Гармонический осциллятор

Физическая система, которая реагирует на восстанавливающую силу, обратно пропорциональную смещению.

В классической механике гармонический осциллятор — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает возвращающую силу F , пропорциональную смещению x :

F → знак равно - k Икс → , {\displaystyle {\vec {F}}=-k {\vec {x}},}

kконстанта

Если F — единственная сила, действующая на систему, то система называется простым гармоническим осциллятором и совершает простое гармоническое движение : синусоидальные колебания около точки равновесия с постоянной амплитудой и постоянной частотой (которая не зависит от амплитуды ).

Если также присутствует сила трения ( затухания ), пропорциональная скорости , гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор . В зависимости от коэффициента трения система может:

• Колебания с частотой ниже, чем в незатухающем случае, и с уменьшающейся со временем амплитудой ( недозатухающий генератор).
• Распад до положения равновесия, без колебаний ( перезатухающий осциллятор).

Граничное решение между недозатухающим и перезатухающим осциллятором возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически затухающим .

Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, гармонический осциллятор описывается как управляемый осциллятор .

Механические примеры включают маятники (с небольшими углами смещения ), массы, соединенные с пружинами , и акустические системы . Другие аналогичные системы включают электрические гармонические генераторы, такие как схемы RLC . Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, на которую действует сила, находящаяся в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых вибраций. Гармонические генераторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.

Простой гармонический генератор

Простой гармонический осциллятор — это осциллятор, который не является ни возбужденным, ни затухающим . Он состоит из массы m , на которую действует единственная сила F , которая тянет массу в направлении точки x = 0 и зависит только от положения x массы и константы k . Баланс сил ( второй закон Ньютона ) для системы равен

$${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}$$

Решая это дифференциальное уравнение , находим, что движение описывается функцией

Икс ( т ) знак равно А потому что ⁡ ( ω т + φ ) , {\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t+ \ varphi),}

ω знак равно k м . {\displaystyle \omega = {\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

Движение периодическое , повторяющееся синусоидально с постоянной амплитудой А. Помимо амплитуды, движение простого гармонического осциллятора характеризуется его периодом , временем одного колебания или его частотой , количеством циклов в единицу времени. Положение в данный момент времени t также зависит от фазы φ , которая определяет начальную точку синусоидальной волны. Период и частота определяются размером массы m и силовой постоянной k , а амплитуда и фаза определяются начальным положением и скоростью . ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$ ${\displaystyle f=1/T}$

Скорость и ускорение простого гармонического осциллятора колеблются с той же частотой, что и положение, но со смещенными фазами. Скорость максимальна при нулевом перемещении, а ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом генераторе в положении x , равна

U знак равно 1 2 k Икс 2 . {\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}

Затухающий гармонический генератор

Зависимость поведения системы от значения коэффициента демпфирования ζ

Фазовый портрет затухающего генератора с возрастающей силой затухания.

Видеоклип, демонстрирующий затухающий гармонический генератор, состоящий из динамической тележки между двумя пружинами. Акселерометр наверху тележки показывает величину и направление ускорения .

В реальных генераторах трение или затухание замедляет движение системы. Из-за силы трения скорость уменьшается пропорционально действующей силе трения. В то время как в простом неприводимом гармоническом осцилляторе единственной силой, действующей на массу, является возвращающая сила, в затухающем гармоническом осцилляторе имеется, кроме того, сила трения, которая всегда направлена ​​против движения. Во многих вибрирующих системах силу трения F _f можно смоделировать как пропорциональную скорости v объекта: F _f = − cv , где c называется коэффициентом вязкого демпфирования .

Тогда баланс сил ( второй закон Ньютона ) для затухающих гармонических осцилляторов равен ^{[1] [2] [3]}

$${\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$называется «незатухающей угловой частотой генератора»,
• ζ знак равно c 2 м k {\textstyle \zeta = {\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}} называется «коэффициентом затухания».

Переходная характеристика затухающего гармонического генератора; кривые построены для трех значений µ = ω ₁ = ω ₀ √ 1 −  ζ ² . Время выражено в единицах времени затухания τ = 1/( ζω ₀ ) .

Величина коэффициента затухания ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический генератор может быть:

• Сверхзатухающее ( ζ > 1): система возвращается ( экспоненциально затухает ) в устойчивое состояние без колебаний. Большие значения коэффициента демпфирования ζ возвращаются к равновесию медленнее.
• Критическое затухание ( ζ = 1): система возвращается в устойчивое состояние как можно быстрее без колебаний (хотя может произойти перерегулирование, если начальная скорость не равна нулю). Это часто требуется для демпфирования таких систем, как двери.
• Недостаточное демпфирование ( ζ < 1): система колеблется (с несколько иной частотой, чем в случае без демпфирования) с постепенно уменьшающейся до нуля амплитудой. Угловая частота недозатухающего гармонического генератора определяется экспоненциальным затуханием недозатухающего гармонического генератора: ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ ${\displaystyle \lambda =\omega _{0}\zeta .}$

Добротность затухающего генератора определяется как

$${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.}$$

Q связана с коэффициентом демпфирования соотношением ${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

Управляемые гармонические генераторы

Управляемые гармонические генераторы — это затухающие генераторы, на которые дополнительно воздействует внешняя сила F ( t ).

Второй закон Ньютона принимает вид

$${\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Обычно его переписывают в виде

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}$$

Это уравнение можно решить точно для любой движущей силы, используя решения z ( t ), которые удовлетворяют невынужденному уравнению

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$$

и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:

$${\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}$$

ζ ≤ 1Aφ

Шаг ввода

В случае ζ <1 и вводе единичного шага с  x (0) = 0 :

$${\displaystyle {\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle x(t)=1-e^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},}$$

с фазой φ, заданной выражением

$${\displaystyle \cos \varphi =\zeta .}$$

Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, имеет порядок τ = 1/( ζω ₀ ) . В физике адаптацию называют релаксацией , а τ называют временем релаксации.

В электротехнике кратное τ называется временем стабилизации , т.е. временем, необходимым для обеспечения того, чтобы сигнал находился в пределах фиксированного отклонения от конечного значения, обычно в пределах 10%. Термин «перерегулирование» относится к тому, насколько максимум реакции превышает конечное значение, а «недорегулирование» относится к тому, насколько реакция падает ниже конечного значения в течение времени, следующего за максимумом реакции.

Синусоидальная движущая сила

Стационарное изменение амплитуды в зависимости от относительной частоты и затухания ведомого гармонического генератора. Этот график также называют спектром гармонического осциллятора или спектром движения. ${\displaystyle \omega /\omega _{0}}$ ${\displaystyle \zeta }$

В случае синусоидальной движущей силы:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),}$$

частотацепях RLCприводом от переменного токарезисториндукторконденсаторсопротивление воздуха ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

Общее решение представляет собой сумму переходного решения, которое зависит от начальных условий, и установившегося состояния , которое не зависит от начальных условий и зависит только от амплитуды возбуждения , частоты возбуждения , незатухающей угловой частоты и коэффициента затухания . ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \zeta }$

Стационарное решение пропорционально движущей силе с индуцированным изменением фазы : ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),}$$

Z м знак равно ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 {\ displaystyle Z_ {m} = {\ sqrt {\ left (2 \ omega _ {0} \ zeta \ right) ^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}

илилинейного отклика

$${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }$$

– фаза колебания относительно движущей силы. Значение фазы обычно принимается в диапазоне от -180° до 0 (т. е. оно представляет собой задержку фазы как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента арктанга).

Для определенной частоты возбуждения, называемой резонансом или резонансной частотой , амплитуда (при заданном значении ) максимальна. Этот резонансный эффект возникает только при , т.е. для значительно недозатухающих систем. Для сильно недодемпфированных систем значение амплитуды может стать весьма большим вблизи резонансной частоты. ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

Переходные решения аналогичны невынужденным ( ) затухающим гармоническим осцилляторам и представляют собой реакцию системы на другие события, произошедшие ранее. Временные решения обычно исчезают достаточно быстро, чтобы их можно было игнорировать. ${\displaystyle F_{0}=0}$

Параметрические генераторы

Параметрический генератор — это управляемый гармонический генератор, в котором энергия возбуждения обеспечивается за счет изменения параметров генератора, таких как демпфирующая или восстанавливающая сила. Знакомый пример параметрического колебания — «качание» на качелях на детской площадке . ^{[4] [5] [6]} Человек на движущихся качелях может увеличить амплитуду колебаний качелей без применения какой-либо внешней движущей силы (толчков), изменяя момент инерции качелей путем раскачивания вперед и назад (« накачка») или поочередно стоять и приседать в ритме колебаний качелей. Изменение параметров приводит в движение систему. Примерами параметров, которые можно изменять, являются резонансная частота и затухание . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический параметрический генератор варакторов колеблется, когда емкость диода периодически изменяется. Схема, которая изменяет емкость диода, называется «насосом» или «драйвером». В микроволновой электронике параметрические генераторы на основе волновода / YAG работают таким же образом. Проектировщик периодически изменяет параметр, чтобы вызвать колебания.

Параметрические генераторы были разработаны как малошумящие усилители, особенно в радио- и микроволновом диапазоне частот. Тепловой шум минимален, поскольку изменяется реактивное сопротивление (а не сопротивление). Другим распространенным применением является преобразование частоты, например, преобразование звуковых частот в радиочастоты. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную лазерную волну в две выходные волны более низкой частоты ( ). ${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменяющаяся во времени модификация параметра системы. Этот эффект отличается от регулярного резонанса, поскольку он демонстрирует явление неустойчивости .

Уравнение универсального осциллятора

Уравнение

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}$$

уравнение универсального осциллятора^{[ необходима цитация ]}обезразмеривания

Если вынуждающая функция равна f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt _c τ ) = cos( ωτ ) , где ω = ωt _c , уравнение принимает вид

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}$$

Решение этого дифференциального уравнения содержит две части: «переходную» и «стационарную».

Переходное решение

Решение, основанное на решении обыкновенного дифференциального уравнения , для произвольных констант c ₁ и c ₂

$${\displaystyle q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (overdamping)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (critical damping)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}}$$

Переходное решение не зависит от вынуждающей функции.

Стационарное решение

Примените « метод комплексных переменных », решив приведенное ниже вспомогательное уравнение, а затем найдя действительную часть его решения:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}$$

Предположим, что решение имеет вид

$${\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

Его производные от нулевого до второго порядка равны

$${\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

Подстановка этих величин в дифференциальное уравнение дает

$${\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}$$

Деление на экспоненциальный член слева дает

$${\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}$$

Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям.

$${\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}$$

Амплитудная часть

График Боде частотной характеристики идеального гармонического осциллятора

Возведение обоих уравнений в квадрат и их сложение дает

$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}$$

Поэтому,

$${\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}$$

Сравните этот результат с разделом теории о резонансе , а также «амплитудной частью» RLC-цепи . Эта амплитудная функция особенно важна при анализе и понимании частотной характеристики систем второго порядка.

Фазовая часть

Чтобы найти φ , разделите оба уравнения, чтобы получить

$${\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}$$

Эта фазовая функция особенно важна при анализе и понимании частотной характеристики систем второго порядка.

Полное решение

Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к установившемуся решению.

$${\displaystyle q_{s}(\tau )=A(\zeta ,\omega )\cos(\omega \tau +\varphi (\zeta ,\omega ))=A\cos(\omega \tau +\varphi ).}$$

Решение исходного уравнения универсального осциллятора представляет собой суперпозицию (сумму) переходного и установившегося решений:

$${\displaystyle q(\tau )=q_{t}(\tau )+q_{s}(\tau ).}$$

Эквивалентные системы

Гармонические осцилляторы, встречающиеся во многих областях техники, эквивалентны в том смысле, что их математические модели идентичны (см. уравнение универсального осциллятора выше). Ниже представлена ​​таблица, показывающая аналогичные величины в четырехгармонических колебательных системах в механике и электронике. Если аналогичным параметрам в одной строке таблицы присвоены численно равные значения, поведение генераторов – форма их выходного сигнала, резонансная частота, коэффициент затухания и т. д. – будет одинаковым.

Приложение к консервативной силе

Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, поскольку масса, находящаяся в равновесии под действием любой консервативной силы , в пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.

Консервативная сила – это сила, которая связана с потенциальной энергией . Функция потенциальной энергии гармонического осциллятора равна

$${\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

Учитывая произвольную функцию потенциальной энергии , можно выполнить разложение Тейлора относительно минимума энергии ( ), чтобы смоделировать поведение небольших отклонений от равновесия. ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

Поскольку это минимум, первая производная, оцененная при, должна быть равна нулю, поэтому линейный член выпадает: ${\displaystyle V(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

Постоянный член V ( x ₀ ) является произвольным и, следовательно, может быть опущен, а преобразование координат позволяет восстановить форму простого гармонического осциллятора:

$${\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

Таким образом, учитывая произвольную функцию потенциальной энергии с ненулевой второй производной, можно использовать решение простого гармонического осциллятора, чтобы получить приближенное решение для небольших возмущений вокруг точки равновесия. ${\displaystyle V(x)}$

Примеры

Простой маятник

Простой маятник совершает примерно простое гармоническое движение в условиях отсутствия демпфирования и малой амплитуды.

В предположении отсутствия демпфирования дифференциальное уравнение, описывающее простой маятник длиной , где - местное ускорение силы тяжести , имеет вид ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g}$

d 2 θ d т 2 + грамм л грех ⁡ θ знак равно 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta {dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \ тета = 0.}

Если максимальное смещение маятника мало, мы можем использовать приближение и вместо этого рассмотреть уравнение ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.}$$

Общее решение этого дифференциального уравнения есть

$${\displaystyle \theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}(0)=0}$

$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),}$$

полного ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

τ знак равно 2 π л грамм знак равно 2 π ω , {\displaystyle \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}} = {\frac {2\pi }{\omega }},}

${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

Пружинно-массовая система

Система пружина-масса в равновесном (А), сжатом (Б) и растянутом (В) состояниях.

Когда пружина растягивается или сжимается массой, пружина развивает восстанавливающую силу. Закон Гука дает соотношение силы, действующей на пружину, когда пружина сжимается или растягивается на определенную длину:

$${\displaystyle F(t)=-kx(t),}$$

Fkx

Используя либо баланс сил, либо энергетический метод, можно легко показать, что движение этой системы задается следующим дифференциальным уравнением:

$${\displaystyle F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,}$$

вторым законом движения Ньютона

Если начальное перемещение равно A и начальная скорость отсутствует, решение этого уравнения имеет вид

$${\displaystyle x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

Учитывая идеальную безмассовую пружину, – это масса на конце пружины. Если сама пружина имеет массу, ее эффективная масса должна быть включена в . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Изменение энергии в системе пружина-демпфирование

С точки зрения энергии все системы обладают двумя видами энергии: потенциальной энергией и кинетической энергией . Когда пружина растягивается или сжимается, она сохраняет потенциальную энергию упругости, которая затем преобразуется в кинетическую энергию. Потенциальная энергия внутри пружины определяется уравнением ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. В силу сохранения энергии, предполагая, что исходная точка определена в положении равновесия, когда пружина достигает максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы равна нулю. Когда пружина освобождается, она пытается вернуться в равновесие, и вся ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию массы.

Значение терминов

Смотрите также

• Ангармонический осциллятор
• Критическая скорость
• Эффективная масса (система пружина-масса)
• Нормальный режим
• Параметрический генератор
• Фазор
• Q-фактор
• Квантовый гармонический осциллятор
• Радиальный гармонический генератор
• Эластичный маятник

Примечания

1. Фаулз и Кэссидей (1986, стр. 86)
2. Крейциг (1972, стр. 65)
3. Типлер (1998, стр. 369, 389)
4. Кейс, Уильям. «Два способа катания детских качелей». Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 г.
5. Кейс, ВБ (1996). «Накачка махов из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Бибкод : 1996AmJPh..64..215C. дои : 10.1119/1.18209.
6. Роура, П.; Гонсалес, JA (2010). «К более реалистичному описанию качающейся накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Бибкод : 2010EJPh...31.1195R. дои : 10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID  122086250.

Рекомендации

• Фаулз, Грант Р.; Кэссидей, Джордж Л. (1986), Аналитическая механика (5-е изд.), Форт-Уэрт: Издательство Saunders College Publishing , ISBN 0-03-089725-4, LCCN  93085193
• Хайек, Сабих И. (15 апреля 2003 г.). «Механическая вибрация и демпфирование». Энциклопедия прикладной физики . ВИЛЕЙ-ВЧ Верлаг ГмбХ & Ко КГаА. дои : 10.1002/3527600434.eap231. ISBN 9783527600434.
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2003). Физика для ученых и инженеров. Брукс/Коул. ISBN 0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (1998). Физика для ученых и инженеров: Том. 1 (4-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 1-57259-492-6.
• Уайли, ЧР (1975). Высшая инженерная математика (4-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-072180-7.

Внешние ссылки

• Гармонический осциллятор из «Фейнмановских лекций по физике»