В математике однородный многочлен , иногда называемый квантовым в старых текстах, представляет собой многочлен , все ненулевые члены которого имеют одинаковую степень . [1] Например, — однородный многочлен степени 5 от двух переменных; сумма показателей в каждом члене всегда равна 5. Полином не является однородным, поскольку сумма показателей не совпадает от члена к члену. Функция, определяемая однородным полиномом, всегда является однородной функцией .
Алгебраическая форма или просто форма — это функция , определяемая однородным полиномом. [примечания 1] Бинарная форма — это форма с двумя переменными. Форма также является функцией, определенной в векторном пространстве , которая может быть выражена как однородная функция координат в любом базисе .
Полином степени 0 всегда однороден; это просто элемент поля или кольца коэффициентов , обычно называемый константой или скаляром. Форма степени 1 является линейной формой . [примечания 2] Форма степени 2 является квадратичной формой . В геометрии евклидово расстояние — это квадратный корень квадратичной формы.
Однородные полиномы повсеместно встречаются в математике и физике. [примечания 3] Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии , поскольку проективное алгебраическое многообразие определяется как набор общих нулей набора однородных многочленов.
Однородный полином определяет однородную функцию . Это означает, что если многомерный полином P однороден степени d , то
для каждого в любом поле , содержащем коэффициенты P . И наоборот, если приведенное выше соотношение верно для бесконечного числа, то полином однороден степени d .
В частности, если P однороден, то
для каждого Это свойство является фундаментальным в определении проективного многообразия .
Любой ненулевой многочлен можно единственным образом разложить в сумму однородных многочленов разных степеней, которые называются однородными компонентами многочлена.
Учитывая кольцо полиномов над полем (или, в более общем смысле, кольцом ) K , однородные многочлены степени d образуют векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемое. Вышеуказанное уникальное разложение означает, что это прямая сумма ( суммы по всем неотрицательным целым числам ).
Размерность векторного пространства (или свободного модуля ) — это количество различных мономов степени d от n переменных (т.е. максимальное число ненулевых членов в однородном многочлене степени d от n переменных). Он равен биномиальному коэффициенту
Однородный полином удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций . То есть, если P - однородный многочлен степени d от имеющихся у него неопределенностей , независимо от того, какое из коммутативных колец коэффициентов является,
где обозначает формальную частную производную P по
Неоднородный многочлен P ( x 1 ,..., x n ) можно гомогенизировать, введя дополнительную переменную x 0 и определив однородный многочлен, иногда обозначаемый h P : [2]
где d — степень P. Например, если
затем
Усредненный многочлен можно дегомогенизировать, установив дополнительную переменную x 0 = 1. То есть