Тетрация

Арифметическая операция

Окраска области голоморфной тетрации , где оттенок представляет аргумент функции , а яркость представляет величину. ${\displaystyle {}^{z}e}$

${\displaystyle {}^{n}x}$, для n = 2, 3, 4, ... , демонстрирующий сходимость к бесконечно повторяемой экспоненте между двумя точками

В математике тетрация (или гипер-4 ) — это операция , основанная на итерированном или многократном возведении в степень . Однако для тетрации не существует стандартного обозначения , и левый показатель ^x b является общим. ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

Под определением повторного возведения в степень означает , где n копий a повторяются посредством возведения в степень справа налево, т.е. с применением времени возведения в степень. n называется «высотой» функции, а a — «базой», аналогично возведению в степень. Это можно было бы прочитать как « энная тетрация » . ${\displaystyle {^{n}a}}$ ${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$ ${\displaystyle n-1}$

Это следующая гипероперация после возведения в степень , но перед пентацией . Слово было придумано Рубеном Луи Гудштейном из тетра- (четыре) и итерации .

Тетрация также определяется рекурсивно как

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{if }}n>0,\end{cases}}}$

позволяя предпринимать попытки распространить тетрацию на ненатуральные числа, такие как действительные и комплексные числа .

Две обратные тетрации называются суперкорнем и суперлогарифмом , аналогично корню n-й степени и логарифмическим функциям. Ни одна из трех функций не является элементарной .

Тетрация используется для обозначения очень больших чисел .

Введение

Здесь показаны первые четыре гипероперации , причем тетрация считается четвертой в серии. Последовательность унарных операций , определяемая как , считается нулевой операцией. ${\displaystyle a'=a+1}$

1. Добавление
   $${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
   n экземпляров по 1 добавлены к объединенному последовательно.
2. Умножение
   $${\displaystyle n\times a=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
   n экземпляров объединяются путем сложения.
3. Возведение в степень
   $${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
   n экземпляров объединяются путем умножения.
4. Тетрация
   $${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$$
   n копий объединяются возведением в степень справа налево.

Обратите внимание, что вложенные показатели традиционно интерпретируются сверху вниз: означает , а не ${\displaystyle 3^{5^{7}}}$ ${\displaystyle 3^{\left(5^{7}\right)}}$ ${\displaystyle \left(3^{5}\right)^{7}.}$

Последовательность — самая основная операция; хотя сложение ( ) является основной операцией, для сложения натуральных чисел его можно рассматривать как цепную последовательность последователей ; умножение ( ) также является основной операцией, хотя для натуральных чисел его можно аналогично рассматривать как цепное сложение, включающее числа . Возведение в степень можно рассматривать как цепное умножение, включающее числа, а тетрацию ( ) как цепную степень, включающую числа . Каждая из вышеперечисленных операций определяется путем итерации предыдущей; ^[1] однако, в отличие от предыдущих операций, тетратирование не является элементарной функцией . ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$ ${\displaystyle a+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ^{n}a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

Параметр называется основанием , а параметр может называться высотой . В исходном определении тетрации параметр высоты должен быть натуральным числом; например, было бы нелогично сказать: «три возвели на себя отрицательно пять раз» или «четыре возвели на себя половину времени». Однако так же, как сложение, умножение и возведение в степень можно определить способами, допускающими расширение действительных и комплексных чисел, было предпринято несколько попыток обобщить тетрацию на отрицательные числа, действительные числа и комплексные числа. Один из таких способов сделать это — использовать рекурсивное определение тетрации; для любого положительного действительного и неотрицательного целого числа мы можем определить рекурсивно как: ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

Рекурсивное определение эквивалентно многократному возведению в степень натуральной высоты; однако это определение допускает расширения на другие высоты, такие как , , а также - многие из этих расширений являются областями активных исследований. ${\displaystyle ^{0}a}$ ${\displaystyle ^{-1}a}$ ${\displaystyle ^{i}a}$

Терминология

Существует множество терминов для обозначения тетрации, каждый из которых имеет определенную логику, но некоторые из них по той или иной причине не стали широко использоваться. Вот сравнение каждого термина с его обоснованием и контробоснованием.

• Термин «тетрация» , введенный Гудстейном в его статье 1947 года «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел» ^[2] (обобщающий рекурсивное базовое представление, используемое в теореме Гудстейна, для использования более высоких операций), получил доминирование. Оно также было популяризировано в книге Руди Ракера «Бесконечность и разум» .
• Термин «супервозведение в степень» был опубликован Бромером в его статье «Супервозведение в степень» в 1987 году. ^[3] Ранее он использовался Эдом Нельсоном в его книге «Предикативная арифметика», Princeton University Press, 1986.
• Термин «гиперсила» ^[4] представляет собой естественную комбинацию слов «гипер» и «сила» , которая удачно описывает тетратацию. Проблема заключается в значении слова «гипер» по отношению к последовательности гиперопераций . При рассмотрении гиперопераций термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин « супер» относится к 4-му рангу или тетрации. Таким образом, с учетом этих соображений гиперсила вводит в заблуждение, поскольку речь идет только о тетрации.
• Иногда используется термин « энергетическая башня» ^[5] в форме «энергетическая башня порядка n » для . Возведение в степень легко неверно истолковать: обратите внимание, что операция возведения в степень правоассоциативна (см. ниже). Тетрация — это повторяющееся возведение в степень (назовем эту правоассоциативную операцию ^), начиная с верхней правой части выражения с экземпляра a^a (назовем это значение c). Возведение в степень следующего левого a (назовем это «следующим основанием» b) означает работу влево после получения нового значения b^c. Двигаясь влево, используйте следующий a слева как базовый b и оцените новый b^c. «Спуститься вниз по башне» по очереди, с новым большим значением c на следующем шаге вниз. ${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}$

Частично из-за некоторой общей терминологии и схожей символики обозначений тетрацию часто путают с тесно связанными функциями и выражениями. Вот несколько связанных терминов:

В первых двух выражениях a — это основание , а количество раз, когда a появляется, — это высота (добавьте единицу вместо x ). В третьем выражении n — высота , но основания у всех разные.

Необходимо соблюдать осторожность при обращении к повторяющимся экспонентам, поскольку выражения этой формы принято называть повторным возведением в степень, что является неоднозначным, поскольку это может означать либо повторяющиеся степени , либо повторяющиеся экспоненты .

Обозначения

Существует множество различных стилей обозначений, которые можно использовать для выражения тетрации. Некоторые обозначения также можно использовать для описания других гиперопераций , тогда как некоторые ограничиваются тетрацией и не имеют непосредственного расширения.

В одном из приведенных выше обозначений используется итеративная экспоненциальная запись; в целом это определяется следующим образом:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$с н а с.

Обозначений для повторяющихся экспонент не так много, но вот некоторые из них:

Примеры

Из-за чрезвычайно быстрого роста тетрации большинство значений в следующей таблице слишком велики, чтобы их можно было записать в экспоненциальном формате. В этих случаях для выражения их в десятичной системе используется итерированная экспоненциальная запись. Значения, содержащие десятичную точку, являются приблизительными.

Замечание: Если х не отличается от 10 на порядки, то для всех . Например, в приведенной выше таблице разница еще меньше для следующих строк. ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$ ${\displaystyle z-z'\approx 2\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

Характеристики

Тетрация имеет несколько свойств, сходных с возведением в степень, а также свойств, специфичных для операции и теряющихся или приобретаемых в результате возведения в степень (например, постоянство скорости ее сравнения , ^[10] характеризующее каждое основание тетрации , не кратное гиперпоказательной степени которого больше или равно , где указано в определении 2.1 ссылки ^[11] ). Поскольку возведение в степень не коммутирует , правила произведения и степени не имеют аналога с тетрацией; утверждения и не верны в большинстве случаев. ^[12] ${\displaystyle a\in \mathbb {N} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}(a)+2}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}(a)}$ ${\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)}$ ${\textstyle {}^{a}\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y}$

Однако тетрация имеет другое свойство : . Этот факт наиболее наглядно проявляется при использовании рекурсивного определения. Из этого свойства следует доказательство того , что , что позволяет переключать b и c в некоторых уравнениях. Доказательство выглядит следующим образом: ${\textstyle {}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}}$ ${\displaystyle \left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}=\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}$

Когда числа x и 10 являются взаимно простыми , можно вычислить последние m десятичных цифр, используя теорему Эйлера , для любого целого числа m . Это справедливо и для других систем счисления: например, последние m восьмеричных цифр можно вычислить, если x и 8 взаимно простые. ${\displaystyle \,\!\ ^{a}x}$ ${\displaystyle \,\!\ ^{a}x}$

Направление оценки

При оценке тетрации, выраженной как «башня возведения в степень», последовательное возведение в степень сначала выполняется на самом глубоком уровне (в обозначениях, на вершине). Например:

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}$

Этот порядок важен, поскольку возведение в степень не является ассоциативным , и вычисление выражения в обратном порядке приведет к другому ответу:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=4^{2\cdot 2}=256}$

Вычисление выражения слева направо считается менее интересным; вычисляя слева направо, любое выражение можно упростить до . ^[13] Из-за этого башни необходимо оценивать справа налево (или сверху вниз). Программисты называют этот выбор правоассоциативным . ${\displaystyle ^{n}a\!}$ ${\displaystyle a^{\left(a^{n-1}\right)}\!\!}$

Повторная тетрация

Используя обозначение со стрелкой вверх, его также можно записать как . Для тетрации также равно 4 или . ${\displaystyle ^{4}2}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle ^{2}2}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2=4}$

${\displaystyle ^{4}2}$таким образом, можно записать как или . ${\displaystyle ^{^{2}2}2}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)}$

Эту повторяющуюся тетрацию также можно представить как (известную как пентация ). ${\displaystyle 2[5]3}$

Обратите внимание, что для следующего уровня тетрации используется следующий порядок оценки:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow {\underline {2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)}}=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 65536=^{65536}2=2^{2^{^{2...(65536\;times)}}}}$

(Это число также обозначается как ). ${\displaystyle 2[5]4}$

Тогда как оценка в другом направлении дает: ${\displaystyle {\underline {(2\uparrow \uparrow 2)\uparrow \uparrow 2}}\uparrow \uparrow 2}$

Первый, ${\displaystyle (2\uparrow \uparrow 2)\uparrow \uparrow 2=4\uparrow \uparrow 2=4^{4}=256}$

и , что значительно меньше . ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 2=256^{256}=2^{2048}\approx 3.23\times 10^{616}}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536}$

Расширения

Тетрацию можно расширить двумя разными способами; в уравнении и основание a , и высоту n можно обобщить, используя определение и свойства тетрации. Хотя основание и высота могут быть расширены за пределы неотрицательных целых чисел на различные области , включая сложные функции, такие как и высоты бесконечного n , более ограниченные свойства тетрации уменьшают возможность расширения тетрации. ${\displaystyle ^{n}a\!}$ ${\displaystyle {^{n}0}}$ ${\displaystyle {}^{n}i}$

Продление домена для баз

Базовый ноль

Экспонента не определена последовательно. Таким образом, тетратации не определяются четко формулой, приведенной ранее. Однако он четко определен и существует: ^[14] ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle \,{^{n}0}}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Таким образом, мы могли последовательно определить . Это аналогично определению . ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$

При этом расширении правило из исходного определения все еще остается в силе. ${\displaystyle {}^{0}0=1}$ ${\displaystyle {^{0}a}=1}$

Сложные базы

Тетрация по периоду

Тетрация побегом

Поскольку комплексные числа можно возводить в степени, тетрацию можно применять к основаниям вида z = a + bi (где a и b вещественные). Например, в ⁿ z с z = i тетрация достигается за счет использования главной ветви натурального логарифма; используя формулу Эйлера, получаем соотношение:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

Это предполагает рекурсивное определение для ^{n +1} i = a′ + b′i при любом ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

Можно получить следующие приблизительные значения:

Решение обратного соотношения, как и в предыдущем разделе, дает ожидаемые ⁰ i = 1 и ⁻¹ i = 0 , а отрицательные значения n дают бесконечные результаты на мнимой оси. На комплексной плоскости вся последовательность движется по спирали до предела 0,4383 + 0,3606 i , что можно интерпретировать как значение, при котором n бесконечно.

Такие последовательности тетрации изучаются со времен Эйлера, но мало изучены из-за их хаотичного поведения. Большинство опубликованных исследований исторически были сосредоточены на сходимости бесконечно повторяемой экспоненциальной функции. Текущим исследованиям во многом способствовало появление мощных компьютеров с программным обеспечением для фрактальной и символьной математики. Многое из того, что известно о тетрации, основано на общих знаниях о сложной динамике и конкретных исследованиях экспоненциальной карты. ^{[ нужна цитата ]}

Расширения домена на разную высоту

Бесконечные высоты

${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$бесконечно повторяемой экспоненты сходится для базисов ${\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}}$

Функция на комплексной плоскости, показывающая действительную бесконечно повторяемую экспоненциальную функцию (черная кривая) ${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

Тетрацию можно расширить до бесконечных высот; т.е. для определенных значений a и n в существует четко определенный результат для бесконечного n . Это связано с тем, что для оснований внутри определенного интервала тетрация сходится к конечному значению при стремлении высоты к бесконечности . Например, сходится к 2, и поэтому можно сказать, что он равен 2. Тенденцию к 2 можно увидеть, оценив небольшую конечную башню: ${\displaystyle {}^{n}a}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

В общем, бесконечно повторяемая экспонента , определяемая как предел при стремлении n к бесконечности, сходится при e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} , примерно в интервале от 0,066 до 1,44, результат, показанный Леонардом Эйлером . ^[15] Предел, если он существует, является положительным действительным решением уравнения y = x ^y . Таким образом, x = y ^{1/ y} . Предел, определяющий бесконечную экспоненту x, не существует, когда x > e ^{1/ e} , поскольку максимум y ^{1/ y} равен e ^{1/ e} . Предел также не существует, когда 0 < x < e ^{− e} . ${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}$ ${\displaystyle {}^{n}x}$

Это можно распространить на комплексные числа z с помощью определения:

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

где W представляет собой W-функцию Ламберта .

Поскольку предел y = ^∞ x (если он существует на положительной вещественной прямой, т. е. для e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) должен удовлетворять x ^y = y , мы видим, что x ↦ y = ^∞ x (нижняя ветвь ) обратная функция y ↦ x знак равно y ^{1/ y} .

Отрицательные высоты

Мы можем использовать рекурсивное правило для тетрации:

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

чтобы доказать : ${\displaystyle {}^{-1}a}$

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}$

Замена k на −1 дает

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^[13]

Меньшие отрицательные значения не могут быть точно определены таким способом. Подстановка -2 вместо k в том же уравнении дает

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

который не совсем определен. Однако иногда их можно считать наборами. ^[13]

Для любое определение согласуется с правилом, поскольку ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \,\!{^{-1}1}}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$для любого . ${\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}$

Реальные высоты

В настоящее время не существует общепринятого решения общей проблемы распространения тетрации на вещественные или комплексные значения n . Однако существует множество подходов к этому вопросу, и различные подходы изложены ниже.

В общем, проблема состоит в том, чтобы найти для любого действительного a > 0 суперэкспоненциальную функцию над действительным x > −2 , которая удовлетворяет условию ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$

• ${\displaystyle \,{}^{-1}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}}$для всех реальных ^[16] ${\displaystyle x>-1.}$

Чтобы найти более естественное расширение, обычно требуется одно или несколько дополнительных требований. Обычно это набор из следующего:

• Требование непрерывности (обычно это просто непрерывность по обеим переменным для ) . ${\displaystyle {}^{x}a}$ ${\displaystyle x>0}$
• Требование дифференцируемости (может быть один, два, k раз или бесконечно дифференцируемым по x ).
• Требование регулярности (подразумевающее дважды дифференцируемость по x ), которое:

  ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$для всех ${\displaystyle x>0}$

Четвертое требование различается от автора к автору и в разных подходах. Существует два основных подхода к расширению тетрации до реальных высот; один основан на требовании регулярности , а другой — на требовании дифференцируемости . Эти два подхода кажутся настолько разными, что их невозможно согласовать, поскольку они дают несовместимые друг с другом результаты.

Если определено для интервала длины один, вся функция легко следует для всех x > −2 . ${\displaystyle \,{}^{x}a}$

Линейная аппроксимация реальных высот

${\displaystyle \,{}^{x}e}$используя линейное приближение

Линейная аппроксимация (решение требования непрерывности, приближение требования дифференцируемости) определяется выражением:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

следовательно:

и так далее. Однако он дифференцируем только кусочно; при целых значениях x производная умножается на . Оно непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда, когда . Например, используя эти методы и ${\displaystyle \ln {a}}$ ${\displaystyle x>-2}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$ ${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Основная теорема статьи Хушманда ^[6] гласит: Пусть . Если непрерывно и удовлетворяет условиям: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$ ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$дифференцируема на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$— неубывающая или невозрастающая функция на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}$

тогда однозначно определяется уравнением ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}$

где обозначает дробную часть x и является -повторной функцией функции . ${\displaystyle (x)=x-[x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}}$

Доказательство состоит в том, что из условий со второго по четвертое тривиально следует, что f — линейная функция на [−1, 0] .

Линейное приближение к натуральной тетратионной функции непрерывно дифференцируемо, но ее вторая производная не существует при целых значениях ее аргумента. Хушманд вывел для него еще одну теорему единственности, которая гласит: ${\displaystyle {}^{x}e}$

If — непрерывная функция, удовлетворяющая: ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$выпукла на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}$

затем . [Вот название Хушманда для линейного приближения к естественной функции тетрации.] ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$ ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

Доказательство во многом такое же, как и раньше; уравнение рекурсии гарантирует это, а затем из условия выпуклости следует, что оно линейно на (−1, 0) . ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ ${\displaystyle f}$

Следовательно , линейное приближение к естественной тетрации является единственным решением уравнения , выпуклым на (−1, +∞) . Все остальные достаточно дифференцируемые решения должны иметь точку перегиба на интервале (−1, 0) . ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$

Приближения высшего порядка для реальных высот

Сравнение линейного и квадратичного приближений (красным и синим соответственно) функции от x = −2 до x = 2. ${\displaystyle ^{x}0.5}$

Помимо линейных приближений, квадратичная аппроксимация (требования дифференцируемости) определяется формулой:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

которое дифференцируемо для всех , но не дважды дифференцируемо. Например, если это то же самое, что и линейное приближение. ^[1] ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$ ${\displaystyle a=e}$

Из-за способа расчета эта функция не «отменяется», в отличие от показателей степени, где . А именно, ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

Подобно квадратичному приближению существуют и кубические приближения и методы обобщения на приближения степени п , хотя они гораздо более громоздки. ^{[1] [17]}

Сложные высоты

Рисунок аналитического продолжения тетрации на комплексную плоскость. Уровни и уровни показаны толстыми кривыми. ${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$ ${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$ ${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Сейчас ^{[ когда? ]} доказано ^[18] , что существует единственная функция F , которая является решением уравнения F ( z + 1) = exp( F ( z )) и удовлетворяет дополнительным условиям, что F (0) = 1 и F ( z ) приближается к фиксированным точкам логарифма (примерно 0,318 ± 1,337 i ) при приближении z к ± i ∞ и что F голоморфен во всей комплексной z -плоскости, за исключением части вещественной оси при z ≤ −2 . Это доказательство подтверждает предыдущую гипотезу . ^[19] Конструкция такой функции была первоначально продемонстрирована Кнезером в 1950 году. ^[20] Комплексное отображение этой функции показано на рисунке справа. Доказательство также работает для других оснований, кроме e , если база больше . Последующие работы распространили строительство на все базы комплекса. ^[21] ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\approx 1.445}$

Требование голоморфности тетрации важно для ее единственности. Многие функции S можно построить как

${\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}$

где α и β — действительные последовательности, которые затухают достаточно быстро, чтобы обеспечить сходимость ряда , по крайней мере, при умеренных значениях Im  z .

Функция S удовлетворяет уравнениям тетрации S ( z + 1) = exp( S ( z )) , S (0) = 1 , и если α _n и β _n приближаются к 0 достаточно быстро, она будет аналитической в ​​окрестности положительной точки. реальная ось. Однако если некоторые элементы { α } или { β } не равны нулю, то функция S имеет множество дополнительных особенностей и порезов на комплексной плоскости из-за экспоненциального роста sin и cos вдоль мнимой оси; чем меньше коэффициенты { α } и { β } , тем дальше эти особенности находятся от вещественной оси.

Таким образом, расширение тетрации на комплексную плоскость существенно для уникальности; вещественно -аналитическая тетрация не единственна.

Неэлементарная рекурсивность

Тетрация (ограниченная ) не является элементарной рекурсивной функцией . По индукции можно доказать, что для каждой элементарной рекурсивной функции f существует константа c такая, что ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}$

Обозначим правую часть через . Предположим противное, что тетрация элементарно рекурсивна. также является элементарно рекурсивным. Согласно приведенному выше неравенству, существует константа c такая, что . Позволяя , мы имеем это противоречие. ${\displaystyle g(c,x)}$ ${\displaystyle g(x,x)+1}$ ${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

Обратные операции

Возведение в степень имеет две обратные операции; корни и логарифмы . Аналогично, обратные тетрации часто называют суперкорнем и суперлогарифмом ( фактически, все гипероперации, большие или равные 3, имеют аналогичные обратные); например , в функции двумя обратными являются суперкорень куба y и основание суперлогарифма  y x . ${\displaystyle {^{3}}y=x}$

Супер-корень

Суперкорень - это обратная операция тетрации по отношению к основанию: если , то y является n-м суперкорнем из x ( или ). ${\displaystyle ^{n}y=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{4}}$

Например,

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

таким образом, 2 — это четвертый суперкорень из 65 536.

Квадратный суперкорень

График ${\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}$

Суперкорень 2-го порядка , квадратный суперкорень или суперквадратный корень имеют два эквивалентных обозначения: и . Это обратная функция Ламберта W и ее можно представить с помощью функции Ламберта W : ^[22] ${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$ ${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\ln x)}={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$

Функция также иллюстрирует отражающую природу функций корня и логарифма, поскольку приведенное ниже уравнение справедливо только тогда, когда : ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

Как и квадратные корни , квадратный суперкорень из x может не иметь единственного решения. В отличие от квадратных корней, определение количества квадратных суперкорней из x может оказаться затруднительным. В общем, если , то x имеет два положительных квадратных суперкорня между 0 и 1; и если , то x имеет один положительный квадратный суперкорень, больший 1. Если x положителен и меньше, чем он, он не имеет никаких действительных квадратных суперкорней, но приведенная выше формула дает счетное бесконечное число комплексных корней для любого конечного x , не равно 1. ^[22] Функция использовалась для определения размера кластеров данных . ^[23] ${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle e^{-1/e}}$

В : ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \mathrm {ssqrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

Другие суперкорни

График ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$

Для каждого целого числа n > 2 функция ⁿ x определена и возрастает для x ≥ 1 и ⁿ 1 = 1 , так что n- й суперкорень из x , , существует для x ≥ 1 . ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Одной из более простых и быстрых формул суперкорня третьей степени является рекурсивная формула, если: x ^{x x} = a и next x ( n + 1) = exp (W (W ( x ( n ) ln ( a )))) , например x (0) = 1 .

Однако если используется приведенное выше линейное приближение, то если −1 < y ≤ 0 , этого не может существовать. ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$ ${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

Так же, как и квадратный суперкорень, терминология для других суперкорней может быть основана на нормальных корнях : «кубические суперкорни» могут быть выражены как ; «4-й суперкорень» можно выразить как ; и « n -й суперкорень» равен . Обратите внимание, что это значение не может быть однозначно определено, поскольку может быть более одного корня n- ^{й степени} . Например, x имеет один (действительный) суперкорень, если n нечетное , и до двух, если n четное . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Как и в случае с расширением тетрации на бесконечные высоты, суперкорень можно расширить до n = ∞ , и он корректно определен, если 1/ e ≤ x ≤ e . Обратите внимание на это и, следовательно, на то . Следовательно, когда она четко определена и, в отличие от обычной тетрации, является элементарной функцией . Например, . ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$ ${\displaystyle y=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

Из теоремы Гельфонда-Шнайдера следует , что суперкорень для любого натурального числа n является либо целым, либо трансцендентным , а также целым или иррациональным. ^[24] До сих пор остается открытым вопрос, являются ли иррациональные суперкорни трансцендентными в последнем случае. ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

Суперлогарифм

После выбора определения тетрации с непрерывным возрастанием (по ^x ) соответствующий суперлогарифм или определяется для всех действительных чисел x и a > 1 . ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$ ${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

Функция slog _a  x удовлетворяет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

Открытые вопросы

Помимо проблем с расширениями тетрации, существует несколько открытых вопросов, касающихся тетрации, особенно когда речь идет об отношениях между системами счисления, такими как целые и иррациональные числа :

• Неизвестно, существует ли целое положительное число n , для которого ⁿ π или ⁿ e является целым числом. В частности, неизвестно, является ли какое-либо из ⁴ π или ⁵ e целым числом. ^{[ нужна цитата ]}
• Неизвестно, является ли ⁿ q рациональным для любого положительного целого числа n и положительного нецелого рационального q . ^[24] Например, неизвестно, является ли положительный корень уравнения ⁴ x = 2 рациональным числом. ^{[ нужна цитата ]}
• Неизвестно, являются ли ^e π или ^π e рациональными числами или нет, и даже не известно их точные значения.

Смотрите также

• функция Аккермана
• Обозначение большого О
• Двойная экспоненциальная функция
• Гипероперация
• Повторный логарифм
• Симметричная арифметика индекса уровня

Примечания

1. ⁿ x Рудольфа фон Биттер Рукера (1982) , введенное Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудштейном (1947) для тетрации, не следует путать с обозначениями Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907). ⁿ f ( x ) для обозначения повторяющихся композиций функций , а также преднадстрочное обозначение ⁿ x Дэвида Паттерсона Эллермана (1995) для корней .

Рекомендации

1. Нейринк, Марк. Исследование арифметических операций. Проверено 9 января 2019 г.
2. Р. Л. Гудштейн (1947). «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел». Журнал символической логики . 12 (4): 123–129. дои : 10.2307/2266486. JSTOR  2266486. S2CID  1318943.
3. Н. Бромер (1987). «Супервозведение в степень». Журнал «Математика» . 60 (3): 169–174. дои : 10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR  2689566.
4. Дж. Ф. Макдоннелл (1989). «Некоторые критические точки гиперстепенной функции. Икс Икс … {\displaystyle x^{x^{\dots }}} ". Международный журнал математического образования . 20 (2): 297–305. дои : 10.1080/0020739890200210. МР  0994348.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Power Tower». Математический мир .
6. Хушманд, Миннесота (2006). «Сверхмощные и ультраэкспоненциальные функции». Интегральные преобразования и специальные функции . 17 (8): 549–558. дои : 10.1080/10652460500422247. S2CID  120431576.
7. «Глагол силы». J Словарь . Программное обеспечение J. Проверено 28 октября 2011 г.
8. "Пространства" . Проверено 17 февраля 2022 г.
9. DiModica, Томас. Тетрационные значения. Проверено 15 октября 2023 г.
10. Рипа, М. (ноябрь 2021 г.). «Формула скорости конгруэнтности». Заметки по теории чисел и дискретной математике . 27 (4): 43–61. arXiv : 2208.02622 . дои : 10.7546/nntdm.2021.27.4.43-61.
11. Рипа, М.; Оннис, Л. (июль 2022 г.). «Количество устойчивых цифр любой целой тетрации». Заметки по теории чисел и дискретной математике . 28 (3): 441–457. arXiv : 2210.07956 . дои : 10.7546/nntdm.2022.28.3.441-457.
12. Мейбург, Александр (2014). «Аналитическое расширение тетратации с помощью Product Power-Tower» (PDF) . Проверено 29 ноября 2018 г.
13. Мюллер, М. «Рейхеналгебра: что выходит за рамки возведения в степень?» (PDF) . Проверено 12 декабря 2018 г.
14. «Восхождение по лестнице гипероператоров: тетрация». math.blogooverflow.com . Блог по математике Stack Exchange . Проверено 25 июля 2019 г.
15. Эйлер, Л. «De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus». Акта Акад. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в журнале Эйлера, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921 г. (факсимиле)
16. Траппманн, Хенрик; Кузнецов, Дмитрий (28 июня 2010 г.). «5+ методов настоящей аналитической тетрации» . Проверено 5 декабря 2018 г.
17. Эндрю Роббинс. Решение аналитического кусочного расширения тетрации и суперлогарифма. Расширения можно найти во второй части статьи «Начало результатов».
18. Полсен, В.; Каугилл, С. (март 2017 г.). «Решение F ( z + 1 ) знак равно б F ( z ) {\ displaystyle F (z + 1) = b ^ {F (z)}} в комплексной плоскости» (PDF) . Достижения в области вычислительной математики . 43 : 1–22. дои : 10.1007/s10444-017-9524-1. S2CID  9402035.
19. Кузнецов, Д. (июль 2009 г.). «Решение F ( z + 1 ) знак равно exp ⁡ ( F ( z ) ) {\ displaystyle F (z + 1) = \ exp (F (z))} в комплексной плоскости z {\ displaystyle z}» ( PDF ) . Математика вычислений . 78 (267): 1647–1670. дои : 10.1090/S0025-5718-09-02188-7 .
20. Кнезер, Х. (1950). «Reelle Analytische Lösungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen». Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 187 : 56–67. ${\displaystyle \varphi {\Big (}\varphi (x){\Big )}={\rm {e}}^{x}}$
21. Полсен, В. (июнь 2018 г.). «Тетрация для сложных оснований». Достижения в области вычислительной математики . 45 : 243–267. дои : 10.1007/s10444-018-9615-7. S2CID  67866004.
22. Корлесс, РМ; Гонне, GH; Заяц, ДЭГ; Джеффри, диджей; Кнут, DE (1996). «О функции Ламберта W» ( PostScript ) . Достижения в области вычислительной математики . 5 : 333. arXiv : 1809.07369 . дои : 10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
23. Кришнам, Р. (2004), «Эффективная самоорганизация больших беспроводных сенсорных сетей» - диссертация, БОСТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ИНЖЕНЕРНЫЙ КОЛЛЕДЖ. стр. 37–40
24. Маршалл, Эш Дж., и Тан, Йирен, «Рациональное число формы аа с иррациональным», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 106–109.

• Дэниел Гейслер, Тетрация
• Иоаннис Галидакис, О расширении Hyper4 до нецелых чисел (без даты, 2006 г. или ранее) (более простой и легкий для чтения обзор следующей ссылки)
• Иоаннис Галидакис, О распространении гипер4 и нотации Кнута со стрелкой вверх на действительные числа (без даты, 2006 г. или ранее).
• Роберт Мунафо, Расширение функции Hyper4 на действительные числа (неформальное обсуждение распространения тетрации на действительные числа).
• Лоде Вандевенн, Тетрация квадратного корня из двух . (2004). (Попытайтесь распространить тетрацию на действительные числа.)
• Иоаннис Галидакис, Математика , (Полный список ссылок на исследования тетрации. Много информации о W-функции Ламберта, римановых поверхностях и аналитическом продолжении.)
• Джозеф МакДонелл, Некоторые критические точки функции сверхмощности .
• Дэйв Л. Ренфро, Веб-страницы для бесконечно повторяющихся экспонент
• Кнобель, Р. (1981). «Экспонента повторяется». Американский математический ежемесячник . 88 (4): 235–252. дои : 10.1080/00029890.1981.11995239.
• Ганс Маурер, «Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)». Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft в Гамбурге 4 , (1901), с. 33–50. (Ссылка на использование из статьи Кнобеля.) ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ ${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• Четвертая операция
• Лука Морони, Странные свойства бесконечной энергетической башни (https://arxiv.org/abs/1908.05559)

дальнейшее чтение

• Галидакис, Иоаннис; Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Энергетическая башня». Математический мир . Проверено 5 июля 2019 г.