Неравенство (математика)

Математическое отношение, выраженное с помощью < или ≤

Допустимые области линейного программирования определяются набором неравенств.

В математике неравенство — это отношение, которое осуществляет неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями . ^[1] Чаще всего используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Для обозначения различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:

• Обозначение a < b означает, что a меньше b .
• Обозначение a > b означает, что a больше , чем b .

В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства , ^[1] означающие, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключено.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначение a ≤ b или a ⩽ b означает, что a меньше или равно b (или, что то же самое, не более b или не больше b ).
• Обозначение a ≥ b или a ⩾ b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, по крайней мере b или не меньше b ).

Отношение «не больше» также может быть представлено a ≯ b , символом «больше», разделенным пополам косой чертой, «нет». То же самое верно для не менее чем и a ≮ b .

Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. ^[2] Здесь не говорится, что одно больше другого; для этого даже не требуется, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .

В технических науках менее формальное использование обозначений заключается в утверждении, что одна величина «намного больше» другой, ^[3] обычно на несколько порядков .

• Обозначение a ≪ b означает, что a намного меньше b . ^[4]
• Обозначение a ≫ b означает, что a намного больше b . ^[5]

Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой прямой

Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Конверсы

Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :

a ⩽ b и b ⩾ a эквивалентны.

Транзитивность

Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c : ^[6]

Если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c .

Если любая из посылок представляет собой строгое неравенство, то вывод представляет собой строгое неравенство:

Если a ≤ b и b < c , то a < c .

Если a < b и b ≤ c , то a < c .

Сложение и вычитание

Если x < y , то x + a < y + a .

Общая константа c может быть добавлена ​​или вычтена из обеих частей неравенства. ^[2] Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ⩽ b , то a + c ⩽ b + c и a - c ⩽ b - c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

Умножение и деление

Если x < y и a > 0, то ax < ay .

Если x < y и a < 0, то ax > ay .

Свойства, касающиеся умножения и деления, утверждают, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :

Если a ≤ b и c > 0, то ac ≤ bc и a / c ≤ b / c .

Если a ≤ b и c < 0, то ac ≥ bc и a / c ≥ b / c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда используется отрицательная константа. В более общем смысле это относится к упорядоченному полю . Дополнительную информацию см. в § Упорядоченные поля .

Противоположное число

Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :

Если a ≤ b , то − a ≥ − b .

Мультипликативный обратный

Если оба числа положительны, то отношение неравенства между мультипликативными обратными числами противоположно отношению неравенства между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):

Если a ≤ b , то1/а≥1/б.

Все случаи знаков a и b также можно записать в цепной записи следующим образом:

Если 0 < a ≤ b , то1/а≥1/б> 0.

Если a ≤ b < 0, то 0 >1/а≥1/б.

Если a < 0 < b , то1/а< 0 <1/б.

Применение функции к обеим сторонам

График y = ln x

Любая монотонно возрастающая функция по ее определению ^[7] может быть применена к обеим частям неравенства без нарушения соотношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства означает, что соотношение неравенства изменится на противоположное. Правила аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий является строгим, то полученное неравенство является нестрогим. Фактически, правила аддитивных и мультипликативных обратных операций являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

• Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (эквивалентно - n <0), когда a и b - положительные действительные числа:
  0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а ^п ≤ б ^п .
  0 ≤ а ≤ б ⇔ а ^{- п} ≥ б ^{- п} ≥ 0.
• Берем натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:
  0 < а ≤ б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).
  0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).
  (это верно, поскольку натуральный логарифм является строго возрастающей функцией.)

Формальные определения и обобщения

(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . ^[8] То есть для всех a , b и c в P оно должно удовлетворять трем следующим пунктам:

1. a ≤ a ( рефлексивность )
2. если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
3. если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c ( транзитивность )

Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . ^[9] Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P , включают:

1. Для каждых a и b в P a ≤ b или b ≤ a ( общий порядок ) .
2. Для всех a и b в P , для которых a < b , существует c в P такой, что a < c < b ( плотный порядок ).
3. Каждое непустое подмножество P с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу ( супремум) в P ( свойство наименьшей верхней границы ).

Упорядоченные поля

Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

• a ≤ b подразумевает a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет за собой 0 ≤ a × b .

Оба ( Q , +, ×, ≤) и ( R , +, ×, ≤) являются упорядоченными полями , но ≤ нельзя определить, чтобы сделать ( C , +, ×, ≤) упорядоченным полем , ^[10] потому что −1 — это квадрат i , поэтому он будет положительным.

Помимо того, что R является упорядоченным полем, он также обладает свойством «наименьшая верхняя граница» . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле такого качества. ^[11]

Цепное обозначение

Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из чего по свойству транзитивности, указанному выше, также следует, что a < c . Согласно вышеуказанным законам, можно прибавлять или вычитать одно и то же число ко всем трем слагаемым, а также умножать или делить все три слагаемых на одно и то же ненулевое число и переворачивать все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c - e .

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a ₁ ⩽ a ₂ ⩽ ... ⩽ a _n означает, что a _i ⩽ a _{i +1} для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a _i ≤ a _j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо, оценивать члены самостоятельно. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, что дает x < 1/2 и x ≥ -1 соответственно, которые можно объединить в окончательное решение -1 ≤ x < 1/2.

Иногда цепные обозначения используются с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смыслом является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного ЧУУ записывается как a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, например <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b , b = c и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение. ^[12]

Резкие неравенства

Неравенство называется резким , если его нельзя ослабить и при этом в целом сохранить справедливость. Формально универсальное кванторное неравенство φ называется точным, если для любого действительного универсального кванторного неравенства ψ , если выполняется ψ ⇒ φ , то также выполняется ψ ⇔ φ . Например, неравенство ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 является точным, тогда как неравенство ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 не является точным. ^{[ нужна цитата ]}

Неравенство между средствами

Между средствами существует множество неравенств. Например, для любых положительных чисел a ₁ , a ₂ , ..., a _n мы имеем H ≤ G ≤ A ≤ Q , где они представляют собой следующие средние значения последовательности:

Гармоническое среднее

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$

Среднее геометрическое

${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$

Среднее арифметическое

${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$

квадратичное среднее

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Неравенство Коши – Шварца

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства внутреннего произведения верно, что

$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$

продуктскалярное произведениеевклидовом пространстве R ⁿ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

Силовое неравенство

« Степенное неравенство » — это неравенство, содержащее члены формы a ^b , где a и b — действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях математических олимпиад .

Примеры

• Для любого действительного x ,
  $${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Если х > 0 и р > 0, то
  $${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$$
  В пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ).
• Если х > 0, то
  $${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Если х > 0, то
  $${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Если x , y , z > 0, то
  $${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Для любых действительных различных чисел a и b ,
  $${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то
  $${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Если x , y , z > 0, то
  $${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• Если a , b > 0, то ^[13]
  $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Если a , b > 0, то ^[14]
  $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Если a , b , c > 0, то
  $${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Если а , b > 0, то
  $${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Известные неравенства

Математики часто используют неравенства для определения величин, для которых невозможно легко вычислить точные формулы. Некоторые неравенства используются настолько часто, что имеют названия:

• Неравенство Азумы
• Неравенство Бернулли
• Неравенство Белла
• Неравенство Буля
• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Чебышева
• Неравенство Чернова
• Неравенство Крамера – Рао
• Неравенство Хеффдинга
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Колмогорова
• Неравенство Маркова
• Неравенство Минковского
• Неравенство Несбитта
• Неравенство Педо
• Неравенство Пуанкаре
• Неравенство Самуэльсона
• Неравенство Соболева
• Неравенство треугольника

Комплексные числа и неравенства

Множество комплексных чисел с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы оно стало упорядоченным полем . Чтобы создать упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ является полным порядком , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a ² ; это означает, что i ² > 0 и 1 ² > 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.

Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно: «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда используется определение лексикографического порядка :

• a ≤ b , если
  • Re( a ) <Re( b ) или
  • Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )

Легко доказать, что для этого определения из a ⩽ b следует a + c ⩽ b + c .

Векторные неравенства

Отношения неравенства, аналогичные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам (имеется в виду, что и , где и действительные числа для ), мы можем определить следующие отношения: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle x=y}$, если для . ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle x<y}$, если для . ${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle x\leq y}$, если для и . ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x\neq y}$
• ${\displaystyle x\leqq y}$, если для . ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

Аналогичным образом мы можем определить отношения для , и . Эти обозначения согласуются с обозначениями, использованными Матиасом Эрготтом в «Многокритериальной оптимизации» (см. «Ссылки»). ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x\geq y}$ ${\displaystyle x\geqq y}$

Свойство трихотомии ( как указано выше) неприменимо для векторных отношений. Например, когда и , между этими двумя векторами не существует действительного отношения неравенства. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует параллельное свойство для векторных неравенств. ${\displaystyle x=(2,5)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle y=(3,4)^{\mathsf {T}}}$

Системы неравенств

Системы линейных неравенств можно упростить методом исключения Фурье – Моцкина . ^[15]

Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это активная область исследований по разработке алгоритмов, более эффективных в конкретных случаях.

Смотрите также

• Бинарное отношение
• Скобка (математика) для использования аналогичных знаков ‹ и › в качестве скобок .
• Инклюзия (теория множеств)
• Неравенство
• Интервал (математика)
• Список неравенств
• Список неравенств треугольника
• Частично заказанный комплект
• Операторы отношения , используемые в языках программирования для обозначения неравенства.

Рекомендации

1. «Определение неравенства (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
2. «Неравенство». www.learnalberta.ca . Проверено 3 декабря 2019 г.
3. Полянин, А.Д.; Манжиров А.В. (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых. ЦРК Пресс. п. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0. Проверено 19 ноября 2021 г.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Намного меньше». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Намного большее». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
6. Драхман, Брайон С.; Клауд, Майкл Дж. (2006). Неравенства: с приложениями к технике. Springer Science & Business Media. стр. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5.
7. «Доказательство неравенства». www.cs.yale.edu . Проверено 3 декабря 2019 г.
8. Симовичи, Дэн А. и Джераба, Чабане (2008). «Частично упорядоченные множества». Математические инструменты для интеллектуального анализа данных: теория множеств, частичные порядки, комбинаторика . Спрингер. ISBN 9781848002012.
9. Вайсштейн, Эрик В. «Частично упорядоченный набор». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
10. Фельдман, Джоэл (2014). «Поля» (PDF) . math.ubc.ca. _ Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 декабря 2019 г.
11. Стюарт, Ян (2007). Почему красота — это истина: история симметрии. Хачетт Великобритания. п. 106. ИСБН 978-0-4650-0875-9.
12. Брайан В. Керниган и Деннис М. Ричи (апрель 1988 г.). Язык программирования Си . Серия программного обеспечения Prentice Hall (2-е изд.). Энглвуд Клиффс / Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0131103628.Здесь: Раздел A.7.9 Операторы отношения , стр. 167: Цитата: «a<b<c анализируется как (a<b)<c»
13. Лауб, М.; Илани, Ишай (1990). «Е3116». Американский математический ежемесячник . 97 (1): 65–67. дои : 10.2307/2324012. JSTOR  2324012.
14. Маньяма, С. (2010). «Решение одной гипотезы о неравенствах со степенными экспоненциальными функциями» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 7 (2): 1. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
15. Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2006). Понимание и использование линейного программирования . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-30697-8.

Источники

• Харди Г., Литтлвуд Дж. Э., Полиа Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05206-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Бекенбах, Э.Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенства . ISBN Random House Inc. 0-394-01559-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Драхман, Байрон К., Клауд, Майкл Дж. (1998). Неравенства: с приложениями к технике . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98404-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi :10.1016/j.aam.2004.05.001
• Мюррей С. Кламкин. «Быстрые неравенства» (PDF) . Математические стратегии . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства». Электронная онлайн-книга в формате PDF.
• Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач». Семинар по старым проблемам . Kungliga Tekniska högskolan.
• «3-й УСАМО». Архивировано из оригинала 3 февраля 2008 г.
• Пачпатте, Б.Г. (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 67 (первое изд.). Амстердам, Нидерланды: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2. ISSN  0924-6509. МР  2147066. Збл  1091.26008.
• Эрготт, Матиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Шпрингер-Берлин. ISBN 3-540-21398-8.
• Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-54677-5.

Внешние ссылки

• «Неравенство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• График неравенства Эда Пегга-младшего.
• Запись AoPS Wiki о неравенстве