Безразмерная величина

Количество без физического измерения

Безразмерные величины , также известные как величины размерности один ^[1], определяются неявно таким образом, который предотвращает их агрегирование в единицы измерения . ^{[2] [3]} Обычно эти величины выражаются в виде соотношений , соответствующих другой системе, и не требуют явно определенных единиц измерения . Например, объем алкоголя (ABV) представляет собой объемное соотношение ; его значение остается независимым от конкретных используемых единиц объема , например, в миллилитрах на миллилитр (мл/мл).

Единица признается безразмерной базовой величиной . ^[4] Радианы служат безразмерной единицей измерения углов , полученной из универсального отношения 2π, умноженного на радиус круга, равный его длине. ^[5]

Безразмерные величины играют решающую роль, выступая в качестве параметров в дифференциальных уравнениях в различных технических дисциплинах. В исчислении такие понятия, как безразмерные отношения в пределах или производные, часто включают безразмерные величины. В дифференциальной геометрии использование безразмерных параметров проявляется в геометрических соотношениях и преобразованиях. Физика опирается на безразмерные числа, такие как число Рейнольдса в гидродинамике , ^[6] постоянная тонкой структуры в квантовой механике , ^[7] и фактор Лоренца в теории относительности . ^[8] В химии свойства состояния и соотношения , такие как соотношения концентраций мольных долей, являются безразмерными. ^[9]

История

Величины, имеющие размерность один, безразмерные величины , регулярно встречаются в науке и формально рассматриваются в области анализа размерностей . В 19 веке французский математик Жозеф Фурье и шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл привели к значительным разработкам в современных концепциях измерения и единицы измерения . Более поздние работы британских физиков Осборна Рейнольдса и лорда Рэлея способствовали пониманию безразмерных чисел в физике. Основываясь на методе размерного анализа Рэлея, Эдгар Бэкингем доказал теорему π (независимо от предыдущей работы французского математика Жозефа Бертрана ), чтобы формализовать природу этих величин. ^[10]

Многочисленные безразмерные числа, в основном отношения, были придуманы в начале 1900-х годов, особенно в области механики жидкости и теплопередачи . Измерение логарифма отношений как уровней в (производной) единице децибела (дБ) в настоящее время находит широкое применение.

Периодически поступали предложения «исправить» систему СИ, чтобы уменьшить путаницу в отношении физических размеров. Например, в статье 2017 года в журнале Nature ^[11] приводились доводы в пользу формализации радиана как физической единицы. Идея была опровергнута ^[12] на том основании, что такое изменение приведет к несогласованности как для установленных безразмерных групп, таких как число Струхаля , так и для математически различных объектов, которые имеют одни и те же единицы измерения, таких как крутящий момент ( векторное произведение ) в зависимости от энергии. ( скалярное произведение ). В другом случае, в начале 2000-х годов, Международный комитет мер и весов обсуждал наименование единицы 1 как « уно », но идея просто ввести новое название СИ для 1 была отброшена. ^{[13] [14] [15]}

Теорема Букингема о π

Теорема Бэкингема о π ^[16] указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество , включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись в зависимости от системы единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бекингема не выполнялась бы.

Другое следствие теоремы состоит в том, что функциональная зависимость между определенным количеством (скажем, n ) переменных может быть уменьшена на количество (скажем, k ) независимых измерений , встречающихся в этих переменных, чтобы дать набор p = n - k независимых , безразмерные величины . Для экспериментатора разные системы, имеющие одно и то же описание безразмерной величиной , эквивалентны.

Целые числа

Целые числа могут представлять собой безразмерные величины. Они могут представлять собой дискретные величины, которые также могут быть безразмерными. Более конкретно, счетные числа можно использовать для выражения исчисляемых величин . ^{[17] [18]} Это понятие формализовано как количество объектов (символ N ) в ISO 80000-1 . ^[19] Примеры включают количество частиц и размер популяции . В математике «количество элементов» в наборе называется мощностью . Исчисляемые существительные – родственное лингвистическое понятие. Числа счета, такие как количество битов , можно объединять с единицами частоты ( обратными секундами ) для получения единиц скорости счета, например битов в секунду . Данные подсчета — это родственное понятие в статистике. Эту концепцию можно обобщить, разрешив нецелым числам учитывать доли полного предмета, например, количество ходов, равное половине.

Соотношения, пропорции и углы

Безразмерные величины могут быть получены как отношения величин, которые не являются безразмерными, но размеры которых сокращаются в результате математической операции. ^{[19] [20]} Примеры частных первого измерения включают расчет наклонов или некоторых коэффициентов пересчета единиц измерения . Другой набор примеров - это массовые доли или мольные доли , часто записываемые с использованием обозначений частей на миллион , таких как ppm (= 10 ^-6 ), ppb (= 10 ^-9 ) и ppt (= 10 ^-12 ), или, возможно, как это сбивает с толку соотношения. двух одинаковых единиц ( кг /кг или моль /моль). Например, объем алкоголя , характеризующий концентрацию этанола в алкогольном напитке , можно записать как мл/100 мл .

Другими распространенными пропорциями являются проценты %  (= 0,01),   ‰  (= 0,001). Некоторые угловые единицы, такие как поворот , радиан и стерадиан, определяются как отношения величин одного и того же вида. В статистике коэффициент вариации представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему значению и используется для измерения дисперсии данных .

Утверждалось, что величины, определяемые как отношения Q = A / B , имеющие равные размерности в числителе и знаменателе, на самом деле являются лишь безразмерными величинами и по-прежнему имеют физическую размерность, определяемую как dim Q = dim A × dim B ^-1 . ^[21] Например, влажность может быть определена как отношение объемов (объемная влага, м ³ ⋅м ^-3 , размерность L ³ ⋅L ^-3 ) или как отношение масс (весовая влажность, единицы кг⋅кг ^{- 1} , размерность М⋅М ^-1 ); обе были бы безразмерными величинами, но разной размерности.

Безразмерные физические константы

Некоторые физические константы универсального измерения, такие как скорость света в вакууме, универсальная гравитационная постоянная , постоянная Планка , постоянная Кулона и постоянная Больцмана, могут быть нормализованы к 1, если соответствующие единицы измерения времени , длины , массы , заряда и выбрана температура . Полученная система единиц известна как натуральные единицы , особенно в отношении этих пяти констант, — единицы Планка . Однако не все физические константы можно нормализовать таким способом. Например, значения следующих констант не зависят от системы единиц, не могут быть определены и могут быть определены только экспериментально: ^[22]

• инженерная деформация — мера физической деформации, определяемая как изменение длины, деленная на первоначальную длину.

• константа тонкой структуры α ≈ 1/137 , которая характеризует величину электромагнитного взаимодействия между электронами.
• β (или μ ) ≈ 1836, отношение масс протона к электрону . Это отношение представляет собой массу покоя протона , разделенную на массу электрона . Аналогичное соотношение можно определить для любой элементарной частицы ;
• Прочность сильной силовой связи α _s ≈ 1;
• Планковское отношение массы любой данной элементарной частицы, . ${\textstyle {\sqrt {\hbar c/G}}}$

Список

Физика и инженерия

• Фактор Лоренца ^[23] - параметр, используемый в контексте специальной теории относительности для замедления времени, сокращения длины и релятивистских эффектов между наблюдателями, движущимися с разными скоростями.
• Число Френеля – волновое число (пространственная частота) в зависимости от расстояния.
• Число Маха – отношение скорости объекта или потока к скорости звука в жидкости.

• Бета (физика плазмы) - отношение давления плазмы к магнитному давлению, используется в физике магнитосферы, а также в физике термоядерной плазмы.
• Числа Дамкелера (Да) - используются в химической технологии для связи шкалы времени химической реакции (скорости реакции) со скоростью явлений переноса, происходящих в системе.
• Модуль Тиле – описывает взаимосвязь между диффузией и скоростью реакции в гранулах пористого катализатора без ограничений массообмена.
• Числовая апертура – ​​характеризует диапазон углов, под которыми система может принимать или излучать свет.
• Число Шервуда (также называемое числом массообмена Нуссельта ) представляет собой безразмерное число, используемое в операции массообмена. Он представляет собой отношение конвективного массопереноса к скорости диффузионного массопереноса.
• Число Шмидта - определяется как соотношение коэффициента диффузии импульса (кинематической вязкости) и коэффициента диффузии массы и используется для характеристики потоков жидкости, в которых одновременно происходят процессы конвекции диффузии импульса и массы.
• Число Рейнольдса обычно используется в механике жидкости для характеристики потока, включая свойства жидкости и потока. Он интерпретируется как отношение сил инерции к силам вязкости и может указывать на режим потока, а также коррелировать с фрикционным нагревом применительно к потоку в трубах. ^[24]
• Число Зукоски, обычно отмечаемое , представляет собой отношение скорости тепловыделения при пожаре к энтальпии расхода газа, циркулирующего через огонь. Случайные и природные пожары обычно имеют . Плоские пожары, такие как лесные пожары, имеют . Пожары, возникающие из сосудов или труб, находящихся под давлением, с дополнительным импульсом, вызванным давлением, имеют . ^[25] ${\displaystyle Q^{*}}$ ${\displaystyle Q^{*}\approx 1}$ ${\displaystyle Q^{*}<1}$ ${\displaystyle Q^{*}\gg 1}$
• Число Эккерта
• Номер Биота
• Число Грасгофа

Химия

• Относительная плотность - плотность относительно воды.
• Относительная атомная масса , Стандартный атомный вес
• Константа равновесия (иногда безразмерная)

Другие поля

• Стоимость транспорта – это эффективность перемещения из одного места в другое.
• Эластичность – это измерение пропорционального изменения одной экономической переменной в ответ на изменение другой
• Базовый репродуктивный коэффициент — это безразмерное соотношение, используемое в эпидемиологии для количественной оценки заразности инфекции.

Смотрите также

• Список безразмерных величин
• Произвольная единица
• Размерный анализ
• Нормализация (статистика) и стандартизированный момент — аналогичные понятия в статистике.
• Порядки величины (числа)
• Сходство (модель)

Рекомендации

1. «1,8 (1,6) количество размерности одной безразмерной величины» . Международный словарь по метрологии — Основные и общие понятия и связанные с ними термины (ВИМ) . ИСО . 2008 год . Проверено 22 марта 2011 г.
2. «Брошюра СИ: Международная система единиц, 9-е издание» . БИПМ .ISBN 978-92-822-2272-0.
3. Мор, Питер Дж.; Филлипс, Уильям Дэниел (01 июня 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ». Метрология . 52 .
4. Миллс, IM (май 1995 г.). «Единство как единое целое». Метрология . 31 (6): 537–541. Бибкод : 1995Метро..31..537М. дои : 10.1088/0026-1394/31/6/013. ISSN  0026-1394.
5. Зебровский, Эрнест (1999). История круга: математические рассуждения и физическая вселенная. Издательство Университета Рутгерса. ISBN 978-0-8135-2898-4.
6. Ценгель, Юнус; Цимбала, Джон (16 октября 2013 г.). ЭЛЕКТРОННАЯ КНИГА: Основы и приложения механики жидкости (единицы СИ). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-717359-3.
7. Уэбб, Дж. К.; Кинг, Дж.А.; Мерфи, Монтана; Фламбаум, В.В.; Карсуэлл, РФ; Бейнбридж, МБ (31 октября 2011 г.). «Признаки пространственного изменения постоянной тонкой структуры». Письма о физических отзывах . 107 (19): 191101. arXiv : 1008.3907 . Бибкод : 2011PhRvL.107s1101W. doi : 10.1103/PhysRevLett.107.191101. ПМИД  22181590.
8. Эйнштейн, А. (23 февраля 2005 г.). «Zur Elektrodynamic bewegter Körper [AdP 17, 891 (1905)]». Аннален дер Физик . 14 (С1): 194–224. дои : 10.1002/andp.200590006.
9. Гош, Сумьядип; Джонс, Рассел Т. (6 сентября 2016 г.). «Безразмерное уравнение состояния для прогнозирования фазового поведения микроэмульсии». Ленгмюр . 32 (35): 8969–8979. doi : 10.1021/acs.langmuir.6b02666. ISSN  0743-7463. ПМИД  27504666.
10. Бэкингем, Эдгар (1914). «О физически подобных системах; иллюстрации использования уравнений размерностей». Физический обзор . 4 (4): 345–376. Бибкод : 1914PhRv....4..345B. doi : 10.1103/PhysRev.4.345. hdl : 10338.dmlcz/101743 .
11. «Потерянное измерение: изъян в системе СИ заставляет физиков бороться с неоднозначными единицами измерения - единицы СИ нуждаются в реформе, чтобы избежать путаницы» (PDF) . На этой неделе: редакционные статьи. Природа . 548 (7666): 135. 10 августа 2017 г. Бибкод : 2017Natur.548R.135.. doi : 10.1038/548135b. ISSN  1476-4687. PMID  28796224. S2CID  4444368. Архивировано (PDF) из оригинала 21 декабря 2022 г. Проверено 21 декабря 2022 г.(1 страница)
12. Вендл, Майкл Кристофер (сентябрь 2017 г.). «Не вмешивайтесь в согласованность единиц СИ». Природа . 549 (7671): 160. дои : 10.1038/549160d . ISSN  1476-4687. PMID  28905893. S2CID  52806576.
13. «Консультативный комитет BIPM по единицам (CCU), 15-е заседание» (PDF) . 17–18 апреля 2003 г. Архивировано из оригинала (PDF) 30 ноября 2006 г. Проверено 22 января 2010 г.
14. «Консультативный комитет BIPM по единицам (CCU), 16-е заседание» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 ноября 2006 г. Проверено 22 января 2010 г.
15. Дыбкер, Рене (2004). «Онтология свойств физических, химических и биологических систем». Приложение APMIS. (117): 1–210. ПМИД  15588029.
16. Бэкингем, Э. (1914). «О физически подобных системах; иллюстрации использования уравнений размерностей». Физический обзор . 4 (4): 345–376. Бибкод : 1914PhRv....4..345B. doi : 10.1103/physrev.4.345.
17. Ротштейн, Сьюзен (2017). Семантика счета и измерения. Ключевые темы семантики и прагматики. Издательство Кембриджского университета . п. 206. ИСБН 978-1-107-00127-5. Проверено 30 ноября 2021 г.
18. Берч, Дэниел Б.; Гири, Дэвид Сирил ; Кепке, Кэтлин Манн (2015). Развитие математического познания: нейронные субстраты и генетические влияния. Эльзевир Наука . п. 13. ISBN 978-0-12-801909-2. Проверено 30 ноября 2021 г.
19. «ISO 80000-1:2022(ru) Величины и единицы. Часть 1: Общие сведения». iso.org . Проверено 23 июля 2023 г.
20. «7.3 Безразмерные группы» (PDF) . Массачусетский Институт Технологий . Проверено 3 ноября 2023 г.
21. Йоханссон, Ингвар (2010). «Метрологическое мышление нуждается в понятиях параметрических величин, единиц и размеров». Метрология . 47 (3): 219–230. Бибкод : 2010Metro..47..219J. дои : 10.1088/0026-1394/47/3/012. ISSN  0026-1394. S2CID  122242959.
22. Баэз, Джон Карлос (22 апреля 2011 г.). «Сколько существует фундаментальных констант?» . Проверено 7 октября 2015 г.
23. Эйнштейн, А. (23 февраля 2005 г.). «Zur Elektrodynamic bewegter Körper [AdP 17, 891 (1905)]». Аннален дер Физик . 14 (С1): 194–224. дои : 10.1002/andp.200590006.
24. Хуба, Джозеф Д. (2007). «Формула NRL по плазме: безразмерные числа механики жидкости». Военно-морская исследовательская лаборатория . стр. 23–25. Архивировано из оригинала 27 апреля 2021 г. Проверено 7 октября 2015 г.
25. Зукоски, Эдвард Э. (1986). «Гидодинамические аспекты пожаров в помещениях» (PDF) . Наука пожарной безопасности . Проверено 13 июня 2022 г.

дальнейшее чтение

• Флатер, Дэвид (октябрь 2017 г.) [20 мая 2017 г., 23 марта 2017 г., 22 ноября 2016 г.]. Написано в Национальном институте стандартов и технологий , Гейтерсберг, Мэриленд, США. «Урегулирование претензий при обращении с безразмерными величинами в системе СИ». Измерение . 109 . Лондон, Великобритания: Elsevier Ltd .: 105–110. Бибкод : 2017Измерение..109..105F. doi :10.1016/j.measurement.2017.05.043. eISSN  1873-412X. ISSN  0263-2241. ПМЦ  7727271 . PMID  33311828. NIHMS1633436.[1] (15 страниц)

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с безразмерными числами, на Викискладе?