Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (или сохраняющих ориентацию ) симметрий и порядок симметрии 24, включая преобразования, сочетающие в себе отражение и вращение.
Группа всех (не обязательно сохраняющих ориентацию) симметрий изоморфна группе S 4 , симметричной группе перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки вершин тетраэдра существует ровно одна такая симметрия. Набор симметрий, сохраняющих ориентацию, образует группу, называемую знакопеременной подгруппой A 4 группы S 4 .
Киральная и полная (или ахиральная тетраэдральная симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) представляют собой дискретные точечные симметрии (или, что то же самое, симметрии на сфере ). Они относятся к кристаллографическим точечным группам кубической кристаллической системы .
Если смотреть в стереографической проекции, края тетракис-гексаэдра образуют на плоскости 6 кругов (или центрально-радиальных линий). Каждый из этих шести кругов представляет собой зеркальную линию тетраэдрической симметрии. Пересечение этих кругов встречается в точках вращения 2 и 3 порядка.
T , 332 , [3,3] + или 23 порядка 12 – киральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Существует три ортогональные оси вращения 2-го порядка, как, например, киральная диэдральная симметрия D 2 или 222, а также четыре оси 3-го порядка, центрированные между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна A 4 , знакопеременной группе из 4 элементов; на самом деле это группа четных перестановок четырех трехмерных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243). , (12)(34), (13)(24), (14)(23).
Повороты на 180° вместе с тождеством образуют нормальную подгруппу типа Dih 2 с факторгруппой типа Z 3 . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка, сохраняющих ориентацию.
A 4 — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратная теорема Лагранжа в общем случае неверна: дана конечная группа G и делитель d группы | G |, не обязательно существует подгруппа G порядка d : группа G = A 4 не имеет подгруппы порядка 6. Хотя это свойство абстрактной группы в целом, это ясно из группы изометрий киральной тетраэдрическая симметрия: из-за киральности подгруппа должна быть C 6 или D 3 , но ни то, ни другое не применимо.
T d , *332 , [3,3] или 4 3m, порядка 24 – ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия , также известная как (2,3,3) группа треугольников . Эта группа имеет те же оси вращения, что и Т, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая через две оси тройного порядка. Оси 2-го порядка теперь являются осями S 4 ( 4 ). T d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S 4 , симметричной группе из 4 объектов. T d — объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. См. также изометрии правильного тетраэдра .
Классы сопряжения T d :
T h , 3*2 , [4,3 + ] или m 3 , порядка 24 – пиритоэдрическая симметрия . [1] Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями в двух ортогональных направлениях. Оси 3-го порядка теперь являются осями S 6 ( 3 ), и существует центральная инверсионная симметрия. Th изоморфен T × Z 2 : каждый элемент Th является либо элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией . Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует еще нормальная подгруппа D 2h (подгруппа кубоида ) типа Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Это прямое произведение нормальной подгруппы группы T (см. выше) на C i . Факторгруппа та же , что и выше: типа Z 3 . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка, сохраняющих ориентацию.
Это симметрия куба, на каждой грани которого имеется отрезок линии, делящий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки соседних граней не пересекаются на краях. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и тому же в сочетании с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра , который чрезвычайно похож на описанный куб, где каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии и 4 равными сторонами и 1 разной стороной (той, которая соответствует отрезку линии, разделяющему грань куба) ; т. е. грани куба выпирают на разделительной линии и сужаются там. Это подгруппа полной группы икосаэдрической симметрии (как группа изометрии, а не просто как абстрактная группа) с 4 из 10 осями 3-го порядка.
Классы сопряжения Th включают классы T с объединением двух классов из 4, каждый с инверсией:
Икосаэдр, окрашенный как курносый тетраэдр, обладает киральной симметрией.
Учебные материалы, связанные с симметричной группой S4, в Викиверситете