Личность Бьенеме

В теории вероятностей общая ^[1] форма тождества Бьенеме гласит, что

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{i,j=1 \atop i<j}^{n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}$.

Это можно упростить, если есть попарно независимые или просто некоррелированные , интегрируемые случайные величины , каждая из которых имеет конечный второй момент . ^[2] Это упрощение дает: ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{k})}$.

Вышеприведенное выражение иногда называют формулой Бьенеме . Тождество Бьенеме может быть использовано при доказательстве некоторых вариантов закона больших чисел . ^[3]

Оценочная дисперсия кумулятивной суммы случайных величин с нормальным распределением iid (которая может представлять собой гауссовское случайное блуждание, аппроксимирующее винеровский процесс ). Выборочная дисперсия вычисляется по 300 реализациям соответствующего случайного процесса.

Смотрите также

• Дисперсия
• Распространение ошибки
• Центральная предельная теорема цепи Маркова
• рекурсия Панджера

Ссылки

1. Кленке, Ахим (2013). Wahrscheinlichkeitstheorie. п. 106. дои : 10.1007/978-3-642-36018-3.
2. Loève, Michel (1977). Теория вероятностей I. Springer. стр. 246. ISBN 3-540-90210-4.
3. Ито, Кийоси (1984). Введение в теорию вероятностей . Издательство Кембриджского университета. п. 37. ИСБН 0 521 26960 1.