Экспоненциальная функция

Математическая функция, обозначаемая exp(x) или e^x

Показательные функции с основаниями 2 и 1/2

Экспоненциальная функция — это математическая функция, обозначаемая или (где аргумент x записывается как показатель степени ). Если не указано иное, этот термин обычно относится к положительной функции действительной переменной , хотя его можно распространить на комплексные числа или обобщить на другие математические объекты, такие как матрицы или алгебры Ли . Показательная функция возникла из операции возведения числа в степень (многократного умножения), но различные современные определения позволяют ее строго распространить на все действительные аргументы , включая иррациональные числа . Ее повсеместное появление в чистой и прикладной математике побудило математика Вальтера Рудина считать показательную функцию «самой важной функцией в математике». ^[1] ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$

Функции для положительных действительных чисел также известны как показательные функции и удовлетворяют тождеству возведения в степень : ${\displaystyle f(x)=b^{x}}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle b^{x+y}=b^{x}b^{y}{\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

математическая константачислом Эйлераэкспоненциальной функциейестественной экспоненциальной функцией01 ${\displaystyle b^{n}=b\times \cdots \times b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=b^{1}}$ ${\displaystyle e=\exp(1)=2.71828\ldots }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$для всех и ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(0)=1.}$

Отношение для и вещественный или комплексный позволяет выразить общие показательные функции через естественную показательную функцию. ${\displaystyle b^{x}=e^{x\ln b}}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle x}$

В более общем смысле, особенно в прикладных настройках, любая функция, определяемая ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)=ce^{ax}=cb^{kx},{\text{ with }}k=a/\ln b,\ a\neq 0,\ b,c>0}$$

также известна как экспоненциальная функция, поскольку она решает задачу начального значения , то есть скорость ее изменения в каждой точке пропорциональна значению функции в этой точке. Такое поведение моделирует различные явления в биологических, физических и социальных науках, например, неограниченный рост самовоспроизводящегося населения , распад радиоактивного элемента , сложные проценты, начисляемые на финансовый фонд, или растущий объем производственных знаний. . ${\displaystyle f'=af,\ f(0)=c}$

Действительная показательная функция также может быть определена как степенной ряд , который легко расширяется до комплексных аргументов для определения комплексной показательной функции . Эта функция принимает все комплексные значения, кроме 0, и тесно связана с комплексными тригонометрическими функциями , как показывает формула Эйлера : ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}\cos(y)\,+\,i\,e^{x}\sin(y).}$

Благодаря своим более абстрактным свойствам и характеристикам экспоненциальная функция может быть обобщена на гораздо более широкие контексты, такие как квадратные матрицы и группы Ли . Более того, определение дифференциального уравнения можно обобщить на риманово многообразие .

Действительная показательная функция является биекцией из на интервал . ^[2] Его обратной функцией является натуральный логарифм , обозначаемый , ^{[nb 1]} , ^{[nb 2]} или , а в некоторых старых текстах ^[3] он назывался антилогарифмом . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log _{e}}$

График

График имеет восходящий наклон и увеличивается быстрее с увеличением x . ^[4] График всегда лежит выше оси x , но становится сколь угодно близким к ней при больших отрицательных x ; таким образом, ось x является горизонтальной асимптотой . Уравнение означает, что наклон касательной к графику в каждой точке равен ее координате y в этой точке. ${\displaystyle y=e^{x}}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

Связь с более общими показательными функциями

Показательную функцию иногда называют естественной показательной функцией , чтобы отличить ее от других показательных функций. Изучение любой показательной функции легко свести к изучению естественной показательной функции, поскольку по определению для положительного b ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

$${\displaystyle b^{x}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} e^{x\ln b}}$$

Как функции действительной переменной показательные функции однозначно характеризуются тем, что производная такой функции прямо пропорциональна значению функции. Константа пропорциональности этого отношения представляет собой натуральный логарифм по основанию b :

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\ln(b)}=e^{x\ln(b)}\ln(b)=b^{x}\ln(b).}$$

При b > 1 функция возрастает (как показано для b = e и b = 2 ), поскольку делает производную всегда положительной; это часто называют экспоненциальным ростом . При положительном b < 1 функция убывает (как показано для b = ${\displaystyle b^{x}}$ ${\displaystyle \ln b>0}$1/2); это часто называют экспоненциальным затуханием . Для b = 1 функция постоянна.

Число Эйлера e = 2,71828... ^[5] является единственной базой, для которой константа пропорциональности равна 1, поскольку , так что функция является собственной производной: ${\displaystyle \ln(e)=1}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\ln(e)=e^{x}.}$$

Эта функция, также обозначаемая как exp x , называется «естественной показательной функцией», ^{[6] [7]} или просто «показательной функцией». Поскольку любую экспоненциальную функцию, определенную как, можно записать в терминах натуральной экспоненты как , с вычислительной и концептуальной точки зрения удобно свести исследование экспоненциальных функций к этой конкретной функции. Поэтому естественная экспонента обозначается через ${\displaystyle f(x)=b^{x}}$ ${\displaystyle b^{x}=e^{x\ln b}}$

$${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$$

$${\displaystyle x\mapsto \exp x.}$$

Первое обозначение обычно используется для более простых показателей степени, тогда как второе предпочтительнее, когда показатель степени более сложный и его труднее читать, набранный мелким шрифтом.

Для действительных чисел c и d функция вида также является показательной функцией, поскольку ее можно переписать как ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$

$${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$$

Формальное определение

Показательная функция (синий цвет) и сумма первых n + 1 членов ее степенного ряда (красный цвет).

Действительную показательную функцию можно охарактеризовать множеством эквивалентных способов. Обычно его определяют следующим степенным рядом : ^{[1] [8]} ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots }$$

Поскольку радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение фактически применимо ко всем комплексным числам; см. § Комплексная плоскость, где описано продолжение на комплексную плоскость. Используя степенной ряд, константу e можно определить как ${\displaystyle \exp x}$ ${\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!)\,.}$

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех действительных x , что приводит к другой общей характеристике как единственного решения дифференциального уравнения. ${\textstyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$ ${\displaystyle \exp x}$

$${\displaystyle y'(x)=y(x)}$$

${\displaystyle y(0)=1.}$

Основываясь на этой характеристике, цепное правило показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм , удовлетворяет для или Это соотношение приводит к менее распространенному определению действительной показательной функции как решения уравнения ${\textstyle {\frac {d}{dy}}\ln y=1/y}$ ${\displaystyle y>0,}$ ${\textstyle \ln y=\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}\,.}$ ${\displaystyle \exp(x)}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$$

Решение обыкновенного дифференциального уравнения с начальным условием с использованием метода Эйлера дает формулу предела произведения, действительную для всех комплексных значений : ^{[9] [8]} ${\displaystyle y'(x)=y(x)}$ ${\displaystyle y'(0)=1}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Можно показать, что каждое непрерывное ненулевое решение функционального уравнения для является показательной функцией с ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} .}$

Обзор

Красная кривая — показательная функция. Черные горизонтальные линии показывают места пересечения зеленых вертикальных линий.

Показательная функция возникает всякий раз, когда величина растет или убывает со скоростью , пропорциональной ее текущему значению. Одной из таких ситуаций являются постоянно начисляемые проценты , и фактически именно это наблюдение привело Якоба Бернулли в 1683 году ^[10] к числу

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$

eИоганн Бернулли^[10]

Если основная сумма в размере 1 приносит проценты по годовой ставке x , начисляемой ежемесячно, то проценты, получаемые каждый месяц, равныИкс/12раз превышает текущее значение, поэтому каждый месяц общая стоимость умножается на (1 +Икс/12) , а значение на конец года равно (1 +Икс/12) ¹² . Если вместо этого проценты начисляются ежедневно, это становится (1 +Икс/365) ³⁶⁵ . Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, то это приведет к предельному определению показательной функции:

$${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

Леонардом Эйлером^[9]характеристик показательной функциирядыдифференциальные уравнения

Из любого из этих определений можно показать, что e ^{− x} является обратной величиной e ^x . Например, из определения дифференциального уравнения e ^x e ^{- x} = 1 , когда x = 0 , а его производная с использованием правила произведения равна e ^x e ^{- x} - e ^x e ^{- x} = 0 для всех ^x , поэтому e ^{x e} - ^x = 1 для всех x .

Из любого из этих определений можно показать, что показательная функция подчиняется основному тождеству возведения в степень . Например, из определения степенного ряда:

$${\displaystyle \exp(x+y)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{m}}{m!}}=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {x^{k}y^{m-k}}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}y^{n}}{k!n!}}=\exp x\cdot \exp y\,.}$$

Это оправдываетexexp ^x

Производная (скорость изменения) показательной функции является самой показательной функцией . В более общем смысле, функция со скоростью изменения, пропорциональной самой функции (а не равной ей), выражается через экспоненциальную функцию. Это свойство функции приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному затуханию .

Показательная функция расширяется до целой функции на комплексной плоскости . Формула Эйлера связывает свои значения при чисто мнимых аргументах с тригонометрическими функциями . Показательная функция также имеет аналоги, у которых аргументом является матрица или даже элемент банаховой алгебры или алгебры Ли .

Производные и дифференциальные уравнения

Производная показательной функции равна значению функции. Из любой точки P на кривой (синяя) проведем касательную (красную) и вертикальную линию (зеленую) высотой h , образующие прямоугольный треугольник с основанием b на оси x . Поскольку наклон красной касательной (производной) в точке P равен отношению высоты треугольника к основанию треугольника (подъём по разбегу), а производная равна значению функции, h должен быть равен отношение h к b . Следовательно, основание b всегда должно быть равно 1.

Важность показательной функции в математике и естественных науках проистекает главным образом из ее свойства как единственной функции, которая равна своей производной и равна 1 при x = 0 . То есть,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

Функции вида ce ^x для константы c — единственные функции, равные своей производной (по теореме Пикара–Линделёфа ). Другие способы сказать то же самое включают в себя:

• Наклон графика в любой точке — это высота функции в этой точке.
• Скорость возрастания функции в точке x равна значению функции в точке x .
• Функция решает дифференциальное уравнение y ′ = y .
• exp — фиксированная точка производной как функционала .

Если скорость роста или распада переменной пропорциональна ее размеру — как в случае неограниченного роста населения (см. Мальтузианскую катастрофу ), непрерывно начисляемых процентов или радиоактивного распада — тогда переменную можно записать как константу, умноженную на экспоненциальную функцию времени. . Явно для любой действительной константы k функция f : R → R удовлетворяет условию f ′ = kf тогда и только тогда, когда f ( x ) = ce ^kx для некоторой константы c . Константу k называют константой распада , константой распада , ^[11] константой скорости , ^[12] или константой превращения . ^[13]

Кроме того, для любой дифференцируемой функции f по цепному правилу находим :

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.}$$

Цепные дроби для ex

Цепную дробь для ex можно получить с помощью тождества Эйлера ^:

$${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

Следующая обобщенная цепная дробь для e ^z сходится быстрее: ^[14]

$${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

или, применив замену z =Икс/й:

$${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$

z = 2

$${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Эта формула также сходится, хотя и медленнее, при z > 2 . Например:

$${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$$

Сложный самолет

Показательная функция e^z, построенная на комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i

Сложный график с аргументом , представленным различным оттенком. Переход от темных цветов к светлым показывает, что увеличивается только вправо. Периодические горизонтальные полосы, соответствующие одному и тому же оттенку, указывают на периодичность в мнимой части . ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \exp z}$ ${\displaystyle \left|\exp z\right|}$ ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$ ${\displaystyle z}$

Как и в реальном случае, показательная функция может быть определена на комплексной плоскости в нескольких эквивалентных формах.

Наиболее распространенное определение комплексной показательной функции аналогично определению степенного ряда для действительных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной:

$${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

Альтернативно, комплексная экспоненциальная функция может быть определена путем моделирования определения предела для реальных аргументов, но с заменой реальной переменной комплексной:

$${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

Что касается определения степенного ряда, почленное умножение двух копий этого степенного ряда в смысле Коши , разрешенное теоремой Мертенса , показывает, что определяющее мультипликативное свойство экспоненциальных функций продолжает сохраняться для всех комплексных аргументов:

$${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$$

Определение комплексной показательной функции, в свою очередь, приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции на комплексные аргументы.

В частности, когда z = it ( treal ), определение ряда дает разложение

$${\displaystyle \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$$

В этом разложении перестановка членов на действительную и мнимую части оправдана абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части приведенного выше выражения фактически соответствуют разложению в ряды стоимости t и sin t соответственно.

Это соответствие дает мотивацию для определения косинуса и синуса для всех комплексных аргументов в терминах эквивалентного степенного ряда: ^[15] ${\displaystyle \exp(\pm iz)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos z:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\\[5pt]{\text{and }}\quad &\sin z:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$$

для всех ${\textstyle z\in \mathbb {C} .}$

Определенные таким образом функции exp , cos и sin имеют бесконечные радиусы сходимости по критерию отношения и, следовательно, являются целыми функциями (то есть голоморфными на ). Диапазон экспоненциальной функции равен , в то время как диапазоны комплексных функций синуса и косинуса находятся целиком в соответствии с теоремой Пикара , которая утверждает, что диапазон непостоянной целой функции либо весь из , либо исключая одно лакунарное значение. . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Эти определения показательных и тригонометрических функций тривиально приводят к формуле Эйлера :

$${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} .}$$

Альтернативно мы могли бы определить сложную показательную функцию, основанную на этом отношении. Если z = x + iy , где x и y действительны, то мы могли бы определить его экспоненту как

$${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$$

expcossin^[16]

Для соотношение сохраняется, так что для вещественного и отображает действительную линию (mod 2 π ) в единичный круг на комплексной плоскости. Более того, кривая, определяемая при переходе от к , очерчивает отрезок единичной окружности длины ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)}$ ${\displaystyle \left|\exp(it)\right|=1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(it)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(it)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|\,dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp(it)|\,dt=t_{0},}$$

z = 1

Комплексная показательная функция является периодической с периодом 2 πi и выполняется для всех . ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$

При продолжении области определения от действительной прямой к комплексной плоскости показательная функция сохраняет следующие свойства:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\[5pt]&e^{0}=1\,\\[5pt]&e^{z}\neq 0\\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

для всех ${\textstyle w,z\in \mathbb {C} .}$

Расширение натурального логарифма до комплексных аргументов дает комплексный логарифм log z , который является многозначной функцией .

Затем мы можем определить более общее возведение в степень:

$${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$$

zwzlog zz ^wz

( е ^з )^ш
≠ e ^zw , а скорее ( e ^z )^ш
= e ^{( z + 2 niπ ) w} многозначно над целыми числами n

Дополнительную информацию о проблемах с объединением степеней см. в разделе « Неисправность тождества степеней и логарифмов» .

Экспоненциальная функция отображает любую линию на комплексной плоскости в логарифмическую спираль на комплексной плоскости с центром в начале координат . Существуют два особых случая: когда исходная линия параллельна действительной оси, результирующая спираль никогда не замыкается сама на себя; когда исходная линия параллельна воображаемой оси, результирующая спираль представляет собой круг некоторого радиуса.

• Трехмерные графики действительной части, мнимой части и модуля показательной функции
• 
  z = Re( е ^{x + iy} )
• 
  z = Im( е ^{x + iy} )
• 
  г = | е ^{х + я} |

Рассматривая комплексную показательную функцию как функцию четырех действительных переменных:

$${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

Начиная с части домена с цветовой кодировкой , ниже приведены изображения графа, по-разному проецированные в двух или трех измерениях. ${\displaystyle xy}$

• Графики комплексной показательной функции
• 
  Ключ к шахматной доске:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  Проекция на комплексную плоскость дальности (V/W). Сравните со следующей перспективной картинкой.
• 
  Проекция в размеры , и , создающая расширяющийся рог или форму воронки (представленная как двухмерное перспективное изображение). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$
• 
  Проекция на размеры , и , создающая спиральную форму. ( диапазон расширен до ±2 π , опять же в виде двумерного перспективного изображения). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle y}$

На втором изображении показано, как комплексная плоскость домена отображается в комплексную плоскость диапазона:

• ноль отображается в 1
• действительная ось отображается на положительную действительную ось ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$
• воображаемая ось вращается вокруг единичной окружности с постоянной угловой скоростью ${\displaystyle y}$
• значения с отрицательными действительными частями отображаются внутри единичного круга
• значения с положительными действительными частями отображаются за пределами единичного круга
• значения с постоянной действительной частью отображаются в круги с центром в нуле
• значения с постоянной мнимой частью отображаются на лучи, идущие от нуля

Третье и четвертое изображения показывают, как график на втором изображении расширяется в одно из двух других измерений, не показанных на втором изображении.

На третьем изображении показан график, вытянутый вдоль действительной оси. Он показывает, что график представляет собой поверхность вращения вокруг оси графика действительной показательной функции, образующую форму рога или воронки. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Четвертое изображение показывает график, вытянутый вдоль мнимой оси. Это показывает, что поверхность графика для положительных и отрицательных значений на самом деле не пересекается вдоль отрицательной действительной оси, а вместо этого образует спиральную поверхность вокруг этой оси. Поскольку его значения были расширены до ±2 π , это изображение также лучше отображает периодичность 2π в мнимом значении. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Вычисление a b , где a и b являются комплексными

Комплексное возведение в степень a ^b можно определить путем преобразования a в полярные координаты и использования тождества ( e ^{ln a} )^б
= а ^б :

$${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}$$

Однако, когда b не является целым числом, эта функция является многозначной , поскольку θ не уникальна (см. Возведение в степень § Несостоятельность степенных и логарифмических тождеств ).

Матрицы и банаховы алгебры

Определение показательной функции степенным рядом имеет смысл для квадратных матриц (для которых функция называется матричной экспонентой ) и, в более общем плане, в любой банаховой алгебре с единицей B. В этом случае e ⁰ = 1 и e ^x обратимо с обратным e ^{− x} для любого x в B . Если xy = yx , то e ^{x + y} = e ^x e ^y , но это тождество может оказаться неверным для некоммутирующих x и y .

Некоторые альтернативные определения приводят к той же функции. Например, ex можно определить ^как

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Или e ^x можно определить как f _x (1) , где f _x  : R → B — решение дифференциального уравнениядф _х/DT( t ) знак равно x  f _x ( t ) , с начальным условием f _x (0) = 1 ; отсюда следует, что f x ₍ t ) = e ^tx для каждого t в R.

Алгебры Ли

Учитывая группу Ли G и связанную с ней алгебру Ли , экспоненциальное отображение — это отображение ↦ G , удовлетворяющее аналогичным свойствам. Фактически, поскольку R является алгеброй Ли группы Ли всех положительных действительных чисел при умножении, обычная показательная функция для вещественных аргументов является частным случаем ситуации алгебры Ли. Аналогично, поскольку группа Ли GL( n , R ) обратимых матриц размера n × n имеет в качестве алгебры Ли M( n , R ) пространство всех матриц размера n × n , показательная функция для квадратных матриц является частным случаем Экспоненциальное отображение алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Тождество может оказаться неверным для элементов алгебры Ли x и y , которые не коммутируют; формула Бейкера -Кэмпбелла-Хаусдорфа дает необходимые корректирующие члены. ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

трансцендентность

Функция e ^z не входит в кольцо рациональных функций : она не является частным двух многочленов с комплексными коэффициентами. ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Если a ₁ , ..., an _- различные комплексные числа, то e ^{a ₁ z} , ..., e ^{a _n z} линейно независимы над , и, следовательно , e ^z трансцендентно над . ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Вычисление

При вычислении (аппроксимации) показательной функции вблизи аргумента 0 результат будет близок к 1, а вычисление значения разности с помощью арифметики с плавающей запятой может привести к потере (возможно, всех) значащих цифр , что приведет к большая ошибка расчета, возможно даже бессмысленный результат. ${\displaystyle e^{x}-1}$

Следуя предложению Уильяма Кахана , может оказаться полезным иметь специальную процедуру, часто называемую expm1, для непосредственного вычисления e ^x − 1 , минуя вычисление e ^x . Например, если экспонента вычисляется с использованием ряда Тейлора

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,}$$

${\displaystyle e^{x}-1}$

$${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

Впервые это было реализовано в 1979 году в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C и реализовано в нескольких калькуляторах, ^{[17] [18]} операционных системах (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[19] ), системах компьютерной алгебры и языках программирования ( например С99 ). ^[20]

В дополнение к базе e стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные показательные функции вблизи 0 для базы 2 и 10: и . ${\displaystyle 2^{x}-1}$ ${\displaystyle 10^{x}-1}$

Аналогичный подход использовался для логарифма (см. lnp1 ). ^{[номер 3]}

Тождество в терминах гиперболического тангенса ,

$${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$

xexpm1( x )

Смотрите также

• Математический портал

• Экспонента Карлица , характеристический аналог p
• Двойная показательная функция  - Показательная функция показательной функции.
• Экспоненциальное поле  – математическое поле с дополнительной операцией.
• Функция Гаусса
• Полуэкспоненциальная функция , композиционный квадратный корень показательной функции.
• Lambert_W_function#Solving_equations  – Многозначная функция в математике. Используется для решения показательных уравнений.
• Список экспоненциальных тем
• Список интегралов показательных функций
• Функция Миттаг-Леффлера , обобщение показательной функции
• p -адическая показательная функция
• Таблица Паде для показательной функции - аппроксимация Паде показательной функции дробью полиномиальной функции

Примечания

1. Обозначение ln x является стандартом ISO и широко распространено в естественных науках и среднем образовании (США). Однако некоторые математики (например, Пол Халмош ) раскритиковали это обозначение и предпочитают использовать log x для натурального логарифма x .
2. В чистой математике обозначение log x обычно относится к натуральному логарифму x или к логарифму в целом, если основание несущественно.
3. Аналогичный подход к уменьшению ошибок округления вычислений для определенных входных значений тригонометрических функций состоит в использовании менее распространенных тригонометрических функций versine , vercosine , Coverine , Covercosine , Haversine , Havercosine , Hacoversine , Hacovercosine , Exsecant и excosecant .

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.
2. Мейер, Джон; Смит, Дерек (07 августа 2017 г.). Изучение математики . Издательство Кембриджского университета. п. 167. ИСБН 978-1-107-12898-9.
3. Конверс, Генри Август; Дарелл, Флетчер (1911). Плоская и сферическая тригонометрия. Математический ряд Дарелла. Компания CE Merrill. п. 12. Обратное использование таблицы логарифмов; то есть по данному логарифму найти соответствующее ему число (называемое его антилогарифмом)...[1]
4. «Справочник по экспоненциальной функции». www.mathsisfun.com . Проверено 28 августа 2020 г.
5. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001113 (десятичное расширение e)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
6. Гольдштейн, Ларри Джоэл; Лэй, Дэвид С.; Шнайдер, Дэвид И.; Асмар, Нахле Х. (2006). Краткое исчисление и его приложения (11-е изд.). Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-191965-5.(467 страниц)
7. Курант; Роббинс (1996). Стюарт (ред.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е исправленное изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 448. ИСБН 978-0-13-191965-5. Эта естественная показательная функция идентична своей производной. Это действительно источник всех свойств показательной функции и основная причина ее важности в приложениях…
8. Вайсштейн, Эрик В. «Экспоненциальная функция». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
9. Маор, Эли . е: История числа . п. 156.
10. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (сентябрь 2001 г.). «Число е». Школа математики и статистики . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 13 июня 2011 г.
11. Сервей, Раймонд А.; Моисей, Клемент Дж.; Мойер, Курт А. (1989). Современная физика . Форт-Уэрт: Харкорт Брейс Йованович . п. 384. ИСБН 0-03-004844-3.
12. Симмонс, Джордж Ф. (1972). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 15. LCCN  75173716.
13. Энциклопедия науки и технологий McGraw-Hill (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
14. Лоренцен, Л .; Вааделанд, Х. (2008). «А.2.2 Показательная функция». Продолжительные дроби . Исследования Атлантиды по математике. Том. 1. п. 268. дои : 10.2991/978-94-91216-37-4. ISBN 978-94-91216-37-4.
15. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 182. ИСБН 978-0-07-054235-8.
16. Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон Уэсли . стр. 19. ISBN 978-0-201-00288-1.
17. Серия HP 48G - Справочное руководство для опытных пользователей (AUR) (4-е изд.). Hewlett Packard . Декабрь 1994 г. [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Проверено 6 сентября 2015 г.
18. Расширенное справочное руководство пользователя графического калькулятора HP 50g / 49g+ / 48gII (AUR) (2-е изд.). Hewlett Packard . 14 июля 2009 г. [2005]. HP F2228-90010 . Проверено 10 октября 2015 г.[2]
19. Биби, Нельсон HF (22 августа 2017 г.). «Глава 10.2. Экспонента около нуля». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . стр. 273–282. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721. Berkeley UNIX 4.3BSD представила функцию expm1() в 1987 году.
20. Биб, Нельсон HF (9 июля 2002 г.). «Вычисление expm1 = exp(x)−1» (PDF) . 1.00. Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Департамент математики, Центр научных вычислений, Университет Юты . Проверено 2 ноября 2015 г.

Внешние ссылки

• «Показательная функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]