Функциональное уравнение

Уравнение, неизвестная функция которого является функцией

В математике функциональное уравнение ^{[1] [2] [ нерелевантная цитата ]} — это в самом широком смысле уравнение , в котором одна или несколько функций фигурируют как неизвестные . Итак, дифференциальные уравнения и интегральные уравнения являются функциональными уравнениями. Однако часто используется более ограниченное значение, когда функциональное уравнение — это уравнение, связывающее несколько значений одной и той же функции. Например, функции логарифмирования по существу характеризуются логарифмическим функциональным уравнением ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y).}$

Если предполагается, что областью определения неизвестной функции являются натуральные числа , функцию обычно рассматривают как последовательность , и в этом случае функциональное уравнение (в более узком смысле) называется рекуррентным соотношением . Таким образом, термин «функциональное уравнение» используется в основном для вещественных и комплексных функций . Более того, для решений часто предполагается условие гладкости , поскольку без такого условия большинство функциональных уравнений имеют очень нерегулярные решения. Например, гамма-функция — это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению и начальному значению . Существует множество функций, удовлетворяющих этим условиям, но гамма-функция — единственная, мероморфная во всей комплексной плоскости и логарифмически выпуклая для действительного x . и положительный ( теорема Бора–Моллерапа ). ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$

Примеры

• Рекуррентные отношения можно рассматривать как функциональные уравнения в функциях над целыми или натуральными числами, в которых различия между индексами термов можно рассматривать как применение оператора сдвига . Например, рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи , , где и ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$

• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$, характеризующее периодические функции

• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$, характеризующий четные функции , и аналогично , характеризующий нечетные функции ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$

• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$, характеризующий функциональные квадратные корни функции g

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$( функциональное уравнение Коши ), удовлетворяемое линейными отображениями . Уравнение может, в зависимости от выбранной аксиомы , также иметь другие патологические нелинейные решения, существование которых можно доказать с помощью базиса Гамеля для действительных чисел.
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$удовлетворяются все показательные функции . Как и аддитивное функциональное уравнение Коши, оно также может иметь патологические разрывные решения.
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, удовлетворяемый всеми логарифмическими функциями и, по взаимно простым целым аргументам, аддитивными функциями
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, удовлетворяемый всеми степенными функциями и, по взаимно простым целым аргументам, мультипликативными функциями
• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$(квадратное уравнение или закон параллелограмма )
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$(функциональное уравнение Дженсена)
• ${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!}$(функциональное уравнение Даламбера)
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$( уравнение Абеля )
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$( уравнение Шредера ).
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$( уравнение Бетчера ).
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$( уравнение Джулии ).
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$(Леви-Чивита),
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$( формула сложения синуса и формула сложения гиперболического синуса ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$( формула сложения косинусов ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!}$( формула сложения гиперболических косинусов ).
• Коммутативные и ассоциативные законы представляют собой функциональные уравнения. В привычной форме закон ассоциативности выражается записью бинарной операции в инфиксной записи :
  $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,}$$
  но если мы напишем f ( a ,  b ) вместо a ○ b , то ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение,
  $${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$$

• Функциональное уравнение
  $${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$
  удовлетворяется дзета-функцией Римана , как доказано здесь . Заглавная буква Γ обозначает гамма-функцию .

• Гамма-функция является уникальным решением следующей системы ^{трех уравнений :}
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          ( формула отражения Эйлера )
• Функциональное уравнение
  $${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$
  где a , b , c , d — целые числа, удовлетворяющие , т.е. = 1, определяет f как модульную форму порядка k . ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

Одна общая особенность всех перечисленных выше примеров ^{[ необходимы пояснения ]} заключается в том, что в каждом случае внутри аргумента находятся две или более известные функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда тождественная функция ). неизвестных функций, которые необходимо решить. ^{[ нужна цитата ]}

Когда дело доходит до поиска всех решений, возможно, следует применить условия математического анализа ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения , которые являются непрерывными функциями, являются «разумными», в то время как другие решения, которые вряд ли будут иметь практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Гамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа — еще один хорошо известный пример.

Инволюции

Инволюции характеризуются функциональным уравнением . Они появляются в функциональном уравнении Бэббиджа (1820 г.) ^[3] ${\displaystyle f(f(x))=x}$

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Другие инволюции и решения уравнения включают

• ${\displaystyle f(x)=a-x\,,}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$и
• ${\displaystyle f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,}$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Решение

Одним из методов решения элементарных функциональных уравнений является замена. ^{[ нужна цитата ]}

Некоторые решения функциональных уравнений используют сюръективность , инъективность , нечетность и четность . ^{[ нужна цитата ]}

Некоторые функциональные уравнения решены с использованием анзацев , математической индукции . ^{[ нужна цитата ]}

Некоторые классы функциональных уравнений можно решать с помощью компьютерных методов. ^{[ неясно ] [4]}

В динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана используются различные методы последовательного приближения ^{[5] [6]} , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой .

Смотрите также

• Функциональное уравнение (L-функция)
• уравнение Беллмана
• Динамическое программирование
• Неявная функция
• Функционально-дифференциальное уравнение

Примечания

1. Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства. 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ИСБН 0-7923-6484-8.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
2. Червик, Стефан (2002). Функциональные уравнения и неравенства с несколькими переменными . PO Box 128, Farrer Road, Сингапур 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410. ИСБН  981-02-4837-7.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
3. Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых действительных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. дои : 10.2307/2007270. JSTOR  2007270.
4. Хази, Аттила (1 марта 2004 г.). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». Математические уравнения . 67 (1): 47–62. дои : 10.1007/s00010-003-2703-9. ISSN  1420-8903. S2CID  118563768.
5. Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Издательство Принстонского университета .
6. Снедович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .

Рекомендации

• Янош Ачель , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, переиздано Dover Publications, ISBN 0486445232 . 
• Янош Ачель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
• К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6  ; В сети. 
• Пл. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
• Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Биркхойзер, 2009.
• Хенрик Стеткер, Функциональные уравнения групп , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
• Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

Внешние ссылки

• Функциональные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений.
• Функциональные уравнения: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
• Текст сборника ИМО (в архиве) по функциональным уравнениям при решении задач.