моном

Полином только с одним членом

В математике моном — это, грубо говоря, многочлен , имеющий только один член . Можно встретить два определения монома:

1. Моном, также называемый степенным произведением , представляет собой произведение степеней переменных с неотрицательными целыми показателями или, другими словами, произведение переменных, возможно, с повторениями. Например, является мономом. Константа является мономом и равна пустому произведению и для любой переменной . Если рассматривается только одна переменная , это означает, что моном является либо степенью , с положительным целым числом. Если рассматриваются, скажем, несколько переменных, то каждой можно присвоить показатель степени, так что любой моном имеет вид с неотрицательными целыми числами (принимая во внимание, что любой показатель степени делает соответствующий множитель равным ). ${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
2. Моном — это моном в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициентом монома. Моном в первом смысле является частным случаем монома во втором смысле, где коэффициент равен . Например, в такой интерпретации и являются мономами (во втором примере переменные – и коэффициент – комплексное число ). ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -7x^{5}}$ ${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$ ${\displaystyle x,y,z,}$

В контексте полиномов Лорана и рядов Лорана показатели монома могут быть отрицательными, а в контексте рядов Пюизо показатели степени могут быть рациональными числами .

Поскольку слово «моном», как и слово «многочлен», происходит от позднелатинского слова «binomium» (биномиал), то путем изменения приставки « би-» (два по-латыни) одночлен теоретически следует называть «мономиальный». «Мономиальный» — это обморок по гаплологии слова «монономиальный». ^[1]

Сравнение двух определений

В любом из определений множество мономов представляет собой подмножество всех многочленов, замкнутое при умножении.

Можно найти оба варианта использования этого понятия, и во многих случаях различие просто игнорируется, см., например, примеры первого ^[2] и второго ^[3] значений. В неформальных дискуссиях это различие редко бывает важным, и наблюдается тенденция к более широкому второму значению. Однако при изучении структуры многочленов часто обязательно требуется понятие с первым значением. Это, например, имеет место при рассмотрении мономиального базиса кольца многочленов или мономиального порядка этого базиса. Аргументом в пользу первого значения является также то, что не существует очевидного другого понятия для обозначения этих величин (термин степенное произведение используется, в частности, когда моном используется с первым значением, но это не делает отсутствие констант тоже понятно), а понятие многочлена однозначно совпадает со вторым значением монома.

В оставшейся части этой статьи предполагается первое значение слова «мономиальный».

Мономиальный базис

Самый очевидный факт относительно мономов (первое значение) заключается в том, что любой многочлен представляет собой их линейную комбинацию , поэтому они образуют основу векторного пространства всех многочленов, называемую мономиальной базой - факт постоянного неявного использования в математике.

Число

Число мономов степени от переменных — это количество мультикомбинаций элементов , выбранных среди переменных (переменная может быть выбрана более одного раза, но порядок не имеет значения), которое задается коэффициентом мультимножества . Это выражение также может быть задано в форме биномиального коэффициента , как полиномиальное выражение в или с использованием возрастающей факториальной степени : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

Последние формы особенно полезны, когда число переменных фиксировано, а степень варьируется. Из этих выражений видно, что при фиксированном n число мономов степени d представляет собой полиномиальное выражение степени со старшим коэффициентом . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$

Например, количество мономов от трёх переменных ( ) степени d равно ; эти числа образуют последовательность 1, 3, 6, 10, 15,... треугольных чисел . ${\displaystyle n=3}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$

Ряд Гильберта — это компактный способ выразить количество мономов заданной степени: количество мономов степени от переменных — это коэффициент степени формального разложения в степенной ряд ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

Число мономов степени не выше d от n переменных равно . Это следует из взаимно однозначного соответствия между мономами степени по переменным и мономами степени не выше по переменным, заключающимся в замене лишней переменной на 1. ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Мультииндексная запись

Мультииндексная нотация часто полезна для компактной записи, особенно когда имеется более двух или трех переменных. Если используемые переменные образуют индексированное семейство, например, можно установить ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,}$

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),}$

и

${\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}$

Тогда моном

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }$

можно компактно записать как

${\displaystyle x^{\alpha }.}$

С помощью этих обозначений произведение двух мономов просто выражается путем сложения векторов экспонент:

${\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}$

Степень

Степень монома определяется как сумма всех показателей степени переменных, включая неявные показатели степени 1 для переменных, которые появляются без показателя степени; например, в примере предыдущего раздела степень равна . Степень 1+1+2=4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень −7 равна 0. ${\displaystyle a+b+c}$ ${\displaystyle xyz^{2}}$

Степень монома иногда называют порядком, главным образом в контексте ряда. Ее еще называют полной степенью, когда необходимо отличить ее от степени одной из переменных.

Мономиальная степень является фундаментальной для теории одномерных и многомерных полиномов. В явном виде он используется для определения степени многочлена и понятия однородного многочлена , а также для градуированных мономиальных упорядочений , используемых при формулировании и вычислении базисов Грёбнера . Неявно он используется для группировки членов ряда Тейлора по нескольким переменным .

Геометрия

В алгебраической геометрии многообразия, определяемые мономиальными уравнениями для некоторого набора α, обладают особыми свойствами однородности. Это можно сформулировать на языке алгебраических групп в терминах существования группового действия алгебраического тора (эквивалентно мультипликативной группы диагональных матриц ). Эта область изучается под названием вложений тора . ${\displaystyle x^{\alpha }=0}$

Смотрите также

• Мономиальное представление
• Мономиальная матрица
• Однородный полином
• Гомогенная функция
• Многолинейная форма
• Логарифмический график
• Сила закона
• Разреженный полином

Рекомендации

1. Словарь американского наследия английского языка , 1969.
2. Кокс, Дэвид; Джон Литтл; Донал О'Ши (1998). Использование алгебраической геометрии. Спрингер Верлаг. стр. 1. ISBN 0-387-98487-9.
3. «Моном», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]