Экспоненциальное отображение (теория Ли)

Отображение алгебры Ли в ее группу Ли

В теории групп Ли экспоненциальное отображение — это отображение из алгебры Ли группы Ли в группу, что позволяет восстановить локальную структуру группы из алгебры Ли. Существование экспоненциального отображения — одна из основных причин того, что алгебры Ли являются полезным инструментом для изучения групп Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Обычная показательная функция математического анализа является частным случаем показательного отображения, когда — мультипликативная группа положительных действительных чисел (алгебра Ли которой является аддитивной группой всех действительных чисел). Показательное отображение группы Ли удовлетворяет многим свойствам, аналогичным свойствам обычной показательной функции, однако оно также отличается во многих важных отношениях. ${\displaystyle G}$

Определения

Пусть будет группой Ли и будет ее алгеброй Ли (рассматриваемой как касательное пространство к единичному элементу ) . Экспоненциальное отображение является отображением ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

который можно определить несколькими способами. Типичное современное определение таково:

Определение : Экспонента определяется выражением , где ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

— единственная однопараметрическая подгруппа , касательный вектор которой в единице равен . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Из цепного правила легко следует, что . Отображение может быть построено как интегральная кривая либо право-, либо левоинвариантного векторного поля, связанного с . То, что интегральная кривая существует для всех действительных параметров, следует из правого или левого переноса решения вблизи нуля. ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$

Более конкретное определение мы имеем в случае матричной группы Ли . Экспоненциальное отображение совпадает с матричной экспонентой и задается обычным разложением в ряд:

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$,

где — единичная матрица . Таким образом, в случае матричных групп Ли экспоненциальное отображение является ограничением матричной экспоненты на алгебру Ли . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Сравнение с римановым экспоненциальным отображением

Если G компактен и имеет риманову метрику, инвариантную относительно левых и правых сдвигов, то экспоненциальное отображение теории Ли для G совпадает с экспоненциальным отображением этой римановой метрики .

Для общего G не будет существовать римановой метрики, инвариантной как относительно левых, так и правых переносов. Хотя всегда существует риманова метрика, инвариантная, скажем, относительно левых переносов, экспоненциальное отображение в смысле римановой геометрии для левоинвариантной метрики в общем случае не будет согласовываться с экспоненциальным отображением в смысле группы Ли. То есть, если G — группа Ли, снабженная левоинвариантной, но не правоинвариантной метрикой, геодезические через единицу не будут однопараметрическими подгруппами G ^{[ требуется цитата ]} .

Другие определения

Другие эквивалентные определения экспоненты группы Ли следующие:

• Это экспоненциальное отображение канонической левоинвариантной аффинной связности на G , такое, что параллельный перенос задается левым переносом. То есть, где — уникальная геодезическая с начальной точкой в ​​единичном элементе и начальной скоростью X (рассматриваемой как касательный вектор). ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• Это экспоненциальное отображение канонической правоинвариантной аффинной связности на G. Обычно оно отличается от канонической левоинвариантной связности, но обе связности имеют одни и те же геодезические (орбиты 1-параметрических подгрупп, действующих левым или правым умножением), поэтому дают одно и то же экспоненциальное отображение.
• Соответствие группа Ли–алгебра Ли также дает определение: для X в , является единственным гомоморфизмом группы Ли, соответствующим гомоморфизму алгебры Ли (примечание: .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ ${\displaystyle t\mapsto tX.}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

Примеры

• Единичная окружность с центром в точке 0 в комплексной плоскости является группой Ли (называемой группой окружности ), касательное пространство которой в точке 1 можно отождествить с мнимой прямой в комплексной плоскости. Экспоненциальное отображение для этой группы Ли задается формулой ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

то есть та же формула, что и у обычной комплексной экспоненты .

• В более общем случае, для комплексного тора ^{[1] стр. 8} для некоторой целочисленной решетки ранга (столь изоморфной ) тор снабжен универсальным накрывающим отображением ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\to X}$

из фактора по решетке. Так как локально изоморфно как комплексным многообразиям , мы можем отождествить его с касательным пространством , и отображение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}X}$

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

соответствует экспоненциальному отображению для комплексной группы Ли . ${\displaystyle X}$

• В кватернионах набор кватернионов единичной длины образует группу Ли (изоморфную специальной унитарной группе SU (2) ), касательное пространство которой в точке 1 можно отождествить с пространством чисто мнимых кватернионов. Экспоненциальное отображение для этой группы Ли задается формулой ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle \mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

Это отображение переводит 2-сферу радиуса R внутри чисто мнимых кватернионов в , 2-сферу радиуса (ср. Экспонента вектора Паули ). Сравните это с первым примером выше. ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}}$ ${\displaystyle \sin(R)}$

• Пусть V — конечномерное вещественное векторное пространство и рассмотрим его как группу Ли относительно операции сложения векторов. Затем через отождествление V с его касательным пространством в точке 0 и экспоненциальным отображением ${\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V}$

${\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}$

это карта идентичности, то есть . ${\displaystyle \exp(v)=v}$

• В плоскости расщепленных комплексных чисел мнимая прямая образует алгебру Ли группы единичной гиперболы , поскольку экспоненциальное отображение задается выражением ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$

${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

Характеристики

Элементарные свойства экспоненты

Для всех отображение является единственной однопараметрической подгруппой , касательный вектор которой в точке равен . Отсюда следует, что: ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,}$
• ${\displaystyle \exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,}$

В более общем плане:

• ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{if }}[X,Y]=0}$. ^[2]

Предыдущее тождество в общем случае не выполняется; предположение о том, что и коммутируют, является важным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Образ экспоненциального отображения всегда лежит в единичной компоненте . ${\displaystyle G}$

Экспонента вблизи тождества

Экспоненциальное отображение является гладким отображением . Его дифференциал в нуле, , является тождественным отображением (с обычными отождествлениями). ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Из теоремы об обратной функции следует, что экспоненциальное отображение, таким образом, ограничивается диффеоморфизмом из некоторой окрестности 0 в в окрестность 1 в . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Тогда нетрудно показать, что если G связен, то каждый элемент g из G является произведением экспонент элементов из : ^[4] . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}}$

Глобально экспоненциальное отображение не обязательно сюръективно. Более того, экспоненциальное отображение может не быть локальным диффеоморфизмом во всех точках. Например, экспоненциальное отображение из (3) в SO(3) не является локальным диффеоморфизмом; см. также cut locus для этой неудачи. См. производную экспоненциального отображения для получения дополнительной информации. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

Сюръективность экспоненты

Известно, что в этих важных особых случаях экспоненциальное отображение всегда сюръективно:

• G связен и компактен, ^[5]
• G связна и нильпотентна (например, G связна и абелева), или
• ${\displaystyle G=GL_{n}(\mathbb {C} )}$. ^[6]

Для групп, не удовлетворяющих ни одному из вышеперечисленных условий, экспоненциальное отображение может быть или не быть сюръективным.

Образ экспоненциального отображения связной, но некомпактной группы SL ₂ ( R ) не является всей группой. Его образ состоит из C -диагонализуемых матриц с собственными значениями либо положительными, либо с модулем 1, и недиагонализуемых матриц с повторяющимся собственным значением 1, и матрицы . (Таким образом, образ исключает матрицы с действительными, отрицательными собственными значениями, отличными от .) ^[7] ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle -I}$

Экспоненциальное отображение и гомоморфизмы

Пусть — гомоморфизм группы Ли и пусть — его производная в единице. Тогда следующая диаграмма коммутирует : ^[8] ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

В частности, применительно к присоединенному действию группы Ли , поскольку , мы имеем полезное тождество: ^[9] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad} }$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots }$.

Логарифмические координаты

Если задана группа Ли с алгеброй Ли , каждый выбор базиса определяет систему координат вблизи единичного элемента e для G , как указано ниже. По теореме об обратной функции экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом из некоторой окрестности начала координат в окрестность . Его обратное: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U}$ ${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e\in G}$

${\displaystyle \log :U{\overset {\sim }{\to }}N\subset \mathbb {R} ^{n}}$

тогда является системой координат на U . Она называется по-разному, например, логарифмическими координатами, экспоненциальными координатами или нормальными координатами. См. теорему о замкнутой подгруппе для примера того, как они используются в приложениях.

Замечание : Открытое покрытие задает структуру вещественно-аналитического многообразия для G, так что групповая операция является вещественно-аналитической. ^[10] ${\displaystyle \{Ug|g\in G\}}$ ${\displaystyle (g,h)\mapsto gh^{-1}}$

Смотрите также

• Список экспоненциальных тем
• Производная экспоненциального отображения
• Матрица экспоненциальная

Цитаты

1. Биркенхейк, Кристина (2004). Комплексные абелевы многообразия. Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558.
2. Это следует из формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа .
3. Холл 2015 Следствие 3.44
4. Холл 2015 Следствие 3.47
5. Холл 2015 Следствие 11.10
6. Холл 2015 Упражнения 2.9 и 2.10
7. Холл 2015 Упражнение 3.22
8. Холл 2015 Теорема 3.28
9. Холл 2015 Предложение 3.35
10. Кобаяши и Номидзу 1996, стр. 43.

Цитируемые работы

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Graduate Studies in Mathematics , т. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2848-9, г-н  1834454.
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• «Экспоненциальное отображение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]