Дисфеноид

Тетраэдр, все грани которого равны

В геометрии дисфеноид (от греч. sphenoeides —  «клиновидный») — тетраэдр , четыре грани которого представляют собой конгруэнтные остроугольные треугольники. ^[1] Его также можно описать как тетраэдр, в котором каждые два ребра , которые находятся напротив друг друга, имеют одинаковую длину. Другие названия для той же формы — изотетраэдр , ^[2] клиновидный , ^[3] бисфеноид , ^[3] равнобедренный тетраэдр , ^[4] равносторонний тетраэдр , ^[5] почти правильный тетраэдр , ^[6] и тетрамоноэдр . ^[7]

Все телесные углы и вершинные фигуры дисфеноида одинаковы, а сумма углов граней при каждой вершине равна двум прямым углам . Однако дисфеноид не является правильным многогранником , поскольку, в общем случае, его грани не являются правильными многоугольниками , а его ребра имеют три различные длины.

Особые случаи и обобщения

Если грани двуклиноида являются равносторонними треугольниками , то это правильный тетраэдр с тетраэдрической симметрией T _d , хотя обычно это не называется двуклиноидом. Когда грани двуклиноида являются равнобедренными треугольниками , он называется тетрагональным двуклиноидом . В этом случае он имеет двугранную симметрию D _2d . Клиновидный треугольник с разносторонними треугольниками в качестве своих граней называется ромбическим двуклиноидом и имеет двугранную симметрию D ₂ . В отличие от тетрагонального двуклиноида, ромбический двуклиноид не имеет симметрии отражения , поэтому он хиральный . ^[8] Как тетрагональные двуклиноиды, так и ромбические двуклиноиды являются изоэдрами : помимо того, что они конгруэнтны друг другу, все их грани симметричны друг другу.

Невозможно построить двуклиноид с прямоугольными или тупоугольными треугольными гранями. ^[4] Когда прямоугольные треугольники склеиваются по образцу двуклиноида, они образуют плоскую фигуру (дважды покрытый прямоугольник), которая не охватывает никакого объема. ^[8] Когда тупоугольные треугольники склеиваются таким образом, полученную поверхность можно сложить, чтобы сформировать двуклиноид (по теореме единственности Александрова ), но с остроугольными треугольными гранями и с ребрами, которые в общем случае не лежат вдоль ребр заданных тупоугольных треугольников.

Еще два типа тетраэдра обобщают дисфеноид и имеют похожие названия. Дигональный дисфеноид имеет грани с двумя различными формами, обе из которых являются равнобедренными треугольниками, с двумя гранями каждой формы. Филлик дисфеноид также имеет грани с двумя формами разносторонних треугольников.

Дисфеноиды также можно рассматривать как двуугольные антипризмы или как чередующиеся четырехугольные призмы .

Характеристика

Тетраэдр является двуклиноидом тогда и только тогда, когда описанный вокруг него параллелепипед является прямоугольным. ^[9]

Мы также имеем, что тетраэдр является двуклиноидом тогда и только тогда, когда центр описанной сферы и вписанной сферы совпадают. ^[10]

Другая характеристика гласит, что если d ₁ , d ₂ и d ₃ являются общими перпендикулярами AB и CD ; AC и BD ; и AD и BC соответственно в тетраэдре ABCD , то тетраэдр является двуклиноидом тогда и только тогда, когда d ₁ , d ₂ и d ₃ попарно перпендикулярны . ^[9]

Дисфеноиды являются единственными многогранниками, имеющими бесконечно много несамопересекающихся замкнутых геодезических . На дисфеноиде все замкнутые геодезические являются несамопересекающимися. ^[11]

Дисфеноиды — это тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковый периметр , тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковую площадь, ^[10] и тетраэдры, в которых угловые дефекты всех четырех вершин равны π . Это многогранники, имеющие развертку в форме острого треугольника, разделенного на четыре подобных треугольника отрезками, соединяющими середины ребер. ^[6]

Метрические формулы

Объем двуклиновидного треугольника с противоположными сторонами длиной l , m и n определяется по формуле: ^[12]

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}$

Описанная сфера имеет радиус ^[12] (радиус описанной окружности):

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}}}$

и вписанная сфера имеет радиус: ^[12]

${\displaystyle r={\frac {3V}{4T}}}$

где V — объем дисфеноида, а T — площадь любой грани, которая определяется формулой Герона . Существует также следующее интересное соотношение, связывающее объем и радиус описанной окружности: ^[12]

${\displaystyle \displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.}$

Квадраты длин бимедиан равны : ^[12]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}$

Другие свойства

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковый периметр, то тетраэдр является двуклиноидом. ^[10]

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то это двуклиноид. ^{[9] [10]}

Центры описанной и вписанной сфер совпадают с центроидом дисфеноида. ^[12]

Бимедианы перпендикулярны ребрам, которые они соединяют, и друг другу. ^[12]

Соты и кристаллы

Заполняющий пространство тетраэдрический двуклиноид внутри куба. Два ребра имеют двугранные углы 90°, а четыре ребра имеют двугранные углы 60°.

Некоторые тетрагональные двуклиноиды образуют соты . Двуклиноид, четыре вершины которого (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) и (0, 1, -1), является таким двуклиноидом. ^{[13] [14]} Каждая из его четырех граней представляет собой равнобедренный треугольник с ребрами длиной √ 3 , √ 3 и 2. Он может разбить пространство на мозаику, чтобы сформировать двуклиноидные тетраэдрические соты . Как описывает Гибб (1990), его можно сложить без разрезания или наложения из одного листа бумаги формата a4 . ^[15]

Термин «дисфеноид» также используется для описания двух форм кристалла :

• Клиновидная кристаллическая форма тетрагональной или ромбической системы . Имеет четыре треугольные грани, которые одинаковы и соответствуют по положению чередующимся граням тетрагональной или ромбической дипирамиды . Симметричен относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных диадных осей симметрии во всех классах, за исключением тетрагонально-дисфеноидальной, в которой форма образована обратной тетрадной осью симметрии.
• Кристаллическая форма, ограниченная восемью разносторонними треугольниками, расположенными попарно, образующими тетрагональный скаленоэдр .

Другие применения

Шесть тетрагональных дисфеноидов, соединенных в кольцо, образуют калейдоцикл — бумажную игрушку, которая может вращаться на 4 наборах граней в шестиугольнике. Вращение шести дисфеноидов с противоположными ребрами длиной l, m и n (без потери общности n≤l, n≤m) физически реализуемо тогда и только тогда, когда ^[16]

${\displaystyle -8*(l^{2}-m^{2})^{2}*(l^{2}+m^{2})-5*n^{6}+11*(l^{2}-m^{2})^{2}*n^{2}+2*(l^{2}+m^{2})*n^{4}>=0}$

Смотрите также

• Неправильные тетраэдры
• Ортоцентрический тетраэдр
• Плосконосый двуклиноид — тело Джонсона с 12 равносторонними треугольными гранями и симметрией _{D2d .}
• Трехпрямоугольный тетраэдр

Ссылки

1. Коксетер, HSM (1973), Регулярные многогранники (3-е изд.), Dover Publications, стр. 15, ISBN 0-486-61480-8
2. Акияма, Джин ; Мацунага, Киёко (2020), «Алгоритм сворачивания плитки Конвея в изотетраэдр или прямоугольный двугранник», Journal of Information Processing , 28 (28): 750–758, doi : 10.2197/ipsjjip.28.750 , S2CID  230108666.
3. Whittaker, EJW (2013), Кристаллография: Введение для студентов, изучающих науки о Земле (и другие науки о твердом теле), Elsevier, стр. 89, ISBN 9781483285566.
4. Leech, John (1950), «Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра», The Mathematical Gazette , 34 (310): 269–271, doi :10.2307/3611029, JSTOR  3611029, MR  0038667, S2CID  125145099.
5. Хаджа, Моваффак; Уокер, Питер (2001), «Равносторонние тетраэдры», Международный журнал математического образования в науке и технике , 32 (4): 501–508, doi :10.1080/00207390110038231, MR  1847966, S2CID  218495301.
6. Акияма, Джин (2007), «Производители плитки и полупроизводители плитки», American Mathematical Monthly , 114 (7): 602–609, doi :10.1080/00029890.2007.11920450, JSTOR  27642275, MR  2341323, S2CID  32897155.
7. Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания , Cambridge University Press, стр. 424, ISBN 978-0-521-71522-5.
8. Petitjean, Michel (2015), «Самый хиральный дисфеноид» (PDF) , MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry , 73 (2): 375–384, MR  3242747.
9. Андрееску, Титу; Гельча, Разван (2009), Задачи математической олимпиады (2-е изд.), Биркхойзер, стр. 30–31..
10. Браун, Б. Х. (апрель 1926 г.), «Теорема взрыва. Равнобедренные тетраэдры», Математические клубы студентов младших курсов: Темы клубов, American Mathematical Monthly , 33 (4): 224–226, doi : 10.1080/00029890.1926.11986564, JSTOR  2299548.
11. Фукс, Дмитрий [на немецком] ; Фукс, Екатерина (2007), "Замкнутые геодезические на правильных многогранниках" (PDF) , Московский математический журнал , 7 (2): 265–279, 350, doi :10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279, MR  2337883.
12. Лич, Джон (1950), «Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра», Mathematical Gazette , 34 (310): 269–271, doi :10.2307/3611029, JSTOR  3611029, S2CID  125145099.
13. Коксетер (1973, стр. 71–72).
14. Сенешаль, Марджори (1981), «Какие тетраэдры заполняют пространство?», Mathematics Magazine , 54 (5): 227–243, doi :10.2307/2689983, JSTOR  2689983, MR  0644075
15. Гибб, Уильям (1990), «Бумажные шаблоны: объемные фигуры из метрической бумаги», Математика в школе , 19 (3): 2–4Перепечатано в книге Притчарда, Криса, ред. (2003), Изменение формы геометрии: празднование столетия геометрии и преподавания геометрии , Cambridge University Press, стр. 363–366, ISBN 0-521-53162-4
16. Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A338336», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS{{cite web}}: CS1 maint: переопределенная настройка ( ссылка )

Внешние ссылки

• Математический анализ Disphenoid, автор HC Rajpoot из Academia.edu
• Вайсштейн, Эрик В. , «Дисфеноид», MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Равнобедренный тетраэдр», MathWorld