различных базисов b :  основание 10,   основание е,   база 2,   база 1/2. Каждая кривая проходит через точку (0, 1) , поскольку любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1 . При x = 1 значение y равно основанию, поскольку любое число, возведенное в степень 1 , является самим числом.

В математике возведение в степень — это операция , включающая два числа : основание и показатель степени или степень . Возведение в степень записывается как bn , где b — основание ^, а n — степень ; это произносится как « b (возведенный) в (степень) n ». ^[1] Когда n является положительным целым числом , возведение в степень соответствует многократному умножению по основанию: то есть, ^bn является продуктом умножения n оснований : ^[1]

$${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$

Показатель степени обычно отображается в виде верхнего индекса справа от основания. В таком случае bn называется « b , возведенным в n- ю степень», « b (возведенный) в n -ю степень », « b в n- й степени », « b ^в n -ю степень», ^{[2 ]} или наиболее кратко как « б до н (ого)».

Из основного факта, изложенного выше, что для любого положительного целого числа все вхождения умножаются друг на друга, непосредственно следуют несколько других свойств возведения в степень. В частности: ^{[nb 1]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}}$$

Другими словами, при умножении основания, возведенного в одну степень, на то же самое основание, возведенное в другую степень, показатели степени складываются. Из этого основного правила, которое добавляют показатели степени, мы можем вывести, что оно должно быть равно 1 для любого , следующим образом. Для любого , . Разделив обе части на дает . ${\displaystyle b^{0}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}$

Тот факт, что аналогичным образом можно вывести из того же правила. Например, . Извлечение кубического корня из обеих частей дает . ${\displaystyle b^{1}=b}$ ${\displaystyle (b^{1})^{3}=b^{1}\times b^{1}\times b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}}$ ${\displaystyle b^{1}=b}$

Правило, согласно которому при умножении показатели суммируются, также можно использовать для получения свойств отрицательных целочисленных показателей. Рассмотрим вопрос, что должно означать. Чтобы соблюдать правило «добавления показателей», должно быть так, что . Разделив обе части на дает , что проще записать как , используя результат выше . По аналогичному аргументу, . ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}\times b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1}$ ${\displaystyle b^{1}}$ ${\displaystyle b^{-1}=1/b^{1}}$ ${\displaystyle b^{-1}=1/b}$ ${\displaystyle b^{1}=b}$ ${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n}}$

Из этого же правила следуют и свойства дробных показателей. Например, предположим, что мы рассматриваем и спрашиваем, существует ли какой-нибудь подходящий показатель степени, который мы можем назвать , такой, что . Из определения квадратного корня мы получаем, что . Следовательно, показатель степени должен быть таким, что . Используя тот факт, что умножение приводит к сложению показателей, дает . В правой части также можно записать как , давая . Приравнивая показатели обеих частей, имеем . Поэтому , так . ${\displaystyle {\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b^{r}={\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {b}}\times {\sqrt {b}}=b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b^{r}\times b^{r}=b}$ ${\displaystyle b^{r+r}=b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{1}}$ ${\displaystyle b^{r+r}=b^{1}}$ ${\displaystyle r+r=1}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {b}}=b^{1/2}}$

Определение возведения в степень можно расширить, чтобы разрешить любой действительный или комплексный показатель. Возведение в степень целочисленными показателями также может быть определено для широкого спектра алгебраических структур, включая матрицы .

Возведение в степень широко используется во многих областях, включая экономику , биологию , химию , физику и информатику , с такими приложениями, как сложные проценты , рост населения , кинетика химических реакций , волновое поведение и криптография с открытым ключом .

Этимология

Термин «экспонента» происходит от латинского expontem , причастия настоящего времени от exponere , что означает «выдвигать». ^[3] Термин мощность ( лат . potentia, potestas, dignitas ) является неправильным переводом ^{[4] [5]} древнегреческого δύναμις ( dúnamis , здесь: «усиление» ^[4] ) , используемого греческим математиком Евклидом для обозначения квадрата. линии, ^[6] вслед за Гиппократом Хиосским . ^[7]

История

Античность

Песчаный счетчик

В «Счетчике песка» Архимед доказал закон показателей 10 ^a · 10 ^b = 10 ^{a + b} , необходимый для манипулирования степенями 10 . ^[8] Затем он использовал степень 10 , чтобы оценить количество песчинок, которые могут содержаться во Вселенной.

Золотой век ислама

Мал и Кааба («квадрат» и «куб»)

В IX веке персидский математик Аль-Хорезми использовал термины مَال ( māl , «имущество», «собственность») для обозначения квадрата — мусульмане, «как и большинство математиков того и более раннего времени, думали о квадрате числа как о изображение площади, особенно земли, следовательно, собственности» ^[9] — и كَعْبَة ( Кааба , «куб») для куба , который позже исламские математики представили в математических обозначениях как буквы мим (м) и каф (к), соответственно, к 15 веку, как видно из работы Абуль-Хасана ибн Али аль-Каласади . ^[10]

15–18 века

Представляем показатели

Николя Шуке использовал форму экспоненциальной записи в 15 веке, например 12 ² для обозначения 12 x ² . ^[11] Позже это использовалось Хенриком Грамматеусом и Майклом Стифелем в 16 веке. В конце 16 века Йост Бюрги использовал римские цифры для показателей степени так же, как, например, Шуке.III4за 4 х ³ . ^[12]

«Экспонента»; «квадрат» и «куб».

Слово экспонента было придумано в 1544 году Майклом Стифелем. ^{[13] [14]} В 16 веке Роберт Рекорд использовал термины «квадрат», «куб», «зензизензизензический» ( четвертая степень ), «сурсолид» (пятый), «зензикуб» (шестой), «второй сурсолид» (седьмой) и «зензизензизензический» (восьмой). ^[9] Биквадрат также использовался для обозначения четвертой степени.

Современная экспоненциальная запись

В 1636 году Джеймс Юм использовал по существу современную систему обозначений, когда в «Алгебре Вьете» он написал A ⁱⁱⁱ вместо A ³ . ^[15] В начале 17 века первая форма нашей современной экспоненциальной записи была введена Рене Декартом в его тексте под названием «Геометрия» ; там обозначения введены в книге I. ^[16]

Я обозначаю ... аа или 2 при умножении ^a на себя; и 3 ^, умножив его еще раз на a и, таким образом, до бесконечности.

—  Рене Декарт, «Геометрия».

Некоторые математики (например, Декарт) использовали показатели степени только для степеней больше двух, предпочитая представлять квадраты как многократное умножение. Таким образом, они будут писать полиномы , например, как ax + bxx + cx ³ + d .

«Индексы»

Сэмюэл Джик ввел термин « индексы» в 1696 году. ^[6] Термин «инволюция» использовался как синоним термина « индексы» , но его использование сократилось ^[17] , и его не следует путать с его более общим значением .

Переменные показатели степени, нецелые показатели степени

В 1748 году Леонард Эйлер ввел переменные показатели степени и, косвенно, нецелые показатели степени, написав:

Рассмотрим экспоненты или степени, в которых показатель степени сам является переменной. Ясно, что величины такого рода не являются алгебраическими функциями , так как в них показатели степени должны быть постоянными. ^[18]

Терминология

Выражение b ² = b · b называется « квадратом b » или « b в квадрате», поскольку площадь квадрата с длиной стороны b равна b ² . (Это правда, что его также можно было бы назвать « b во второй степени», но «квадрат b » и « b в квадрате» настолько укоренились в традициях и удобствах, что « b во второй степени» имеет тенденцию звучать необычно или неуклюжий.)

Аналогично выражение b ³ = b · b · b называется « кубом b » или « b в кубе», поскольку объем куба с длиной стороны b равен b ³ .

Когда показатель степени является положительным целым числом , он указывает, сколько копий основания перемножается. Например, 3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 . Основание 3 появляется при умножении 5 раз, поскольку показатель степени равен 5 . Здесь 243 — это 5-я степень числа 3 или 3, возведенная в 5-ю степень .

Слово «поднятый» обычно опускается, а иногда и «сила», поэтому 3 ⁵ можно просто прочитать «3 к 5» или «3 к 5». Следовательно, возведение в степень b ⁿ можно выразить как « b в степени n », « b в n- й степени», « b в n- й степени» или, наиболее кратко, как « b в n ».

Целочисленные показатели

Операцию возведения в степень с целочисленными показателями можно определить непосредственно из элементарных арифметических операций .

Положительные показатели

Определение возведения в степень как повторного умножения можно формализовать с помощью индукции ^[19] , и это определение можно использовать, как только появится ассоциативное умножение:

Базовый случай

${\displaystyle b^{1}=b}$

и повторение _

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

Ассоциативность умножения означает, что для любых натуральных чисел m и n ,

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

и

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

Нулевой показатель

По определению, любое ненулевое число, возведенное в степень 0 , равно 1 : ^{[20] [1]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

Это единственно возможное определение нулевого показателя степени, позволяющее применить формулу

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

до нулевых показателей. Его можно использовать в любой алгебраической структуре с тождественным умножением .

Интуитивно это можно интерпретировать как пустой продукт копий b . Итак, равенство — это частный случай общего соглашения о пустом произведении. ${\displaystyle b^{0}}$ ${\displaystyle b^{0}=1}$

Случай 0 ⁰ более сложен. В контекстах, где рассматриваются только целочисленные степени, значению 1 обычно присваивается значение 0 ⁰ , но в противном случае выбор того, присвоить ли ему значение и какое значение присвоить, может зависеть от контекста. Дополнительные сведения см. в разделе Ноль в степени нуля .

Отрицательные показатели

Возведение в степень с отрицательными показателями определяется следующим тождеством, которое справедливо для любого целого числа n и ненулевого b :

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$. ^[1]

Возведение 0 в отрицательную степень не определено, но в некоторых случаях это может быть интерпретировано как бесконечность ( ). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \infty }$

Это определение возведения в степень с отрицательными показателями является единственным, которое позволяет расширить тождество до отрицательных показателей (рассмотрим случай ). ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$ ${\displaystyle m=-n}$

То же самое определение применимо и к обратимым элементам в мультипликативном моноиде , то есть алгебраической структуре , с ассоциативным умножением и мультипликативным тождеством, обозначаемым 1 (например, квадратные матрицы заданной размерности). В частности, в такой структуре обратный обратимому элементу x стандартно обозначается ${\displaystyle x^{-1}.}$

Личности и свойства

Следующие личности , часто называемыеправила экспоненты справедливы для всех целочисленных экспонент при условии, что основание не равно нулю:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является коммутативным . Например, 2 ³ = 8 ≠ 3 ² = 9 . Кроме того, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является ассоциативным . Например, (2 ³ ) ² = 8 ² = 64 , тогда как 2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512 . Без круглых скобок обычный порядок операций для возведения в степень в надстрочной нотации - сверху вниз (или правоассоциативный ), а не восходящий ^{[21] [22] [23]} (или левый ассоциативный). То есть,

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

что в целом отличается от

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

Степени суммы

Степени суммы обычно можно вычислить по степеням слагаемых по биномиальной формуле

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

Однако эта формула верна только в том случае, если слагаемые коммутируют (т. е. ab = ba ) , что подразумевается, если они принадлежат к коммутативной структуре . В противном случае, если a и b — скажем, квадратные матрицы одинакового размера, эту формулу использовать нельзя. Отсюда следует, что в компьютерной алгебре многие алгоритмы , включающие целочисленные показатели степени, должны быть изменены, когда основания возведения в степень не коммутируют. Некоторые системы компьютерной алгебры общего назначения используют другое обозначение (иногда ^^ вместо ^ ) для возведения в степень с некоммутирующими основаниями, которое затем называется некоммутативным возведением в степень .

Комбинаторная интерпретация

Для неотрицательных целых чисел n и m значение n ^m — это количество функций от набора из m элементов до набора из n элементов (см. кардинальное возведение в степень ). Такие функции можно представить в виде m - кортежей из n -элементного множества (или в виде m -буквенных слов из n -буквенного алфавита). Некоторые примеры конкретных значений m и n приведены в следующей таблице:

Особые базы

Полномочия десяти

В десятичной системе счисления целые степени 10 записываются как цифра 1 , за которой или перед которой следует количество нулей , определяемое знаком и величиной показателя степени. Например,10 ³ =1000 и10 ⁻⁴ =0,0001 .

Возведение в степень с основанием 10 используется в научной записи для обозначения больших или малых чисел. Например,299 792 458  м/с ( скорость света в вакууме, в метрах в секунду ) можно записать как2,997 924 58 × 10 ⁸  м/с и затем аппроксимируется как2,998 × 10 ⁸  м/с .

Префиксы СИ , основанные на степени 10 , также используются для описания малых или больших величин. Например, приставка «кило» означает10 ³ =1000 , то есть километр1000 м .

Полномочия двух

Первые отрицательные степени двойки обычно используются и имеют специальные названия, например: половина и четверть .

Степени двойки появляются в теории множеств , поскольку набор с n членами имеет набор степеней , набор всех его подмножеств , который имеет 2 ⁿ членов.

Целые степени 2 важны в информатике . Положительные целые степени 2 ⁿ дают количество возможных значений n - битного целого двоичного числа ; например, байт может принимать 2 ⁸ = 256 различных значений. Двоичная система счисления выражает любое число как сумму степеней 2 и обозначает его как последовательность 0 и 1 , разделенных двоичной точкой , где 1 указывает степень 2 , которая появляется в сумме; показатель степени определяется местом этой 1 : неотрицательные показатели степени представляют собой ранг единицы слева от точки (начиная с 0 ), а отрицательные показатели степени определяются рангом справа от точки.

Полномочия одного

Каждая степень единицы равна: 1 ⁿ = 1 . Это верно, даже если n отрицательно.

Первая степень числа — это само число: n ¹ = n .

Степени нуля

Если показатель степени n положителен ( n > 0 ), n -я степень нуля равна нулю: 0 ⁿ = 0 .

Если показатель степени n отрицателен ( n < 0 ), n -я степень нуля 0 ⁿ не определена, поскольку она должна равняться − n > 0 , и это будет соответствовать приведенному выше. ${\displaystyle 1/0^{-n}}$ ${\displaystyle 1/0}$

Выражение 0 0 либо определяется как 1 , либо остается неопределенным.

Силы отрицательного

Если n — четное целое число, то (−1) ⁿ = 1 . Это связано с тем, что отрицательное число, умноженное на другое отрицательное число, отменяет знак и, таким образом, дает положительное число.

Если n — нечетное целое число, то (−1) ⁿ = −1 . Это связано с тем, что после удаления пар -1 останется -1 .

По этой причине степени −1 полезны для выражения чередующихся последовательностей . Аналогичное обсуждение степеней комплексного числа i см. в § корнях комплексного числа n-й степени .

Большие показатели

Предел последовательности степеней числа, большего единицы, расходится; другими словами, последовательность растет неограниченно:

b ⁿ → ∞ при n → ∞, когда b > 1

Это можно прочитать как « b в степени n стремится к +∞ , поскольку n стремится к бесконечности, когда b больше единицы».

Степени числа с абсолютным значением меньше единицы стремятся к нулю:

б ⁿ → 0 при n → ∞, когда | б | < 1

Любая сила единицы всегда одна:

b ⁿ = 1 для всех n , если b = 1

Степени –1 чередуются между 1 и –1 , поскольку n чередуется между четным и нечетным, и, таким образом, не стремятся к какому-либо пределу по мере роста n .

Если b < –1 , bn чередуется между все большими и большими положительными и отрицательными числами, поскольку ⁿ чередуется между четными и нечетными, и, таким образом, не стремится к какому-либо пределу по мере роста n .

Если возведенное в степень число изменяется, стремясь к 1 , поскольку показатель степени стремится к бесконечности, то предел не обязательно является одним из указанных выше. Особо важным случаем является

(1 + 1/ n ) ⁿ → e при n → ∞

См. § Экспоненциальную функцию ниже.

Другие ограничения, в частности ограничения на выражения, принимающие неопределенную форму , описаны в § Пределы полномочий ниже.

Силовые функции

Степенные функции для n = 1, 3, 5

Степенные функции для n = 2, 4, 6

Действительные функции вида , где , иногда называют степенными функциями. ^[24] Когда – целое число и , существуют два основных семейства: для четных и для нечетных. В общем случае , когда четность будет стремиться к положительной бесконечности при увеличении , а также к положительной бесконечности при уменьшении . Все графики семейства четных степенных функций имеют общую форму , сглаживаясь по мере увеличения в середине. ^[25] Функции с таким видом симметрии ( ) называются четными функциями . ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=cx^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Когда нечетно, асимптотическое поведение 's меняется с положительного на отрицательное . Ибо , также будет стремиться к положительной бесконечности при увеличении , но к отрицательной бесконечности при уменьшении . Все графики семейства нечетных степенных функций имеют общую форму , более сглаживаясь посередине по мере увеличения и теряя там всякую плоскостность на прямой линии при . Функции с таким видом симметрии ( ) называются нечетными функциями . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=cx^{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

При в каждом случае верно противоположное асимптотическое поведение. ^[25] ${\displaystyle c<0}$

Таблица степеней десятичных цифр

Рациональные показатели

Сверху вниз: х ^1/8 , х ^1/4 , х ^1/2 , х ¹ , х ² , х ⁴ , х ⁸ .

Если x — неотрицательное действительное число , а n — целое положительное число или обозначает уникальный положительный действительный корень n -й степени из x , то есть уникальное положительное действительное число y такое, что ${\displaystyle x^{1/n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle y^{n}=x.}$

Если x — положительное действительное число и рациональное число с целыми числами p и q > 0 , то оно определяется как ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\textstyle x^{p/q}}$

${\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}$

Равенство справа можно получить, полагая и записывая ${\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},}$ ${\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}$

Если r — положительное рациональное число, то 0 ^r = 0 по определению.

Все эти определения необходимы для распространения тождества на рациональные показатели. ${\displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}$

С другой стороны, существуют проблемы с распространением этих определений на базы, которые не являются положительными действительными числами. Например, отрицательное действительное число имеет действительный корень n -й степени, который является отрицательным, если n нечетное , и не имеет действительного корня, если n четное . В последнем случае какой бы комплексный корень n- й степени ни был выбран в качестве тождества, он не может быть удовлетворен. Например, ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}},}$ ${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}$

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}$

См. § Действительные показатели степени и § Нецелые степени комплексных чисел для получения подробной информации о том, как можно решить эти проблемы.

Реальные показатели

Для положительных действительных чисел возведение в степень до вещественных степеней можно определить двумя эквивалентными способами: либо путем расширения рациональных степеней до вещественных чисел по непрерывности ( § Пределы рациональных показателей степени , ниже), либо с помощью логарифма основания и показательной функции. ( § Степени через логарифмы ниже). Результатом всегда является положительное действительное число, а тождества и свойства, показанные выше для целочисленных показателей, остаются верными и с этими определениями для действительных показателей. Второе определение используется чаще, поскольку оно напрямую обобщается на комплексные показатели.

С другой стороны, возведение в степень отрицательного действительного числа в степень гораздо сложнее определить последовательно, поскольку оно может быть недействительным и иметь несколько значений (см. § Действительные показатели степени с отрицательными основаниями ). Можно выбрать одно из этих значений, называемое главным значением , но нет выбора главного значения, для которого тождество

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}$

правда; см. § Неисправность степенных и логарифмических тождеств . Поэтому возведение в степень с базисом, не являющимся положительным действительным числом, обычно рассматривается как многозначная функция .

Пределы рациональных показателей

Пределом e ^{1/ n} является e ⁰ = 1 , когда n стремится к бесконечности.

Поскольку любое иррациональное число может быть выражено как предел последовательности рациональных чисел, возведение в степень положительного действительного числа b с произвольным действительным показателем x можно определить по непрерывности с помощью правила ^[26]

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

где предел берется только по рациональным значениям r . Этот предел существует для каждого положительного b и любого вещественного x .

Например, если x = π , неограниченное десятичное представление π = 3,14159... и монотонность рациональных степеней можно использовать для получения интервалов, ограниченных рациональными степенями, которые настолько малы, насколько это необходимо и должны содержать ${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

Итак, верхние границы и нижние границы интервалов образуют две последовательности , имеющие один и тот же предел, обозначаемые ${\displaystyle b^{\pi }.}$

Это определяет каждое положительное значение b и вещественное значение x как непрерывную функцию от b и x . См. также Четко определенное выражение . ^[27] ${\displaystyle b^{x}}$

Экспоненциальная функция

Показательную функцию часто определяют как где - число Эйлера . Во избежание замкнутого круга рассуждений это определение здесь использовать нельзя. Так, даны определения показательной функции, обозначаемой и числа Эйлера, которые опираются только на возведение в степень с целыми положительными показателями. Затем набрасывается доказательство того, что если использовать определение возведения в степень, данное в предыдущих разделах, то ${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$ ${\displaystyle \exp(x),}$

${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

Существует много эквивалентных способов определения показательной функции , один из них —

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Имеет место , и экспоненциальное тождество также имеет место, поскольку ${\displaystyle \exp(0)=1,}$ ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

и член второго порядка не влияет на предел, что дает . ${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

Число Эйлера можно определить как . Из предыдущих уравнений следует, что когда x является целым числом (это следует из определения возведения в степень методом многократного умножения). Если x действительно, это получается из определений, данных в предыдущих разделах, с использованием экспоненциального тождества, если x рационален, и непрерывности показательной функции в противном случае. ${\displaystyle e=\exp(1)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

Предел, определяющий экспоненциальную функцию, сходится для каждого комплексного значения x , и поэтому его можно использовать для расширения определения и, следовательно, от действительных чисел до любого комплексного аргумента z . Эта расширенная экспоненциальная функция по-прежнему удовлетворяет экспоненциальному тождеству и обычно используется для определения возведения в степень для комплексного основания и показателя степени. ${\displaystyle \exp(z)}$ ${\displaystyle e^{z},}$

Степени через логарифмы

Определение ex как экспоненциальной функции позволяет определить b ^x для каждого положительного действительного числа b в терминах экспоненциальной и ^{логарифмической} функции . В частности, тот факт, что натуральный логарифм ln( x ) является обратным экспоненциальной функции ex ^, означает, что имеется

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

для каждого b > 0 . Для сохранения идентичности необходимо иметь ${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

Таким образом, его можно использовать как альтернативное определение b ^x для любого положительного действительного b . Это согласуется с определением, данным выше, с использованием рациональных показателей и непрерывности, с преимуществом прямого распространения на любой комплексный показатель. ${\displaystyle e^{x\ln b}}$

Комплексные показатели с положительной реальной базой

Если b — положительное действительное число, возведение в степень с основанием b и комплексным показателем z определяется с помощью экспоненциальной функции с комплексным аргументом (см. конец § Экспоненциальная функция выше) как

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

где обозначает натуральный логарифм числа b . ${\displaystyle \ln b}$

Это удовлетворяет тождеству

${\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}$

В общем случае не определено, поскольку b ^z не является действительным числом. Если придается значение возведению комплексного числа в степень (см. § Нецелые степени комплексных чисел ниже), то, как правило, имеем ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$

${\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}$

если только z не является вещественным или t не является целым числом.

Формула Эйлера ,

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,}$

позволяет выразить полярную форму через действительную и мнимую части z , а именно ${\displaystyle b^{z}}$

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}$

где абсолютное значение тригонометрического коэффициента равно единице . Это является результатом

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}$

Нецелые степени комплексных чисел

В предыдущих разделах возведение в степень с нецелыми показателями было определено только для положительных действительных оснований. Для других базисов трудности возникают уже в, казалось бы, простом случае корней n -й степени, т. е. показателей степени , где n — целое положительное число. Хотя общая теория возведения в степень с нецелыми показателями применима к корням n - й степени, этот случай заслуживает рассмотрения в первую очередь, поскольку в нем нет необходимости использовать комплексные логарифмы , и поэтому его легче понять. ${\displaystyle 1/n,}$

n- ные корни комплексного числа

Каждое ненулевое комплексное число z можно записать в полярной форме как

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

где – абсолютное значение z и – его аргумент . Аргумент определяется до целого числа, кратного 2 π ; это означает, что если является аргументом комплексного числа, то это также аргумент того же комплексного числа для каждого целого числа . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta +2k\pi }$ ${\displaystyle k}$

Полярная форма произведения двух комплексных чисел получается путем умножения абсолютных значений и сложения аргументов. Отсюда следует, что полярную форму корня n- й степени комплексного числа можно получить, взяв корень n -й степени из абсолютного значения и разделив его аргумент на n :

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

Если добавляется к , комплексное число не изменяется, но прибавляется к аргументу корня n -й степени и создается новый корень n -й степени. Это можно сделать n раз и получить корни n - й степени комплексного числа. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2i\pi /n}$

Обычно в качестве главного корня выбирают один из корней n - й степени . Обычно выбирают корень n- й степени , то есть корень n- й степени, имеющий наибольшую действительную часть, а если их два, то корень с положительной мнимой частью. Это делает главный корень n- й степени непрерывной функцией во всей комплексной плоскости, за исключением отрицательных действительных значений подкоренного выражения . Эта функция равна обычному корню n -й степени для положительных действительных подкоренных чисел. Для отрицательных вещественных подкоренных чисел и нечетных показателей главный корень n- й степени недействителен, хотя обычный корень n -й степени действителен. Аналитическое продолжение показывает, что главный корень n- й степени представляет собой уникальную комплексную дифференцируемую функцию, продолжающую обычный корень n- й степени на комплексную плоскость без неположительных действительных чисел. ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$

Если комплексное число перемещается вокруг нуля за счет увеличения его аргумента, то после приращения комплексное число возвращается в исходное положение, а его корни n- й степени переставляются по кругу (они умножаются на ). Это показывает, что невозможно определить корневую функцию n-й степени, непрерывную во всей комплексной плоскости. ${\displaystyle 2\pi ,}$ $e^{2i\pi /n}$

Корни единства

Три третьих корня из 1

Корни n- й степени из единицы — это n комплексных чисел, таких что w ⁿ = 1 , где n — целое положительное число. Они возникают в различных областях математики, например, в дискретном преобразовании Фурье или алгебраических решениях алгебраических уравнений ( резольвента Лагранжа ).

Корни n - й степени из единицы являются n-ми первыми степенями , то есть корни n- й степени из единицы, обладающие этим порождающим свойством, называются примитивными корнями n- й степени из единицы ; они имеют форму с k , взаимно простым с n . Уникальный примитивный квадратный корень из единицы - это примитивные корни четвертой степени из единицы и ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}}$ ${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},}$ ${\displaystyle -1;}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i.}$

Корни n- й степени из единицы позволяют выразить все корни n- й степени комплексного числа z как произведения n заданных корней n -й степени из z на корень n- й степени из единицы.

Геометрически корни n- й степени из единицы лежат на единичной окружности комплексной плоскости в вершинах правильного n -угольника с одной вершиной, принадлежащей вещественному числу 1.

Поскольку число представляет собой примитивный корень n- й степени из единицы с наименьшим положительным аргументом , его называют главным примитивным корнем n- й степени из единицы , иногда сокращая до главного корня n- й степени из единицы , хотя эту терминологию можно спутать с главным значением числа . , что равно 1. ^{[28] [29] [30]} ${\displaystyle e^{\frac {2k\pi i}{n}}}$ ${\displaystyle 1^{1/n}}$

Комплексное возведение в степень

Определение возведения в степень с помощью сложных базисов приводит к трудностям, аналогичным описанным в предыдущем разделе, за исключением того, что, как правило, существует бесконечно много возможных значений . Таким образом, либо определяется главное значение , которое не является непрерывным для вещественных и неположительных значений z , либо определяется как многозначная функция . $z^{w}$ $z^{w}$

Во всех случаях комплексный логарифм используется для определения комплексного возведения в степень как

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

где используется вариант комплексного логарифма, то есть функция или многозначная функция такая, что ${\displaystyle \log z}$

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

для каждого z в своей области определения .

Основная ценность

Главное значение комплексного логарифма — это уникальная непрерывная функция, обычно обозначаемая так, что для каждого ненулевого комплексного числа z ${\displaystyle \log ,}$

${\displaystyle e^{\log z}=z,}$

и аргумент z удовлетворяет _

${\displaystyle -\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi .}$

Главное значение комплексного логарифма не определено, поскольку оно разрывно при отрицательных действительных значениях z и голоморфно (т. е. комплексно дифференцируемо) в других местах. Если z действительное и положительное значение, главным значением комплексного логарифма является натуральный логарифм: ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \log z=\ln z.}$

Главное значение определяется как где – главное значение логарифма. ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$ ${\displaystyle \log z}$

Функция голоморфна, за исключением окрестности точек, где z вещественна и неположительна. ${\displaystyle (z,w)\to z^{w}}$

Если z действительное и положительное, главное значение равно его обычному значению, определенному выше. Если где n является целым числом, это главное значение совпадает с определенным выше. ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle w=1/n,}$

Многозначная функция

В некоторых контекстах существует проблема с разрывом главных значений и при отрицательных реальных значениях z . В этом случае полезно рассматривать эти функции как многозначные функции . ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z^{w}}$

Если обозначает одно из значений многозначного логарифма (обычно его главное значение), остальные значения — это любое целое число. Аналогично, если одно значение возведения в степень, то остальные значения определяются выражением ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 2ik\pi +\log z,}$ ${\displaystyle z^{w}}$

${\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}$

где k — любое целое число.

Различные значения k дают разные значения, если только w не является рациональным числом , то есть не существует целое число d такое, что dw является целым числом. Это является результатом периодичности экспоненциальной функции, а точнее, того, что тогда и только тогда, когда является целым числом, кратным ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Если — рациональное число с m и n взаимно простыми целыми числами , то оно имеет ровно n значений. В данном случае эти значения такие же, как и описанные в § корней n-й степени комплексного числа. Если w — целое число, существует только одно значение, согласующееся со значением § целочисленных показателей. ${\displaystyle w={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle m=1,}$

Многозначное возведение в степень голоморфно в том смысле, что его график состоит из нескольких листов, каждый из которых определяет голоморфную функцию в окрестности каждой точки. Если z непрерывно меняется по окружности вокруг 0 , то после поворота значение листа изменилось. ${\displaystyle z\neq 0,}$ ${\displaystyle z^{w}}$

Вычисление

Каноническая форма может быть вычислена из канонической формы z и w . Хотя это можно описать одной формулой, удобнее разделить вычисления на несколько этапов. ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle z^{w}}$

• Полярная форма z . Если- каноническая форма z ( a и b вещественные), то ее полярная форма равна ${\displaystyle z=a+ib}$
  $${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$$
  где и ( определение этой функции см. в atan2 ). ${\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (a,b)}$
• Логарифм z . _ Главное значение этого логарифмагдеобозначает натуральный логарифм . Остальные значения логарифма получаются сложениемлюбого целого числа k . ${\displaystyle \log z=\ln \rho +i\theta ,}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle 2ik\pi }$
• Каноническая форма ${\displaystyle w\log z.}$ If с действительными c и d , значения равны ${\displaystyle w=c+di}$ ${\displaystyle w\log z}$
  $${\displaystyle w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),}$$
  главное значение, соответствующее ${\displaystyle k=0.}$
• Конечный результат . Используя тождества , можно получить ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$ ${\displaystyle e^{y\ln x}=x^{y},}$
  $${\displaystyle z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),}$$
  с основной стоимостью. ${\displaystyle k=0}$

Примеры

• ${\displaystyle i^{i}}$
  Полярная форма i равна , и значения, таким образом, равны ${\displaystyle i=e^{i\pi /2},}$ ${\displaystyle \log i}$
  $${\displaystyle \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).}$$
  Следует, что
  $${\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.}$$
  Итак, все значения действительны, главное из них — ${\displaystyle i^{i}}$
  $${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.}$$
• ${\displaystyle (-2)^{3+4i}}$
  Аналогично, полярная форма -2 равна Итак, описанный выше метод дает значения ${\displaystyle -2=2e^{i\pi }.}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}}$$
  В этом случае все значения имеют один и тот же аргумент и разные абсолютные значения. ${\displaystyle 4\ln 2,}$

В обоих примерах все значения имеют один и тот же аргумент. В более общем смысле это верно тогда и только тогда, когда действительная часть w является целым числом. ${\displaystyle z^{w}}$

Ошибка степенного и логарифмического тождества

Некоторые тождества для степеней и логарифмов для положительных действительных чисел не будут работать для комплексных чисел, независимо от того, насколько комплексные степени и комплексные логарифмы определяются как однозначные функции . Например:

• Тождество log( b ^x ) = x ⋅ log  b выполняется всякий раз, когда b — положительное действительное число, а x — действительное число. Но для главной ветви комплексного логарифма имеем
  $${\displaystyle \log((-i)^{2})=\log(-1)=i\pi \neq 2\log(-i)=2\log(e^{-i\pi /2})=2\,{\frac {-i\pi }{2}}=-i\pi }$$

  Независимо от того, какая ветвь логарифма используется, аналогичный сбой тождества будет существовать. Лучшее, что можно сказать (если использовать только этот результат), это то, что:

  $${\displaystyle \log w^{z}\equiv z\log w{\pmod {2\pi i}}}$$

  Это тождество не выполняется даже при рассмотрении log как многозначной функции. Возможные значения log( w ^z ) содержат значения z ⋅ log  w как собственное подмножество . Используя Log( w ) для основного значения log( w ) и m , n в качестве любых целых чисел, возможные значения обеих сторон таковы:

  $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\log w^{z}\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in+2\pi im\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}\\\left\{z\log w\right\}&=\left\{z\operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in\mid n\in \mathbb {Z} \right\}\end{aligned}}}$$
• Тождества ( bc ) ^x = b ^x c ^x и ( b / c ) ^x = b ^x / c ^x действительны, когда b и c — положительные действительные числа, а x — действительное число. Но для основных ценностей есть
  $${\displaystyle (-1\cdot -1)^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1}$$
  и
  $${\displaystyle \left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=i\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i}$$
  С другой стороны, когда x является целым числом, тождества действительны для всех ненулевых комплексных чисел. Если возведение в степень рассматривается как многозначная функция, то возможные значения (−1 ⋅ −1) ^1/2 равны {1, −1} . Тождество справедливо, но утверждение {1} = {(−1 ⋅ −1) ^1/2 } неверно.
• Тождество ( e ^x ) ^y = e ^xy справедливо для действительных чисел x и y , но предположение его истинности для комплексных чисел приводит к следующему парадоксу , открытому в 1827 году Клаузеном : [ ^31] Для любого целого числа n мы имеем:
  1. ${\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e}$
  2. ${\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad }$(взяв -ю степень обеих сторон) ${\displaystyle (1+2\pi in)}$
  3. ${\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }$(с использованием и расширением показателя) ${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{xy}}$
  4. ${\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }$(с использованием ) ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$
  5. ${\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad }$(деление на е )
  но это неверно, когда целое число n не равно нулю. Ошибка в следующем: по определению является обозначением истинной функции, а есть обозначением, для которого является многозначной функцией. Таким образом, обозначение неоднозначно, когда x = e . Здесь, прежде чем расширять показатель степени, вторая строка должна быть ${\displaystyle e^{y}}$ ${\displaystyle \exp(y),}$ ${\displaystyle x^{y}}$ ${\displaystyle \exp(y\log x),}$
  $${\displaystyle \exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in).}$$
  Следовательно, при расширении показателя степени неявно предполагалось, что для комплексных значений z это неверно, поскольку комплексный логарифм многозначен. Другими словами, неправильное тождество ( e ^x ) ^y = e ^xy должно быть заменено тождеством ${\displaystyle \log \exp z=z}$
  $${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}},}$$
  что является истинным тождеством между многозначными функциями.

Иррациональность и трансцендентность

Если b — положительное действительное алгебраическое число , а x — рациональное число, то bx — алгебраическое число ^. Это следует из теории алгебраических расширений . Это остается верным, если b — любое алгебраическое число, и в этом случае все значения b ^x (как многозначной функции ) являются алгебраическими. Если x иррационально (то есть не рационально ), а b и x алгебраические, теорема Гельфонда-Шнайдера утверждает, что все значения b ^x трансцендентны (то есть не алгебраичны), за исключением случаев , когда b равно 0 или 1 .

Другими словами, если x иррационально и тогда хотя бы одно из b , x и b ^x трансцендентно. ${\displaystyle b\not \in \{0,1\},}$

Целые степени в алгебре

Определение возведения в степень с положительными целочисленными показателями как повторяющегося умножения может применяться к любой ассоциативной операции , обозначаемой как умножение. ^{[nb 2]} Определение x ⁰ требует, кроме того, существования мультипликативного тождества . ^[32]

Алгебраическая структура , состоящая из множества вместе с ассоциативной операцией, обозначаемой мультипликативно, и мультипликативным тождеством, обозначаемым 1 , является моноидом . В таком моноиде возведение в степень элемента x определяется индуктивно формулой

• ${\displaystyle x^{0}=1,}$
• ${\displaystyle x^{n+1}=xx^{n}}$для каждого неотрицательного целого числа n .

Если n — отрицательное целое число, определяется только в том случае, если x имеет мультипликативную обратную величину . ^[33] В этом случае обратная величина x обозначается x ⁻¹ , а x ⁿ определяется как ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}.}$

Возведение в степень с целыми показателями подчиняется следующим законам для x и y в алгебраической структуре и целых чисел m и n :

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if}}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}}$

Эти определения широко используются во многих областях математики, особенно для групп , колец , полей , квадратных матриц (которые образуют кольцо). Они применяются также к функциям из множества самому себе, которые образуют моноид при композиции функций . Сюда входят, в частности, геометрические преобразования и эндоморфизмы любой математической структуры .

Когда есть несколько операций, которые могут повторяться, обычно повторяющуюся операцию указывают, помещая ее символ в верхнем индексе перед показателем степени. Например, если f — действительная функция , значение которой можно умножать, это означает возведение в степень относительно умножения и может обозначать возведение в степень относительно композиции функции . То есть, ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{\circ n}}$

${\displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),}$

и

${\displaystyle (f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).}$

Обычно обозначается , а обозначается ${\displaystyle (f^{n})(x)}$ ${\displaystyle f(x)^{n},}$ ${\displaystyle (f^{\circ n})(x)}$ ${\displaystyle f^{n}(x).}$

В группе

Мультипликативная группа — это набор с ассоциативной операцией, обозначаемой как умножение, который имеет единичный элемент и такой, что каждый элемент имеет обратный.

Итак, если G — группа, она определена для каждого целого числа n . ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x\in G}$

Совокупность всех степеней элемента группы образует подгруппу . Группа (или подгруппа), состоящая из всех степеней определенного элемента x, является циклической группой , порожденной x . Если все степени x различны, группа изоморфна аддитивной группе целых чисел. В противном случае циклическая группа конечна (она имеет конечное число элементов), а число ее элементов равно порядку x . Если порядок x равен n , то циклическая группа, порожденная x , состоит из n первых степеней x (начиная безразлично с показателя 0 или 1 ). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$

Порядок элементов играет фундаментальную роль в теории групп . Например, порядок элемента в конечной группе всегда является делителем числа элементов группы (порядка группы ). Возможные порядки элементов группы важны при изучении строения группы (см. теоремы Силова ), а также при классификации конечных простых групп .

Надстрочные обозначения также используются для спряжения ; то есть g ^h = h ⁻¹ gh , где g и h — элементы группы. Это обозначение нельзя путать с возведением в степень, поскольку верхний индекс не является целым числом. Мотивацией этого обозначения является то, что сопряжение подчиняется некоторым законам возведения в степень, а именно и ${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$ ${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

На ринге

В кольце может случиться так, что некоторые ненулевые элементы удовлетворяют некоторому целому числу n . Такой элемент называется нильпотентным . В коммутативном кольце нильпотентные элементы образуют идеал , называемый нильрадикалом кольца. ${\displaystyle x^{n}=0}$

Если нильрадикал сведен к нулевому идеалу (т. е. если имплицируется для каждого натурального числа n ), то коммутативное кольцо называется приведенным . Приведенные кольца важны в алгебраической геометрии , поскольку координатное кольцо аффинного алгебраического множества всегда является приведенным кольцом. ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{n}\neq 0}$

В более общем смысле, если задан идеал I в коммутативном кольце R , набор элементов R , имеющих степень в I , является идеалом, называемым радикалом I. Нильрадикал – это радикал нулевого идеала . Радикальный идеал — это идеал, равный своему собственному радикалу. В кольце полиномов над полем k идеал радикален тогда и только тогда, когда он представляет собой набор всех многочленов, равных нулю на аффинном алгебраическом множестве (это следствие Nullstellensatz Гильберта ). ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Матрицы и линейные операторы

Если A — квадратная матрица, то произведение A на саму себя n раз называется степенью матрицы . Также определяется как единичная матрица, ^[34] и если A обратима, то . ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$

Степени матрицы часто появляются в контексте дискретных динамических систем , где матрица A выражает переход от вектора состояния x некоторой системы к следующему состоянию Ax системы. ^[35] Это, например, стандартная интерпретация цепи Маркова . Затем — состояние системы после двух временных шагов и т. д. — состояние системы после n временных шагов. Мощность матрицы — это матрица перехода между состоянием сейчас и состоянием в момент времени n шагов в будущем. Таким образом, вычисление степеней матрицы эквивалентно решению эволюции динамической системы. Во многих случаях степени матрицы целесообразно вычислять с помощью собственных значений и собственных векторов . ${\displaystyle A^{2}x}$ ${\displaystyle A^{n}x}$ ${\displaystyle A^{n}}$

Помимо матриц, можно возводить в степень и более общие линейные операторы . Примером может служить производный оператор исчисления, который представляет собой линейный оператор, действующий на функции и дающий новую функцию . n - я степень оператора дифференцирования представляет собой n- ю производную: ${\displaystyle d/dx}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

Эти примеры относятся к дискретным показателям линейных операторов, но во многих случаях желательно также определять степени таких операторов с непрерывными показателями. Это отправная точка математической теории полугрупп . ^[36] Точно так же, как вычисление степеней матрицы с дискретными показателями решает дискретные динамические системы, так же вычисление степеней матрицы с непрерывными показателями решает системы с непрерывной динамикой. Примеры включают подходы к решению уравнения теплопроводности , уравнения Шредингера , волнового уравнения и других уравнений в частных производных, включая эволюцию во времени. Частный случай возведения оператора производной в степень в нецелую степень называется дробной производной , которая вместе с дробным интегралом является одной из основных операций дробного исчисления .

Конечные поля

Поле — это алгебраическая структура, в которой определены операции умножения, сложения, вычитания и деления и которые удовлетворяют свойствам ассоциативности умножения и тому , что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент . Это означает, что возведение в степень с целыми показателями четко определено, за исключением неположительных степеней 0 . Типичными примерами являются поля комплексных чисел , действительные числа и рациональные числа , рассмотренные ранее в этой статье, которые бесконечны .

Конечное поле — это поле с конечным числом элементов. Это количество элементов является либо простым числом , либо степенью простого числа ; то есть оно имеет форму, где p — простое число, а k — целое положительное число. Для каждого такого q существуют поля с q элементами. Все поля с q элементами изоморфны , что позволяет, в общем, работать так, как если бы существовало только одно поле с q элементами, обозначаемое ${\displaystyle q=p^{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$

Надо

${\displaystyle x^{q}=x}$

для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}$

Примитивный элемент в - это элемент g, такой, что набор q - 1 первых степеней g (то есть ) равен набору ненулевых элементов в. Есть примитивные элементы в где - функция Эйлера . ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$ ${\displaystyle \varphi (p-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle \varphi }$

В личности мечты первокурсника ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

верно для показателя p . Как и в разделе Отсюда следует, что карта ${\displaystyle x^{p}=x}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}}$

линейно над и является полевым автоморфизмом , называемым автоморфизмом Фробениуса . Если поле имеет k автоморфизмов, которые являются k первыми степенями (при композиции ) F . Другими словами, группа Галуа циклическая порядка k , порожденная автоморфизмом Фробениуса. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle q=p^{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Обмен ключами Диффи-Хеллмана — это применение возведения в степень в конечных полях, которое широко используется для безопасной связи . Он использует тот факт, что возведение в степень требует недорогих вычислений, тогда как обратная операция, дискретный логарифм , требует больших вычислительных затрат. Точнее, если g является примитивным элементом в, то его можно эффективно вычислить с возведением в степень возведением в степень для любого e , даже если q велико, хотя не существует известного практического вычислительного алгоритма, который позволял бы получить e из того , если q достаточно велико. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle g^{e}}$ ${\displaystyle g^{e}}$

Полномочия множеств

Декартово произведение двух наборов S и T представляет собой набор упорядоченных пар таких, что и Эта операция не является ни коммутативной , ни ассоциативной , но обладает этими свойствами с точностью до канонических изоморфизмов , которые позволяют идентифицировать, например, и ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y\in T.}$ ${\displaystyle (x,(y,z)),}$ ${\displaystyle ((x,y),z),}$ ${\displaystyle (x,y,z).}$

Это позволяет определить n- ю степень набора S как набор всех n - кортежей элементов S. ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Когда S наделен некоторой структурой, он часто естественным образом наделен аналогичной структурой. В этом случае термин « прямое произведение » обычно используется вместо «декартово произведение», а возведение в степень обозначает структуру произведения. Например (где обозначает действительные числа) обозначает декартово произведение n копий, а также их прямое произведение в виде векторного пространства , топологического пространства , колец и т. д. ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Устанавливается как показатели

Кортеж из n элементов S можно рассматривать как функцию от Это обобщается до следующих обозначений. ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}.}$

Учитывая два набора S и T , обозначается множество всех функций от T до S. Это экспоненциальное обозначение оправдано следующими каноническими изоморфизмами (первый из них см. Карринг ): ${\displaystyle S^{T}}$

${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},}$

${\displaystyle S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},}$

где обозначает декартово произведение и непересекающееся объединение . ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \sqcup }$

Можно использовать множества в качестве показателей для других операций над множествами, обычно для прямых сумм абелевых групп , векторных пространств или модулей . Чтобы отличить прямые суммы от прямых произведений, показатель прямой суммы ставится в круглые скобки. Например, обозначает векторное пространство бесконечных последовательностей действительных чисел и векторное пространство тех последовательностей, которые имеют конечное число ненулевых элементов. Последний имеет базис , состоящий из последовательностей ровно с одним ненулевым элементом, равным 1 , тогда как базисы Гамеля первого не могут быть явно описаны (поскольку их существование предполагает лемму Цорна ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}}$

В этом контексте 2 может представлять набор So, обозначает набор степеней S , то есть набор функций из S , которые можно идентифицировать с набором подмножеств S , отображая каждую функцию в обратный образ 1 . ${\displaystyle \{0,1\}.}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\},}$

Это согласуется с возведением в степень кардинальных чисел в том смысле, что | С ^Т | = | С | ^{| Т |} , где | Х | является мощностью X .

В теории категорий

В категории множеств морфизмы между множествами X и Y представляют собой функции из X в Y. В результате множество функций от X до Y , обозначенное в предыдущем разделе, также можно обозначить. Изоморфизм можно переписать ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle \hom(X,Y).}$ ${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U}}$

${\displaystyle \hom(U,S^{T})\cong \hom(T\times U,S).}$

Это означает, что функтор «возведение в степень Т  » является правосопряженным к функтору «прямое произведение на Т  ».

Это обобщается до определения возведения в степень в категории , в которой существуют конечные прямые произведения : в такой категории функтор , если он существует, является правосопряженным к функтору. Категория называется декартовой замкнутой категорией , если существуют прямые произведения, и функтор имеет правый сопряженный для каждого T . ${\displaystyle X\to X^{T}}$ ${\displaystyle Y\to T\times Y.}$ ${\displaystyle Y\to X\times Y}$

Повторное возведение в степень

Так же, как возведение в степень натуральных чисел обусловлено повторным умножением, можно определить операцию, основанную на повторном возведении в степень; эту операцию иногда называют гипер-4 или тетрацией . Итерация тетрации приводит к другой операции и так далее, концепции, называемой гипероперацией . Эта последовательность операций выражается функцией Аккермана и обозначением стрелки вверх Кнута . Точно так же, как возведение в степень растет быстрее, чем умножение, которое растет быстрее, чем сложение, так и тетрация растет быстрее, чем возведение в степень. При оценке (3, 3) функции сложения, умножения, возведения в степень и тетрации дают 6, 9, 27 и7 625 597 484 987 ( =3 ²⁷ = 3 ^{3 3} = ³ 3 ) соответственно.

Пределы полномочий

Ноль в нулевой степени дает ряд примеров пределов неопределенного вида 0 ⁰ . Пределы в этих примерах существуют, но имеют разные значения, показывая, что функция двух переменных x ^y не имеет предела в точке (0, 0) . Можно рассмотреть, в каких точках эта функция имеет предел.

Точнее, рассмотрим функцию , определенную на . Тогда D можно рассматривать как подмножество R ² (то есть набор всех пар ( x , y ) с x , y , принадлежащими расширенной прямой действительных чисел R = [−∞, +∞] , наделенной произведением топология ), которая будет содержать точки, в которых функция f имеет предел. ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x>0\}}$

Фактически, f имеет предел во всех точках накопления D , кроме (0, 0) , (+∞, 0) , (1, +∞) и (1, −∞) . ^[37] Соответственно, это позволяет определить степени x ^y по непрерывности всякий раз, когда 0 ≤ x ≤ +∞ , −∞ ≤ y ≤ +∞ , за исключением 0 ⁰ , (+∞) ⁰ , 1 ^+∞ и 1 ^−∞. , которые остаются неопределенными формами.

При этом определении по непрерывности получаем:

• x ^+∞ = +∞ и x ^−∞ = 0 , когда 1 < x ≤ +∞ .
• x ^+∞ = 0 и x ^−∞ = +∞ , когда 0 ≤ x < 1 .
• 0 ^y = 0 и (+∞) ^y = +∞ , когда 0 < y ≤ +∞ .
• 0 ^y = +∞ и (+∞) ^y = 0 , когда −∞ ≤ y < 0 .

Эти степени получаются путем установления пределов x ^y для положительных значений x . Этот метод не позволяет определить x ^y , когда x < 0 , поскольку пары ( x , y ) с x < 0 не являются точками накопления D.

С другой стороны, когда n является целым числом, степень x ⁿ уже имеет смысл для всех значений x , включая отрицательные. Это может сделать определение 0 ⁿ = +∞ , полученное выше для отрицательного n, проблематичным, когда n нечетно, поскольку в этом случае x ⁿ → +∞ , поскольку x стремится к 0 через положительные значения, но не через отрицательные.

Эффективные вычисления с целочисленными показателями

Вычисление bn с ^{использованием} итерационного умножения требует n - 1 операций умножения, но его можно вычислить более эффективно, как показано в следующем примере. Чтобы вычислить 2 ¹⁰⁰ , примените правило Хорнера к показателю степени 100, записанному в двоичном формате:

${\displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))}$.

Затем вычислите следующие члены по порядку, читая правило Горнера справа налево.

Для этой серии шагов требуется всего 8 умножений вместо 99.

В общем, количество операций умножения, необходимых для вычисления bn ^, можно уменьшить с помощью возведения в степень путем возведения в квадрат , где обозначает количество единиц в двоичном представлении n . Для некоторых показателей степени (100 в их число не входит) количество умножений можно дополнительно уменьшить путем вычисления и использования минимального возведения в степень цепочки сложения . Нахождение минимальной последовательности умножений (цепочки сложения минимальной длины для показателя степени) для ^bn — сложная задача, для которой в настоящее время не известны эффективные алгоритмы (см. Проблема суммы подмножества ), но доступно множество достаточно эффективных эвристических алгоритмов. ^[38] Однако в практических вычислениях возведение в степень возведением в квадрат достаточно эффективно, и его гораздо проще реализовать. ${\displaystyle \sharp n+\lfloor \log _{2}n\rfloor -1,}$ ${\displaystyle \sharp n}$

Итерированные функции

Композиция функций — это бинарная операция , определенная для функций таким образом, что кодомен функции, написанной справа, включается в область определения функции, написанной слева. Его обозначают и определяют как ${\displaystyle g\circ f,}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

для каждого x в области f .

Если область определения функции f равна ее кодомену, можно составлять функцию сама с собой произвольное количество раз, и это определяет n -ю степень компонуемой функции, обычно называемую n- й итерацией функции. Таким образом обычно обозначает n- ю итерацию f ; например, означает ^[39] ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{3}(x)}$ ${\displaystyle f(f(f(x))).}$

Когда умножение определено в кодомене функции, это определяет умножение на функции, поточечное умножение , которое вызывает другое возведение в степень. При использовании функциональной записи два вида возведения в степень обычно различаются путем помещения показателя функциональной итерации перед круглыми скобками, заключающими аргументы функции, и помещения показателя поточечного умножения после круглых скобок. Таким образом , и Когда функциональная нотация не используется, устранение неоднозначности часто достигается путем помещения символа композиции перед показателем степени; например и По историческим причинам показатель степени повторяющегося умножения помещается перед аргументом некоторых конкретных функций, обычно тригонометрических функций . Так что, и то и другое означает и не то , что, во всяком случае, редко учитывается. Исторически сложилось так, что разные авторы использовали несколько вариантов этих обозначений. ^{[40] [41] [42]} ${\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),}$ ${\displaystyle f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).}$ ${\displaystyle f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,}$ ${\displaystyle f^{3}=f\cdot f\cdot f.}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$ ${\displaystyle \sin(\sin(x)),}$

В этом контексте показатель степени всегда обозначает обратную функцию , если она существует. Итак, для мультипликативных обратных дробей обычно используются, как в ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.}$ ${\displaystyle 1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.}$

В языках программирования

Языки программирования обычно выражают возведение в степень либо как инфиксный оператор , либо как приложение функции, поскольку они не поддерживают верхние индексы. Наиболее распространенным символом оператора возведения в степень является каретка ( ^). Первоначальная версия ASCII включала символ стрелки вверх ( ↑), предназначенный для возведения в степень, но в 1967 году он был заменен знаком вставки , поэтому знак вставки стал обычным явлением в языках программирования. ^[43] Обозначения включают:

• x ^ y: AWK , BASIC , J , MATLAB , Wolfram Language ( Mathematica ), R , Microsoft Excel , Analytica , TeX (и его производные), TI-BASIC , bc (для целочисленных показателей), Haskell (для неотрицательных целочисленных показателей), Lua , и большинство систем компьютерной алгебры .
• x ** y. Набор символов Фортрана не включал символы нижнего регистра или знаки препинания, кроме и, таким образом ,+-*/()&=.,' используемых **для возведения в степень ^{[44] [45]} (вместо этого использовалась первоначальная версия a xx b. ^[46] ). Многие другие языки последовали этому примеру: Ada , Z Shell , KornShell , Bash , COBOL , CoffeeScript , Fortran , FoxPro , Gnuplot , Groovy , JavaScript , OCaml , F# , Perl , PHP , PL/I , Python , Rexx , Ruby , SAS , Seed7 . , Tcl , ABAP , Mercury , Haskell (для показателей с плавающей запятой), Turing и VHDL .
• x ↑ y: Алгол Справочный язык , Commodore BASIC , TRS-80 Level II/III BASIC . ^{[47] [48]}
• x ^^ y: Haskell (для дробной базы, целых показателей), D .
• x⋆y: АПЛ .

В большинстве языков программирования с инфиксным оператором возведения в степень он правоассоциативен , то есть a^b^cинтерпретируется как a^(b^c). ^[49] Это потому, (a^b)^cчто равно a^(b*c)и, следовательно, не так полезно. В некоторых языках он левоассоциативен, особенно в Algol , Matlab и языке формул Microsoft Excel .

Другие языки программирования используют функциональную нотацию:

• (expt x y): Общий Лисп .
• pown x y: F# (для целочисленной базы и целочисленной экспоненты).

Третьи обеспечивают возведение в степень только как часть стандартных библиотек :

• pow(x, y): C , C++ (в mathбиблиотеке).
• Math.Pow(x, y): С# .
• math:pow(X, Y): Эрланг .
• Math.pow(x, y): Джава .
• [Math]::Pow(x, y): PowerShell .

В некоторых статически типизированных языках, которые отдают приоритет безопасности типов, таких как Rust , возведение в степень выполняется с помощью множества методов:

• x.pow(y)для xи yкак целые числа
• x.powf(y)для xи yкак числа с плавающей запятой
• x.powi(y)для xчисла с плавающей запятой и yцелого числа

Смотрите также

• Математический портал

• Двойная экспоненциальная функция
• Экспоненциальный распад
• Экспоненциальное поле
• Экспоненциальный рост
• Гипероперация
• Список экспоненциальных тем
• Модульное возведение в степень
• Научная нотация
• Тетрация
• Нижние и верхние индексы Юникода
• х ^у = у ^х
• Ноль в степени нуля

Примечания

1. Существует три распространенных обозначения умножения : чаще всего используется для явных чисел и на очень элементарном уровне; наиболее распространен при использовании переменных ; используется, чтобы подчеркнуть, что речь идет об умножении, или когда пропуск знака умножения может сбить с толку. ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x\cdot y}$
2. В более общем смысле, для определения достаточно степенной ассоциативности .

Рекомендации

1. Nykamp, ​​Дуэйн. «Основные правила возведения в степень». Математическое понимание . Проверено 27 августа 2020 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Власть». Математический мир . Проверено 27 августа 2020 г.
3. "Экспонента | Этимология экспоненты по этимонлине" .
4. Ротман, Джозеф Дж. (2015). Продвинутая современная алгебра, часть 1 . Аспирантура по математике . Том. 165 (3-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 130, сн. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9.
5. Сабо, Арпад (1978). Начало греческой математики. Синтезирующая историческая библиотека. Том. 17. Перевод А. М. Унгара. Дордрехт: Д. Рейдель . п. 37. ИСБН 90-277-0819-3.
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Этимология некоторых распространенных математических терминов», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
7. Болл, WW Роуз (1915). Краткий обзор истории математики (6-е изд.). Лондон: Макмиллан . п. 38.
8. Архимед. (2009). ПЕСОЧНИК. В Т. Хите (ред.), «Работы Архимеда: отредактированные в современных обозначениях с вводными главами» (Собрание Кембриджской библиотеки – Математика, стр. 229–232). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. doi:10.1017/CBO9780511695124.017
9. Куинион, Майкл . «Зензизензизензик». Всемирные слова . Проверено 16 апреля 2020 г.
10. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абул Хасан ибн Али аль Каласади», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
11. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений. Том. 1. Компания «Открытый суд». п. 102.
12. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений. Том. 1. Лондон: Издательство Open Court . п. 344.
13. Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов
14. Стифель, Майкл (1544). Интегральная арифметика. Нюрнберг: Йоханнес Петрейус . п. 235В.
15. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений. Том. 1. Компания «Открытый суд». п. 204.
16. Декарт, Рене (1637). « Геометрия ». Дискурс о методе [...]. Лейден: Ян Мэр. п. 299. Et aa , ou a ² , pour multiplier a par soy mesme; И 3 ^, для множителя на бис , и снова для бесконечности.(И aa или a ² , чтобы умножить a на себя; и 3 ^, чтобы еще раз умножить его на a , и, таким образом, до бесконечности).
17. Самое последнее использование в этом смысле, на которое ссылается OED, относится к 1806 году ( «инволюция» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующей организации.) ).
18. Эйлер, Леонард (1748). Introductio in analysin infinitorum (на латыни). Том. I. Лозанна: Марк-Мишель Буске. стр. 69, 98–99. Primum ergo thinkandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi количественно оценивает объявление Functiones алгебраические ссылки, не принадлежащие, включая его Expentes non nisi Constantes locum habeant.
19. Ходж, Джонатан К.; Шликер, Стивен; Сандсторм, Тед (2014). Абстрактная алгебра: исследовательский подход. ЦРК Пресс. п. 94. ИСБН 978-1-4665-6706-1.
20. Ахац, Томас (2005). Технический цех Математика (3-е изд.). Промышленная пресса. п. 101. ИСБН 978-0-8311-3086-2.
21. Бронштейн, Илья Николаевич ; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. «2.4.1.1. Определение арифметических выражений». Написано в Лейпциге, Германия. В Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik [ Карманный справочник по математике ] (на немецком языке). Том. 1. Перевод Циглера Виктора. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун, Швейцария / Франкфурт-на-Майне, Германия: Verlag Harri Deutsch (и BG Teubner Verlagsgesellschaft , Лейпциг). стр. 115–120, 802. ISBN. 3-87144-492-8.
22. Олвер, Фрэнк WJ; Лозье, Дэниел В.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Национальный институт стандартов и технологий (NIST), Министерство торговли США , Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19225-5. МР  2723248.[1]
23. Зейдлер, Эберхард [на немецком языке] ; Шварц, Ганс Рудольф; Хакбуш, Вольфганг ; Людерер, Бернд [на немецком языке] ; Блат, Йохен; Шид, Александр; Демпе, Стефан; Ванка, Герт ; Хромкович, Юрай ; Готвальд, Зигфрид (2013) [2012]. Зейдлер, Эберхард [на немецком языке] (ред.). Springer-Handbuch der Mathematik I (на немецком языке). Том. Я (1-е изд.). Берлин/Гейдельберг, Германия: Springer Spektrum , Springer Fachmedien Wiesbaden . п. 590. ИСБН 978-3-658-00284-8.(xii+635 страниц)
24. Хасс, Джоэл Р.; Хайль, Кристофер Э.; Вейр, Морис Д.; Томас, Джордж Б. (2018). Исчисление Томаса (14 изд.). Пирсон. стр. 7–8. ISBN 9780134439020.
25. Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2012). Исчисление: ранние трансценденталисты (9-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 28. ISBN 9780470647691.
26. Денлингер, Чарльз Г. (2011). Элементы реального анализа . Джонс и Бартлетт. стр. 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
27. Тао, Теренс (2016). «Пределы последовательностей». Анализ И. Тексты и чтения по математике. Том. 37. С. 126–154. дои : 10.1007/978-981-10-1789-6_6. ISBN 978-981-10-1789-6.
28. Кормен, Томас Х.; Лейзерсон, Чарльз Э.; Ривест, Рональд Л.; Штейн, Клиффорд (2001). Введение в алгоритмы (второе изд.). МТИ Пресс . ISBN 978-0-262-03293-3.Интернет-ресурс. Архивировано 30 сентября 2007 г. на Wayback Machine.
29. Калл, Пол; Флахайв, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу ( Тексты для студентов по математике  под ред.). Спрингер. ISBN 978-0-387-23234-8.Определено на стр. 351
30. Вайсштейн, Эрик В. «Основной корень единства». Математический мир .
31. Штайнер, Дж.; Клаузен, Т.; Абель, Нильс Хенрик (1827). «Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen» [Проблемы и предложения: первые нужно решить, потом доказать]. Журнал для королевы и математики . 2 : 286–287.
32. Бурбаки, Николя (1970). Алгебра . Спрингер., I.2
33. Блум, Дэвид М. (1979). Линейная алгебра и геометрия . Издательство Кембриджского университета. п. 45. ИСБН 978-0-521-29324-2.
34. Глава 1, Элементарная линейная алгебра, 8E, Говард Антон
35. Стрэнг, Гилберт (1988), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Брукс-Коул, Глава 5.
36. Э. Хилле, Р.С. Филлипс: Функциональный анализ и полугруппы . Американское математическое общество, 1975.
37. Николя Бурбаки, Общая топология , V.4.2.
38. Гордон, DM (1998). «Обзор методов быстрого возведения в степень» (PDF) . Журнал алгоритмов . 27 : 129–146. CiteSeerX 10.1.1.17.7076 . дои : 10.1006/jagm.1997.0913. 
39. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
40. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Г. и У. Николом, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. дои : 10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR  107384. S2CID  118124706.
41. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продано компанией J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 августа 2020 г.[2] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более старую работу Ганса Генриха Бюрмана .)
42. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений. Том. 2 (3-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN . 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 г.
43. Ричард Гиллам, Демистифицированный Юникод: Практическое руководство программиста по стандарту кодирования , 2003, ISBN 0201700522 , стр. 33 
44. Бэкус, Джон Уорнер ; Бибер, Р.Дж.; Бест, Шелдон Ф.; Гольдберг, Ричард ; Херрик, Харлан Л.; Хьюз, РА; Митчелл, LB; Нельсон, Роберт А.; Натт, Рой ; Сэйр, Дэвид ; Шеридан, Питер Б.; Стерн, Гарольд; Зиллер, Ирвинг (15 октября 1956 г.). Сэйр, Дэвид (ред.). Система автоматического кодирования FORTRAN для IBM 704 EDPM: Справочное руководство программиста (PDF) . Нью-Йорк, США: Отдел прикладных наук и отдел исследований в области программирования, International Business Machines Corporation . п. 15. Архивировано (PDF) из оригинала 4 июля 2022 г. Проверено 4 июля 2022 г.(2+51+1 стр.)
45. Брайс Карнахан, Джеймс О. Уилкс, Введение в цифровые вычисления и FORTRAN IV с приложениями MTS , 1968, стр. 2-2, 2-6
46. Бэкус, Джон Уорнер ; Херрик, Харлан Л.; Нельсон, Роберт А.; Зиллер, Ирвинг (10 ноября 1954 г.). Бэкус, Джон Уорнер (ред.). Спецификации для: Система перевода математических формул IBM, FORTRAN (PDF) (предварительный отчет). Нью-Йорк, США: Группа исследования программирования, Отдел прикладных наук, Международная корпорация Business Machines . стр. 4, 6. Архивировано (PDF) из оригинала 29 марта 2022 г. Проверено 4 июля 2022 г.(29 страниц)
47. Данелюк, Тимоти «Тим» А. (1982-08-09). «BASCOM - БЕЙСИК-компилятор для TRS-80 I и II». Инфомир . Обзоры программного обеспечения. Том. 4, нет. 31. Popular Computing, Inc., стр. 41–42. Архивировано из оригинала 07 февраля 2020 г. Проверено 6 февраля 2020 г.
48. «Содержание 80». 80 микро . 1001001, Inc. (45): 5 октября 1983 г. ISSN  0744-7868 . Проверено 6 февраля 2020 г.
49. Роберт В. Себеста, Концепции языков программирования , 2010, ISBN 0136073476 , стр. 130, 324