Тригонометрические функции

Функции угла

Основы тригонометрии: если два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы , они подобны , поэтому соответствующие длины их сторон пропорциональны .

В математике тригонометрические функции (также называемые круговыми функциями , угловыми функциями или гониометрическими функциями ) ^{[1] [2]} являются действительными функциями , которые связывают угол прямоугольного треугольника с отношениями длин двух сторон. Они широко используются во всех науках, связанных с геометрией , таких как навигация , механика твердого тела , небесная механика , геодезия и многие другие. Они относятся к числу простейших периодических функций и как таковые также широко используются для изучения периодических явлений посредством анализа Фурье .

Тригонометрические функции, наиболее широко используемые в современной математике, — это функции синуса , косинуса и тангенса . Их обратными пропорциями являются соответственно косеканс , секанс и котангенс , которые используются реже. Каждая из этих шести тригонометрических функций имеет соответствующую обратную функцию и аналог среди гиперболических функций .

Самые старые определения тригонометрических функций, относящиеся к прямоугольным треугольникам, определяют их только для острых углов . Чтобы расширить функции синуса и косинуса до функций, областью определения которых является вся действительная линия , часто используются геометрические определения с использованием стандартного единичного круга (т. е. круга с радиусом 1 единица); тогда областью определения остальных функций является действительная линия с удаленными некоторыми изолированными точками. Современные определения выражают тригонометрические функции как бесконечные ряды или как решения дифференциальных уравнений . Это позволяет расширить область определения функций синуса и косинуса на всю комплексную плоскость , а область определения других тригонометрических функций - на комплексную плоскость с удалением некоторых изолированных точек.

Обозначения

Обычно в формулах в качестве символа используется сокращение имени каждой тригонометрической функции. Сегодня наиболее распространенными вариантами этих сокращений являются «sin» для синуса, «cos» для косинуса, «tan» или «tg» для тангенса, «sec» для секанса, «csc» или «cosec» для косеканса и « cot» или «ctg» для котангенса. Исторически эти сокращения использовались сначала в прозаических предложениях для обозначения отдельных отрезков линий или их длин, относящихся к дуге произвольного круга, а позднее для обозначения соотношений длин, но по мере развития понятия функции в 17–18 веках они стали рассматриваться как функции вещественных угловых мер и записываться с использованием функциональных обозначений , например sin( x ) . Круглые скобки по-прежнему часто опускаются, чтобы уменьшить беспорядок, но иногда они необходимы; например, это выражение обычно интерпретируется как означающее, что для выражения необходимы круглые скобки. ${\displaystyle \sin x+y}$ ${\displaystyle \sin(x)+y,}$ ${\displaystyle \sin(x+y).}$

Положительное целое число , появляющееся в виде верхнего индекса после символа функции, означает возведение в степень , а не композицию функции . Например и обозначить не. Это отличается от (исторически более поздней) общей функциональной записи, в которой ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$ ${\displaystyle \sin(\sin x).}$ ${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

Однако показатель степени обычно используется для обозначения обратной функции , а не обратной . Например , и обозначают обратную тригонометрическую функцию, написанную альтернативно. Уравнение подразумевает , что нет . В этом случае верхний индекс можно рассматривать как обозначение составной или повторяемой функции , но отрицательные верхние индексы, кроме, не используются обычно. ${\displaystyle {-1}}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \arcsin x\colon }$ ${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin \theta =x,}$ ${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$ ${\displaystyle {-1}}$

Определения прямоугольного треугольника.

В этом прямоугольном треугольнике, обозначая величину угла ВАС как А: sin A =а/с; потому что А =б/с; загар А =а/б.

График шести тригонометрических функций, единичного круга и линии для угла θ = 0,7 радиана . Точки, помеченные 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ), представляют длину отрезка линии от начала координат до этой точки. Sin( θ ) , Tan( θ ) и 1 — это высоты линии, начиная с оси x , а Cos( θ ) , 1 и Cot( θ ) — длины вдоль оси x , начиная с начала координат.

Если дан острый угол θ , то любые прямоугольные треугольники, имеющие угол θ, подобны друг другу. Это означает, что отношение длин любых двух сторон зависит только от θ . Таким образом, эти шесть отношений определяют шесть функций θ , которые являются тригонометрическими функциями. В следующих определениях гипотенуза — это длина стороны, противоположной прямому углу, противоположная сторона представляет собой сторону, противоположную данному углу θ , а смежная представляет собой сторону между углом θ и прямым углом. ^{[3] [4]}

Для запоминания этих определений можно использовать различные мнемоники .

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов представляет собой прямой угол, то есть 90° илиπ/2 радианы . Следовательно, ипредставляют собой одно и то же соотношение и, следовательно, равны. Это тождество и аналогичные отношения между другими тригонометрическими функциями суммированы в следующей таблице. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

Вверху: тригонометрическая функция sin θ для выбранных углов θ , π − θ , π + θ и 2 π − θ в четырех квадрантах.
Внизу: график зависимости синуса от угла. Обозначены углы от верхней панели.

Радианы против градусов

В геометрических приложениях аргументом тригонометрической функции обычно является мера угла . Для этой цели удобен любой угловой агрегат . Одна общая единица — градусы , в которых прямой угол равен 90°, а полный поворот — 360° (особенно в элементарной математике ).

Однако в исчислении и математическом анализе тригонометрические функции обычно рассматриваются более абстрактно как функции действительных или комплексных чисел , а не углов. Фактически, функции sin и cos могут быть определены для всех комплексных чисел в терминах экспоненциальной функции , через степенной ряд ^[6] или как решения дифференциальных уравнений с заданными определёнными начальными значениями ^[7] ( см. ниже ), без ссылки на любые геометрические понятия. Остальные четыре тригонометрические функции ( tan , cot , sec , csc ) могут быть определены как частные и обратные величины sin и cos , за исключением случаев, когда в знаменателе стоит ноль. Для реальных аргументов можно доказать, что эти определения совпадают с элементарными геометрическими определениями, если рассматривать аргумент как угол, заданный в радианах . ^[6] Более того, эти определения приводят к простым выражениям для производных и неопределенных интегралов для тригонометрических функций. ^[8] Таким образом, за пределами элементарной геометрии радианы считаются математически естественной единицей для описания угловых мер.

Когда используются радианы (рад), угол задается как длина дуги единичного круга , опирающегося на него: угол, который образует дугу длины 1 на единичном круге, равен 1 рад (≈ 57,3 °), а полный поворот (360°) составляет угол 2 π (≈ 6,28) рад. Для действительного числа x обозначения sin x , cos x и т. д. относятся к значению тригонометрических функций, вычисленных под углом x рад. Если подразумеваются единицы измерения в градусах, знак градуса должен быть явно указан (например, sin x° , cos x° и т. д.). Используя эти стандартные обозначения, аргумент x для тригонометрических функций удовлетворяет соотношению x = (180 x / π )°, так что, например, sin π = sin 180° , когда мы берем x = π . Таким образом, символ градуса можно рассматривать как математическую константу, такую ​​​​что 1 ° = π / 180 ≈ 0,0175.

Определения единичного круга

Все тригонометрические функции угла θ (тета) могут быть построены геометрически в терминах единичного круга с центром в точке O.

Функция синуса на единичной окружности (вверху) и ее график (внизу)

На этой иллюстрации шесть тригонометрических функций произвольного угла θ представлены как декартовы координаты точек, относящихся к единичному кругу . Ординаты A , B и D равны sin θ , tan θ и csc θ соответственно, а абсциссы A , C и E представляют собой cos θ , cot θ и sec θ соответственно.

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте. Мнемоника « все преподаватели науки сумасшедшие » указывает на то, что синус , косинус и тангенс положительны от квадрантов I до IV . ^[9]

Шесть тригонометрических функций можно определить как значения координат точек на евклидовой плоскости , которые связаны с единичным кругом , который представляет собой круг радиуса один с центром в начале координат O этой системы координат. В то время как определения прямоугольного треугольника позволяют определять тригонометрические функции для углов от 0 до радиан (90 °), определения единичного круга позволяют расширить область применения тригонометрических функций на все положительные и отрицательные действительные числа. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Пусть – луч , полученный вращением на угол θ положительной половины оси x ( вращение против часовой стрелки для и вращение по часовой стрелке для ). Этот луч пересекает единичную окружность в точке. Луч , расширенный до прямой , если необходимо, пересекает линию уравнения в точке и линию уравнения в точке . Касательная линия к единичной окружности в точке A перпендикулярна и пересекает оси y и x в точках и координаты этих точек дают значения всех тригонометрических функций для любого произвольного действительного значения θ следующим образом. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \theta >0,}$ ${\displaystyle \theta <0}$ ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$ ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

Тригонометрические функции cos и sin определяются соответственно как значения координат x и y точки A. То есть,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$и ^[10] ${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

В диапазоне это определение совпадает с определением прямоугольного треугольника, поскольку в качестве гипотенузы прямоугольный треугольник имеет единичный радиус OA . А поскольку уравнение справедливо для всех точек единичного круга, это определение косинуса и синуса также удовлетворяет тождеству Пифагора . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

Остальные тригонометрические функции можно найти вдоль единичного круга как

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$и ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$и ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

Применяя методы тождества Пифагора и геометрического доказательства, можно легко показать, что эти определения совпадают с определениями тангенса, котангенса, секущего и косеканса в терминах синуса и косинуса, то есть

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Тригонометрические функции: Синус , Косинус , Тангенс , Косеканс (точка) , Секанс (точка) , Котангенс (точка) – анимация

Поскольку вращение угла не меняет положение или размер фигуры, точки A , B , C , D и E одинаковы для двух углов, разница которых кратна целому числу . Таким образом, тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодом . То есть равенства ${\displaystyle \pm 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$и ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

справедливы для любого угла θ и любого целого числа k . То же самое верно и для четырех других тригонометрических функций. Наблюдая за знаком и монотонностью функций синус, косинус, косеканс и секанс в четырех квадрантах, можно показать, что это наименьшее значение, при котором они являются периодическими (т. е. является основным периодом этих функций). Однако после поворота на угол точки B и C уже возвращаются в исходное положение, так что функция тангенса и функция котангенса имеют фундаментальный период . То есть равенства ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$и ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

справедливы для любого угла θ и любого целого числа k .

Алгебраические значения

Единичный круг с некоторыми точками, помеченными их косинусом и синусом (в указанном порядке), а также соответствующими углами в радианах и градусах.

Алгебраические выражения для наиболее важных углов следующие:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( нулевой угол )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( прямой угол )

Запись числителей в виде квадратных корней из последовательных неотрицательных целых чисел со знаменателем 2 обеспечивает простой способ запомнить значения. ^[11]

Для других углов, которые являются рациональными кратными прямому углу, таких простых выражений обычно не существует.

• Для угла, который измеряется в градусах и кратен трем, точные тригонометрические значения синуса и косинуса можно выразить через квадратные корни. Таким образом, эти значения синуса и косинуса можно построить с помощью линейки и циркуля .
• Для угла в целое число градусов синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни и кубический корень из недействительного комплексного числа . Теория Галуа позволяет доказать, что, если угол не кратен 3 °, недействительные кубические корни неизбежны.
• Для угла, который, выраженный в градусах, является рациональным числом , синус и косинус являются алгебраическими числами , которые можно выразить через корни n- й степени . Это следует из того, что группы Галуа круговых многочленов циклические .
• Если угол, выраженный в градусах, не является рациональным числом, то либо угол, либо и синус, и косинус являются трансцендентными числами . Это следствие теоремы Бейкера , доказанной в 1966 году.

Простые алгебраические значения

В следующей таблице перечислены синусы, косинусы и тангенсы кратных 15 градусов от 0 до 90 градусов.

В исчислении

Графики синуса, косинуса и тангенса

Синусоидальная функция (синяя) точно аппроксимируется полиномом Тейлора степени 7 (розовый) для полного цикла с центром в начале координат.

Анимация аппроксимации косинуса полиномами Тейлора.

${\displaystyle \cos(x)}$вместе с первыми полиномами Тейлора ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

Современная тенденция в математике состоит в том, чтобы строить геометрию на основе вычислений , а не наоборот. ^{[ нужна цитация ]} Таким образом, за исключением очень элементарного уровня, тригонометрические функции определяются с использованием методов исчисления.

Тригонометрические функции дифференцируемы и аналитичны в каждой точке, где они определены; то есть везде для синуса и косинуса, а для тангенса - везде, кроме точки π /2 + k π для каждого целого числа k .

Тригонометрические функции являются периодическими функциями , и их примитивный период равен 2 π для синуса и косинуса и π для тангенса, который увеличивается в каждом открытом интервале ( π /2 + k π , π /2 + ( k + 1 ) π ) . В каждой конечной точке этих интервалов касательная функция имеет вертикальную асимптоту .

В исчислении существует два эквивалентных определения тригонометрических функций: либо с использованием степенных рядов , либо с помощью дифференциальных уравнений . Эти определения эквивалентны, поскольку, исходя из одного из них, легко получить другое как свойство. Однако определение через дифференциальные уравнения в некотором роде более естественно, поскольку, например, выбор коэффициентов степенного ряда может оказаться совершенно произвольным, а тождество Пифагора гораздо легче вывести из дифференциальных уравнений.

Определение дифференциальными уравнениями

Синус и косинус можно определить как уникальное решение проблемы начального значения :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

Снова дифференцируя, и , так что и синус, и косинус являются решениями одного и того же обыкновенного дифференциального уравнения. ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

Синус — единственное решение с y (0) = 0 и y ′(0) = 1 ; косинус — единственное решение с y (0) = 1 и y ′(0) = 0 .

Применяя правило частного к касательной , ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

поэтому касательная функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

Это единственное решение с y (0) = 0 .

Расширение серии мощности

Применяя дифференциальные уравнения к степенным рядам с неопределенными коэффициентами, можно вывести рекуррентные соотношения для коэффициентов ряда Тейлора функций синуса и косинуса. Эти рекуррентные соотношения легко решить и дают разложение в ряд ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

Радиус сходимости этих рядов бесконечен. Следовательно, синус и косинус можно расширить до целых функций (также называемых «синус» и «косинус»), которые являются (по определению) комплекснозначными функциями , определенными и голоморфными на всей комплексной плоскости .

Будучи определяемыми как доли целых функций, другие тригонометрические функции могут быть расширены до мероморфных функций , то есть функций, голоморфных во всей комплексной плоскости, за исключением некоторых изолированных точек, называемых полюсами . Здесь полюсами являются числа вида для тангенса и секанса или для котангенса и косеканса, где k — произвольное целое число. ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k\pi }$

Рекуррентные соотношения можно также вычислить для коэффициентов ряда Тейлора других тригонометрических функций. Эти ряды имеют конечный радиус сходимости . Их коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию: они перечисляют чередующиеся перестановки конечных множеств. ^[13]

Точнее, определение

Un , n -е число вверх _/ вниз ,

B _n , n- е число Бернулли и

En _— n -е число Эйлера ,

имеются следующие разложения в ряд: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Продолжение расширения фракции

Следующие разложения справедливы во всей комплексной плоскости:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

Последний был использован в исторически первом доказательстве иррациональности числа π . ^[15]

Частичное расширение дроби

Существует представление в ряд в виде разложения в частные дроби , в котором суммируются только что переведенные обратные функции , так что полюсы котангенса и обратных функций совпадают: ^[16]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Это тождество можно доказать с помощью трюка Герглотца . ^[17] Объединение (– n ) -го с n-м членом приводит к абсолютно сходящемуся ряду:

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

Аналогичным образом можно найти разложение в частные дроби для секущей, косекансной и тангенциальной функций:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

Бесконечное расширение продукта

Следующее бесконечное произведение синуса имеет большое значение в комплексном анализе:

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Доказательство этого расширения см. в разделе Синус . Из этого можно сделать вывод, что

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Связь с показательной функцией (формула Эйлера)

${\displaystyle \cos(\theta )}$и являются действительной и мнимой частью соответственно. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

Формула Эйлера связывает синус и косинус с показательной функцией :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Эта формула обычно рассматривается для действительных значений x , но она остается верной для всех комплексных значений.

Доказательство : Пусть и Один имеет для j = 1, 2 . Таким образом, правило фактора означает, что . Следовательно, – постоянная функция, равная ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$ ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$ ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1 , т.к. Это доказывает формулу. ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

Надо

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

Решая эту линейную систему относительно синуса и косинуса, можно выразить их через показательную функцию:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

Когда x действительно, это можно переписать как

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

Большинство тригонометрических тождеств можно доказать, выразив тригонометрические функции через комплексную показательную функцию, используя приведенные выше формулы, а затем используя это тождество для упрощения результата. ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

Определения с использованием функциональных уравнений

Можно также определить тригонометрические функции, используя различные функциональные уравнения .

Например, ^[18] синус и косинус образуют единственную пару непрерывных функций , удовлетворяющих разностной формуле

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

и дополнительное условие

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

В сложной плоскости

Синус и косинус комплексного числа можно выразить через действительные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом: ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Воспользовавшись раскраской области , можно построить график тригонометрических функций как комплекснозначных функций. На графике можно увидеть различные особенности, уникальные для сложных функций; например, функции синуса и косинуса можно считать неограниченными по мере того, как мнимая часть становится больше (поскольку белый цвет представляет бесконечность), а тот факт, что функции содержат простые нули или полюса , очевиден из того факта, что оттенок циклически меняется. вокруг каждого нуля или полюса ровно один раз. Сравнение этих графиков с графиками соответствующих гиперболических функций подчеркивает взаимосвязь между ними. ${\displaystyle z}$

Основные идентичности

Многие тождества связывают между собой тригонометрические функции. В этом разделе собраны самые основные; дополнительные тождества см. в разделе «Список тригонометрических тождеств» . Эти тождества могут быть доказаны геометрически на основе определений единичного круга или определений прямоугольного треугольника (хотя в последних определениях необходимо учитывать углы, которые не входят в интервал [0, π /2] , см. Доказательства тригонометрических тождеств ). Для негеометрических доказательств, использующих только инструменты исчисления , можно напрямую использовать дифференциальные уравнения, аналогично приведенному выше доказательству тождества Эйлера. Можно также использовать тождество Эйлера для выражения всех тригонометрических функций через комплексные экспоненты и использования свойств показательной функции.

Паритет

Косинус и секанс — четные функции ; остальные тригонометрические функции являются нечетными функциями . То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

Периоды

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями периода 2 π . Это наименьший период, за исключением тангенса и котангенса, у которых наименьший период π . Это означает, что для каждого целого числа k имеется

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

Пифагорейская идентичность

Тождество Пифагора — это выражение теоремы Пифагора в терминах тригонометрических функций. Это

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

Деление на либо или дает ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

и

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

Формулы суммы и разности

Формулы суммы и разности позволяют разложить синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов через синусы, косинусы и тангенсы самих углов. Их можно вывести геометрически, используя аргументы, восходящие к Птолемею . Их также можно вывести алгебраически, используя формулу Эйлера .

Сумма

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Разница

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Когда два угла равны, формулы суммы сводятся к более простым уравнениям, известным как формулы двойного угла .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

Эти тождества можно использовать для получения тождества произведения к сумме .

Установив все тригонометрические функции можно выразить в виде рациональных дробей : ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Вместе с

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

это замена касательного полуугла , которая сводит вычисление интегралов и первообразных тригонометрических функций к вычислению рациональных дробей.

Производные и первообразные

Производные тригонометрических функций получаются из производных синуса и косинуса путем применения правила частного . Значения, приведенные для первообразных в следующей таблице, можно проверить путем их дифференцирования. Число  C является константой интегрирования .

Примечание. Для интеграла также можно записать как и для интеграла для as где – обратный гиперболический синус . ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle \csc x}$ ${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$ ${\displaystyle \sec x}$ ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

Альтернативно, производные «кофункций» можно получить с помощью тригонометрических тождеств и правила цепочки:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

Обратные функции

Тригонометрические функции периодичны и, следовательно, не инъективны , поэтому, строго говоря, у них нет обратной функции . Однако на каждом интервале, на котором тригонометрическая функция монотонна , можно определить обратную функцию, и это определяет обратные тригонометрические функции как многозначные функции . Чтобы определить истинную обратную функцию, необходимо ограничить область определения интервалом, где функция монотонна и, следовательно, биективна от этого интервала к своему образу с помощью функции. Общий выбор для этого интервала, называемого набором основных значений , приведен в следующей таблице. Как обычно, обратные тригонометрические функции обозначаются приставкой «дуга» перед названием или его сокращением функции.

Обозначения sin ^-1 , cos ^-1 и т. д. часто используются для arcsin , arccos и т. д. При использовании этого обозначения обратные функции можно спутать с мультипликативными обратными. Обозначение с префиксом «arc» позволяет избежать такой путаницы, хотя «arcsec» для арксеканса можно спутать с « угловой секундой ».

Так же, как синус и косинус, обратные тригонометрические функции также можно выразить через бесконечные ряды. Их также можно выразить через комплексные логарифмы .

Приложения

Углы и стороны треугольника

В этом разделе A , B , C обозначают три (внутренних) угла треугольника, а a , b , c обозначают длины соответствующих противоположных ребер. Они связаны различными формулами, названными в честь связанных с ними тригонометрических функций.

Закон синусов

Закон синусов гласит, что для произвольного треугольника со сторонами a , b и c и углами, противоположными сторонам A , B и C :

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$

Δ

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

R — радиус

Это можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и воспользовавшись приведенным выше определением синуса. Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, возникающая при триангуляции — методе определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.

Закон косинусов

Закон косинусов (также известный как формула косинусов или правило косинусов) является расширением теоремы Пифагора :

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$

$${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

В этой формуле угол С противоположен стороне  С. Эту теорему можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и воспользовавшись теоремой Пифагора .

Закон косинусов можно использовать для определения стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Его также можно использовать для нахождения косинусов угла (а, следовательно, и самих углов), если известны длины всех сторон.

Закон касательных

Закон касательных гласит, что:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$.

Закон котангенсов

Если s — полупериметр треугольника, ( a + b + c )/2, а r — радиус вписанной окружности треугольника , то rs — площадь треугольника. Следовательно, формула Герона подразумевает, что:

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

Закон котангенсов гласит, что: ^[19]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}}$

Следует, что

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$

Периодические функции

Кривая Лиссажу — фигура, образованная с помощью тригонометрической функции.

Анимация аддитивного синтеза прямоугольного сигнала с возрастающим числом гармоник.

Синусоидальные базисные функции (внизу) при добавлении могут образовывать пилообразную волну (вверху). Все базисные функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, и все, кроме фундаментальной ( k = 1 ), имеют дополнительные узлы. Колебания, наблюдаемые вокруг пилообразной формы при большом k , называются феноменом Гиббса.

Тригонометрические функции также важны в физике. Функции синуса и косинуса, например, используются для описания простого гармонического движения , которое моделирует многие природные явления, такие как движение массы, прикрепленной к пружине, и, для малых углов, маятниковое движение массы, подвешенной на нить. Функции синуса и косинуса представляют собой одномерные проекции равномерного кругового движения .

Тригонометрические функции также оказываются полезными при изучении общих периодических функций . Характерные волновые структуры периодических функций полезны для моделирования повторяющихся явлений, таких как звуковые или световые волны . ^[20]

При достаточно общих условиях периодическая функция f  ( x ) может быть выражена как сумма синусоиды или косинусоиды в ряду Фурье . ^{[21] Обозначая} базисные функции синуса или косинуса через φ _k , разложение периодической функции f  ( t ) принимает вид:

$${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

Например, прямоугольную волну можно записать в виде ряда Фурье.

$${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

На анимации прямоугольной волны вверху справа видно, что всего несколько членов уже дают довольно хорошее приближение. Ниже показана суперпозиция нескольких членов разложения пилообразной волны .

История

Хотя раннее изучение тригонометрии восходит к древности, тригонометрические функции, используемые сегодня, были разработаны в средневековый период. Функция аккорда была открыта Гиппархом из Никеи (180–125 гг. До н.э.) и Птолемеем из Римского Египта (90–165 гг. н.э.). Функции синуса и версуса (1 – косинус) можно проследить до функций джья и коти-джья , используемых в индийской астрономии периода Гуптов ( Арьябхатия , Сурья Сиддханта ), посредством перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латынь. ^[22] (См. таблицу синусов Арьябхаты .)

Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к 9 веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . ^[23] За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), остальные пять современных тригонометрических функций были открыты персидскими и арабскими математиками, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. ^[23] Аль-Хваризми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Около 830 года Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази открыл котангенс и составил таблицы тангенсов и котангенсов. ^{[24] [25]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) обнаружил взаимные функции секущего и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. ^[25] Тригонометрические функции позже изучали математики, в том числе Омар Хайям , Бхаскара II , Насир ад-Дин ат-Туси , Джамшид аль-Каши (14 век), Улугбек (14 век), Региомонтан (1464 г.), Ретикус и Ученик Ретикуса Валентин Отон .

Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1400 г.) добился первых успехов в анализе тригонометрических функций с точки зрения бесконечных рядов . ^[26] (См. ряд Мадхавы и таблицу синусов Мадхавы .)

Функция тангенса была привезена в Европу Джованни Бьянкини в 1467 году в тригонометрических таблицах, которые он создал для расчета звездных координат. ^[27]

Термины тангенс и секанс впервые были введены датским математиком Томасом Финке в его книге Geometria rotundi (1583 г.). ^[28]

Французский математик 17-го века Альбер Жирар впервые опубликовал использование аббревиатур sin , cos и tan в своей книге «Тригонометрия» . ^[29]

В статье, опубликованной в 1682 году, Готфрид Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . ^[30] Хотя результат Лейбница был введен как отношение сторон прямоугольного треугольника и, таким образом, выглядел как рациональная функция , он установил, что на самом деле они являются трансцендентными функциями своего аргумента. Задача ассимиляции круговых функций в алгебраические выражения была решена Эйлером в его «Введении к анализу бесконечного» (1748). Его метод заключался в том, чтобы показать, что функции синуса и косинуса представляют собой чередующиеся ряды , образованные из четных и нечетных членов экспоненциального ряда соответственно . Он представил « формулу Эйлера », а также почти современные сокращения ( sin. , cos. , tang. , cot. , sec. и cosec. ). ^[22]

Некоторые функции были распространены исторически, но сейчас используются редко, например, аккорд , версинус (который появился в самых ранних таблицах ^[22] ) , коверсинус , гаверсинус , ^[31] экссеканс и экскосеканс . Список тригонометрических тождеств показывает больше связей между этими функциями.

• crd( θ ) = 2 грех(θ/2)
• версия( θ ) знак равно 1 - потому что ( θ ) знак равно 2 грех ² (θ/2)
• Coverin( θ ) = 1 − sin( θ ) = Versin(π/2- θ )
• хаверсин( θ ) =1/2версия( θ ) = грех ² (θ/2)
• exsec( θ ) = сек( θ ) - 1
• excsc( θ ) = exsec(π/2- θ ) = csc( θ ) - 1

Исторически тригонометрические функции часто комбинировались с логарифмами в составных функциях, таких как логарифмический синус, логарифмический косинус, логарифмический секанс, логарифмический косеканс, логарифмический тангенс и логарифмический котангенс. ^{[32] [33] [34] [32] [35]}

Этимология

Слово синус происходит ^[36] от латинского sinus , что означает «изгиб; залив», а более конкретно — «свисающая складка верхней части тоги » , «грудь одежды», что было выбрано в качестве перевода того, что интерпретировалось как арабское слово jaib , означающее «карман» или «складка» в переводах двенадцатого века произведений Аль-Баттани и аль-Хорезми на средневековую латынь . ^[37] Выбор был основан на неправильном прочтении арабской письменной формы jyb ( جيب ), которая сама возникла как транслитерация санскритского jīvā , которое вместе со своим синонимом jyā (стандартный санскритский термин для обозначения синуса) переводится как «тетива». , которое, в свою очередь, заимствовано из древнегреческого χορδή «струна». ^[38]

Слово «тангенс» происходит от латинского tangens , означающего «касание», поскольку линия касается круга единичного радиуса, тогда как секанс происходит от латинского secans — «разрез», — поскольку линия пересекает круг. ^[39]

Префикс « ко- » (в «косинусе», «котангенсе», «косекансе») встречается в « Каноне треугольника » Эдмунда Гюнтера (1620 г.), в котором косинус определяется как сокращение от sinus Complimenti (синус дополнительного угла) . ) и аналогичным образом определяет котангены . ^{[40] [41]}

Смотрите также

• Мнемоника в тригонометрии
• Формула аппроксимации синуса Бхаскары I
• Малоугловое приближение
• Дифференцирование тригонометрических функций
• Обобщенная тригонометрия
• Создание тригонометрических таблиц
• Гиперболическая функция
• Список интегралов тригонометрических функций
• Список периодических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Полярный синус - обобщение углов при вершинах.
• Доказательства тригонометрических тождеств.
• Версина - для нескольких менее используемых тригонометрических функций и единичных круговых диаграмм всех функций.
• Хорда (геометрия)#В тригонометрии

Примечания

1. Также равно ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

1. Кляйн, Кристиан Феликс (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). Том. 1 (3-е изд.). Берлин: Дж. Спрингер .
2. Кляйн, Кристиан Феликс (2004) [1932]. Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Хедрика, скорой помощи; Нобл, Калифорния (Перевод 3-го немецкого изд.). Dover Publications, Inc. / Компания Macmillan . ISBN 978-0-48643480-3. Архивировано из оригинала 15 февраля 2018 г. Проверено 13 августа 2017 г.
3. Проттер и Морри (1970, стр. ПРИЛОЖЕНИЕ-2, ПРИЛОЖЕНИЕ-3)
4. «Синус, косинус, тангенс» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 г.
5. Проттер и Морри (1970, стр. ПРИЛОЖЕНИЕ-7)
6. Рудин, Уолтер, 1921–2010. Принципы математического анализа (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-07-054235-Х. ОСЛК  1502474.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
7. Даймонд, Харви (2014). «Определение экспоненциальных и тригонометрических функций с помощью дифференциальных уравнений». Журнал «Математика» . 87 (1): 37–42. дои : 10.4169/math.mag.87.1.37. ISSN  0025-570X. S2CID  126217060.
8. Спивак, Майкл (1967). «15». Исчисление . Аддисон-Уэсли. стр. 256–257. LCCN  67-20770.
9. Хэн, ХХ; Ченг, Ху; Талберт, Дж. Ф. (2001). Дополнительная математика. Pearson Education Южная Азия. ISBN 978-981-235-211-8.
10. Битюцков, В.И. (07.02.2011). «Тригонометрические функции». Энциклопедия математики . Архивировано из оригинала 29 декабря 2017 г. Проверено 29 декабря 2017 г.
11. Ларсон, Рон (2013). Тригонометрия (9-е изд.). Cengage Обучение. п. 153. ИСБН 978-1-285-60718-4. Архивировано из оригинала 15 февраля 2018 г.Отрывок со страницы 153. Архивировано 15 февраля 2018 г. в Wayback Machine.
12. См. Альфорс, стр. 43–44.
13. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том I., стр. 149
14. Абрамовиц; Вайсштейн.
15. Ламберт, Иоганн Генрих (2004) [1768], «Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités Transantetes Circulaires et Logarithmiques», в Берггрене, Леннарт; Борвейн, Джонатан М .; Борвейн, Питер Б. (ред.), Пи, справочник (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 129–140, ISBN. 0-387-20571-3
16. Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2000). Доказательства из КНИГИ (Второе изд.). Спрингер-Верлаг . п. 149. ИСБН 978-3-642-00855-9. Архивировано из оригинала 8 марта 2014 г.
17. Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций. Спрингер. п. 327. ИСБН 978-0-387-97195-7. Архивировано из оригинала 20 марта 2015 г.Отрывок страницы 327. Архивировано 20 марта 2015 г. в Wayback Machine.
18. Каннаппан, Паланиаппан (2009). Функциональные уравнения и неравенства с приложениями . Спрингер. ISBN 978-0387894911.
19. Универсальная энциклопедия математики, Pan Reference Books, 1976, стр. 529–530. Английская версия Джордж Аллен и Анвин, 1964 год. Перевод с немецкой версии Мейерс Рехендуден, 1960 год.
20. Фарлоу, Стэнли Дж. (1993). Уравнения в частных производных для ученых и инженеров (переиздание Wiley, 1982 г.). Публикации Courier Dover. п. 82. ИСБН 978-0-486-67620-3. Архивировано из оригинала 20 марта 2015 г.
21. См., например, Фолланд, Джеральд Б. (2009). «Сходимость и полнота». Анализ Фурье и его приложения (переиздание Wadsworth & Brooks/Cole, 1992 г.). Американское математическое общество. стр. 77 и далее. ISBN 978-0-8218-4790-9. Архивировано из оригинала 19 марта 2015 г.
22. Boyer, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-54397-7 , стр. 210. 
23. Джинджерич, Оуэн (1986). «Исламская астрономия». Научный американец . Том. 254. с. 74. Архивировано из оригинала 19 октября 2013 г. Проверено 13 июля 2010 г.
24. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 157, в Селине, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
25. «тригонометрия». Британская энциклопедия. 17.11.2023.
26. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. «Мадхава Сангамаграмы». Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 14 мая 2006 г. Проверено 8 сентября 2007 г.
27. Ван Браммелен, Глен (2018). «Конец ошибки: Бьянкини, Региомонтан и таблица звездных координат». Архив истории точных наук . 72 (5): 547–563. дои : 10.1007/s00407-018-0214-2. JSTOR  45211959. S2CID  240294796.
28. "Биография Финке". Архивировано из оригинала 07 января 2017 г. Проверено 15 марта 2017 г.
29. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Тригонометрические функции», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
30. Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Спрингер. ISBN 9783540647676.
31. Нильсен (1966, стр. xxiii – xxiv)
32. Лётцбайер, Филипп (1950). «§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X и T. 14: lg tg x; lg ctg X». Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин, Германия: Walter de Gruyter & Co. , номер документа : 10.1515/9783111507545. ISBN  978-3-11114038-4. ID архива 541650 . Проверено 6 февраля 2024 г.
33. фон Хаммер, Эрнст Герман Генрих [на немецком языке] , изд. (1897). Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometerie. Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie (на немецком языке) (2-е изд.). Штутгарт, Германия: JB Metzlerscher Verlag . Проверено 6 февраля 2024 г.
34. Хесс, Адольф (1926) [1916]. Trigonometry für Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium (на немецком языке) (6-е изд.). Винтертур, Швейцария: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-36585-4. ISBN 978-3-662-35755-2.
35. Рогель, Денис, изд. (30 августа 2016 г.). Реконструкция таблицы семизначных логарифмов Петерса (том 2, 1940 г.). Вандовр-ле-Нанси, Франция: Университет Лотарингии . hal-01357842. Архивировано из оригинала 6 февраля 2024 г. Проверено 6 февраля 2024 г.
36. Англиизированная форма впервые упоминается в 1593 году в «Часословии, искусстве набора номера» Томаса Фэйла .
37. Различные источники приписывают первое использование пазухи либо
    • Перевод Платона Тибуртина « Астрономии Аль -Баттани» 1116 года.
    • Перевод Герарда Кремонского « Алгебры аль -Хорезми»
    • Перевод таблиц аль-Хорезми Робертом Честерским в 1145 году.
    См. Мерле, «Заметки об истории тригонометрических функций» Чеккарелли (ред.), Международный симпозиум по истории машин и механизмов , Springer, 2004 г.
    См. Маор (1998), глава 3, для более ранней этимологии, посвященной Джерарду.
    См. Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон . п. 210 (боковая панель). ISBN 978-0321387004.
38. См. Плофкер, Математика в Индии , Princeton University Press, 2009, стр. 257
    См. «Университет Кларка». Архивировано из оригинала 15 июня 2008 г.
    См. Maor (1998), главу 3, относительно этимологии.
39. Оксфордский словарь английского языка
40. Гюнтер, Эдмунд (1620). Канон треугольный .
41. Рогель, Денис, изд. (06 декабря 2010 г.). «Реконструкция Треугольного канона Гюнтера (1620 г.)» (отчет об исследовании). ХЭЛ. инрия-00543938. Архивировано из оригинала 28 июля 2017 г. Проверено 28 июля 2017 г.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Ларс Альфорс , Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , второе издание, McGraw-Hill Book Company , Нью-Йорк, 1966.
• Бойер, Карл Б. , История математики , John Wiley & Sons, Inc., 2-е издание. (1991). ISBN 0-471-54397-7 . 
• Каджори, Флориан (1929). «§2.2.1. Тригонометрические обозначения». История математических обозначений . Том. 2. Открытый суд. стр. 142–179 (п. 511–537).
• Галь, Шмуэль и Бачелис, Борис. Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей запятой, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
• Джозеф, Джордж Г., Герб павлина: неевропейские корни математики , 2-е изд. Книги Пингвина , Лондон. (2000). ISBN 0-691-00659-8 . 
• Кантабутра, Витит, «Об аппаратном обеспечении для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций», IEEE Trans. Компьютеры 45 (3), 328–339 (1996).
• Маор, Эли, «Тригонометрические наслаждения» , Принстонский университет. Нажимать. (1998). Репринтное издание (2002 г.): ISBN 0-691-09541-8 . 
• Нидэм, Тристан, «Предисловие» к визуальному комплексному анализу . Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9 . 
• Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы для пяти мест (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон, «Тригонометрические функции», архив MacTutor History of Mathematics . (1996).
• О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон, «Мадхава Сангамаграммы», архив истории математики MacTutor . (2000).
• Пирс, Ян Г., «Мадхава Сангамаграммы». Архивировано 5 мая 2006 г. в Wayback Machine , Архив истории математики MacTutor . (2002).
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  76087042
• Вайсштейн, Эрик В., «Тангент» из MathWorld , по состоянию на 21 января 2006 г.

Внешние ссылки

• «Тригонометрические функции», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Модуль Visionlearning по волновой математике
• GonioLab Визуализация единичной окружности, тригонометрических и гиперболических функций
• q-синус Статья о q-аналоге греха в MathWorld
• q-косинус Статья о q-аналоге cos в MathWorld