Локально компактное пространство

В топологии и смежных разделах математики топологическое пространство называется локально компактным , если, грубо говоря, каждая малая часть пространства выглядит как малая часть компакта . Точнее, это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет компактную окрестность .

В математическом анализе особый интерес представляют локально компактные пространства, хаусдорфовы ; они сокращенно обозначаются как пространства LCH . ^[1]

Формальное определение

Пусть X — топологическое пространство . Чаще всего X называется локально компактным, если каждая точка x из X имеет компактную окрестность , т. е. существует открытое множество U и компактное множество K такое, что . $x\in U\subseteq K$

Есть и другие общие определения: все они эквивалентны, если X — хаусдорфово пространство (или предрегулярное). Но в целом они не эквивалентны :

1. каждая точка X имеет компактную окрестность .

2. каждая точка X имеет замкнутую компактную окрестность.

2'. каждая точка X имеет относительно компактную окрестность.

2″. каждая точка X имеет локальную базу относительно компактных окрестностей.

3. каждая точка X имеет локальную базу компактных окрестностей.

4. каждая точка X имеет локальную базу замкнутых компактных окрестностей.

5. X хаусдорфово и удовлетворяет любому (или, что то же самое, всем) предыдущим условиям.

Логические отношения между условиями: ^[2]

Каждое условие влечет за собой (1).
Условия (2), (2′), (2″) эквивалентны.
Ни одно из условий (2), (3) не влечет за собой другое.
Условие (4) влечет за собой (2) и (3).
Компактность подразумевает условия (1) и (2), но не (3) или (4).

Условие (1), вероятно, является наиболее часто используемым определением, поскольку оно является наименее ограничительным, а остальные эквивалентны ему, когда X является Хаусдорфовым . Эта эквивалентность является следствием того факта, что компакты хаусдорфовых пространств замкнуты, а замкнутые подмножества компактов компактны. Пространства, удовлетворяющие (1), называются такжеслабо локально компактны ,^[3]^[4], поскольку они удовлетворяют самому слабому из условий здесь.

Поскольку они определены в терминах относительно компактных множеств, пространства, удовлетворяющие (2), (2'), (2"), более конкретно могут быть названы локально относительно компактными . ^[5]^[6] Стин и Сибах ^[7] называют (2 ), (2'), (2") сильно локально компактно в отличие от свойства (1), которое они называют локально компактным .

Пространства, удовлетворяющие условию (4), являются в точностилокально компактные регулярные пространства. ^[8]^[2] Действительно, такое пространство является регулярным, поскольку каждая точка имеет локальную базу замкнутых окрестностей. Обратно, предположим, что в регулярном локально компактном пространстве точкаимеет компактную окрестность. По регулярности для произвольной окрестноститочкисуществует замкнутая окрестностьточки,содержащаяся викомпактная как замкнутое множество в компактном множестве. $x$ $K$ $U$ $x$ $V$ $x$ $K\cap U$ $V$

Условие (5) используется, например, у Бурбаки . ^[9] Любое пространство, локально компактное (в смысле условия (1)) и хаусдорфово, автоматически удовлетворяет всем указанным выше условиям. Поскольку в большинстве приложений локально компактные пространства также являются хаусдорфовыми, эти локально компактные хаусдорфовы пространства ( LCH ) будут, таким образом, пространствами, которым в первую очередь посвящена эта статья.

Примеры и контрпримеры

Компактные хаусдорфовые пространства

Каждый бикомпакт также локально компактен, и многие примеры бикомпактов можно найти в статье « Компактное пространство» . Здесь мы упомянем только:

единичный интервал [0,1];
множество Кантора ;
куб Гильберта .

Локально компактные хаусдорфовы пространства, не являющиеся компактными.

Евклидовы пространства Rn (и, в частности, ^{вещественная} прямая R ) локально компактны как следствие теоремы Гейне–Бореля .
Топологические многообразия обладают локальными свойствами евклидовых пространств и поэтому также все локально компактны. Сюда входят даже непаракомпактные многообразия, такие как длинная линия .
Все дискретные пространства локально компактны и хаусдорфовы (это не что иное, как нуль -мерные многообразия). Они компактны только в том случае, если они конечны.
Все открытые или замкнутые подмножества локально компактного хаусдорфова пространства локально компактны в топологии подпространства . Это дает несколько примеров локально компактных подмножеств евклидовых пространств, таких как единичный круг (открытая или закрытая версия).
Пространство Q _pp -адических чисел локально компактно, поскольку оно гомеоморфно канторову множеству минус одна точка. Таким образом, локально компактные пространства столь же полезны в p -адическом анализе , как и в классическом анализе .

Хаусдорфы пространства, не являющиеся локально компактными.

Как упоминалось в следующем разделе, если хаусдорфово пространство локально компактно, то оно также является тихоновским пространством . По этой причине примеры хаусдорфовых пространств, которые не могут быть локально компактными, поскольку они не являются тихоновскими пространствами, можно найти в статье, посвященной тихоновским пространствам . Но есть также примеры тихоновских пространств, которые не могут быть локально компактными, например:

пространство Q рациональных чисел (наделенное топологией из R ), поскольку любая окрестность содержит последовательность Коши , соответствующую иррациональному числу, не имеющему сходящейся подпоследовательности в Q ;
подпространство в , поскольку начало координат не имеет компактной окрестности; $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ $\mathbf {R} ^{2}$
топология нижнего предела или топология верхнего предела на множестве R действительных чисел (полезна при изучении односторонних пределов );
любое T 0 , следовательно, Хаусдорф, топологическое векторное пространство , которое является бесконечномерным , например , бесконечномерное гильбертово пространство .

Первые два примера показывают, что подмножество локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным, что контрастирует с открытым и закрытым подмножествами из предыдущего раздела. Последний пример контрастирует с евклидовыми пространствами из предыдущего раздела; более конкретно, топологическое векторное пространство Хаусдорфа локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно (в этом случае оно является евклидовым пространством). Этот пример также контрастирует с кубом Гильберта как примером компактного пространства; противоречия нет, поскольку куб не может быть окрестностью какой-либо точки гильбертова пространства.

Нехаусдорфовские примеры

Одноточечная компактификация рациональных чисел Q компактна и, следовательно, локально компактна в смыслах (1) и (2), но не локально компактна в смыслах (3) и (4).
Конкретная точечная топология на любом бесконечном множестве локально компактна в смысле (1) и (3), но не в смысле (2) или (4), поскольку замыканием любой окрестности является все пространство, которое некомпактно.
Дизъюнктное объединение двух приведенных выше примеров локально компактно в смысле (1), но не в смысле (2), (3) или (4).
Топология правого порядка на вещественной прямой локально компактна в смысле (1) и (3), но не в смысле (2) или (4), поскольку замыканием любой окрестности является все некомпактное пространство.
Пространство Серпинского локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), а также компактно, но оно не является хаусдорфовым или регулярным (или даже предрегулярным), поэтому оно не локально компактно в смысле (4) или ( 5). Дизъюнктное объединение счетного числа копий пространства Серпинского представляет собой некомпактное пространство, которое все еще локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), но не (4) или (5).
В более общем смысле топология исключенной точки локально компактна в смысле (1), (2) и (3) и компактна, но не локально компактна в смысле (4) или (5).
Коконечная топология на бесконечном множестве локально компактна в смысле (1), (2) и (3), а также компактна, но она не является хаусдорфовой или регулярной, поэтому она не локально компактна в смысле (4) или ( 5).
Индискретная топология на множестве, состоящем по крайней мере из двух элементов, локально компактна в смысле (1), (2), (3) и (4), а также компактна, но она не хаусдорфова, поэтому она не локально компактна в смысле (1), (2), (3) и (4). смысл (5).

Общие классы примеров

Всякое пространство с топологией Александрова локально компактно в смысле (1) и (3). ^[10]

Характеристики

Всякое локально компактное предрегулярное пространство на самом деле вполне регулярно . ^[11]^[12] Отсюда следует, что каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским пространством . ^[13] Поскольку прямая регулярность является более привычным условием, чем предрегулярность (которая обычно более слабая) или полная регулярность (которая обычно более сильная), локально компактные предрегулярные пространства обычно называются в математической литературе локально компактными регулярными пространствами . Аналогично локально компактные тихоновские пространства обычно называют просто локально компактными хаусдорфовыми пространствами .

Всякое локально компактное регулярное пространство, в частности всякое локально компактное хаусдорфово пространство, является пространством Бэра . ^[14]^[15] То есть, справедлив вывод теоремы Бэра о категориях : внутренность каждого счетного объединения нигде не плотных подмножеств пуста.

Подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X локально замкнуто в Y ( т. е. X можно записать как теоретико-множественную разность двух замкнутых подмножеств Y ). В частности, каждое замкнутое множество и каждое открытое множество в локально компактном хаусдорфовом пространстве локально компактно. Кроме того, как следствие, плотное подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X открыто в Y . Более того, если подпространство X любого хаусдорфова пространства Y локально компактно, то X все равно должно быть локально замкнутым в Y , хотя обратное, вообще говоря , неверно.

Без гипотезы Хаусдорфа некоторые из этих результатов не работают с более слабыми понятиями локальной компактности. Каждое замкнутое множество в слабо локально компактном пространстве (= условие (1) в приведенных выше определениях) слабо локально компактно. Но не всякое открытое множество в слабо локально компактном пространстве является слабо локально компактным. Например, одноточечная компактификация рациональных чисел компактна и, следовательно, слабо локально компактна. Но оно содержит открытое множество, которое не является слабо локально компактным. $\mathbb {Q} ^{*}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств компактно порождены . Обратно, каждое компактно порожденное хаусдорфово пространство является фактором некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.

Для функций, определенных в локально компактном пространстве, локальная равномерная сходимость аналогична компактной сходимости .

Точка в бесконечности

В этом разделе исследуются компактификации локально компактных пространств. Каждое компактное пространство есть своя компактификация. Поэтому, чтобы избежать тривиальности, ниже предполагается, что пространство X некомпактно.

Поскольку каждое локально компактное хаусдорфово пространство X тихоновское, его можно вложить в компактное хаусдорфово пространство с помощью компактификации Стоуна – Чеха . Но на самом деле в локально компактном случае существует более простой метод; одноточечная компактификация вложит X в компактное хаусдорфово пространство всего с одной лишней точкой. (Одноточечная компактификация может быть применена к другим пространствам, но будет хаусдорфовой тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.) Таким образом, локально компактные хаусдорфовы пространства можно охарактеризовать как открытые подмножества компактных хаусдорфовых пространств. $b(X)$ $a(X)$ $a(X)$

Интуитивно дополнительную точку можно рассматривать как точку, находящуюся на бесконечности . Точку, находящуюся на бесконечности , следует рассматривать как лежащую вне всякого компактного подмножества X. Используя эту идею, многие интуитивные представления о стремлении к бесконечности можно сформулировать в локально компактных хаусдорфовых пространствах. Например, говорят , что непрерывная действительная или комплекснозначная функция f с областью определения X обращается в нуль на бесконечности , если для любого положительного числа e существует компактное подмножество K из X такое, что всякий раз, когда точка x лежит вне K . Это определение имеет смысл для любого топологического пространства X. Если X локально компактно и хаусдорфово, то такими функциями являются в точности те функции, которые можно продолжить до непрерывной функции g при ее одноточечной компактификации, где $a(X)$ $|f(x)|<e$ $a(X)=X\cup \{\infty \}$ $g(\infty )=0.$

Представительство Гельфанда

Для локально компактного хаусдорфова пространства X множество всех непрерывных комплекснозначных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, является коммутативной С*-алгеброй . В самом деле, всякая коммутативная С*-алгебра изоморфна для некоторого единственного ( с точностью до гомеоморфизма ) локально компактного хаусдорфова пространства X. Это показано с помощью представления Гельфанда . $C_{0}(X)$ $C_{0}(X)$

Локально компактные группы

Понятие локальной компактности важно при изучении топологических групп главным образом потому, что каждая хаусдорфова локально компактная группа G несет естественные меры , называемые мерами Хаара , которые позволяют интегрировать измеримые функции, определенные на G . Мера Лебега на действительной прямой представляет собой частный случай. $\mathbb {R}$

Двойственная по Понтрягину топологическая абелева группа A локально компактна тогда и только тогда, когда A локально компактна. Точнее, двойственность Понтрягина определяет самодвойственность категории локально компактных абелевых групп . Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа — области, которая с тех пор распространилась на неабелевы локально компактные группы.

Смотрите также

Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
Теорема Ф. Рисса
Локально компактное поле
Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам
Локально компактная группа - топологическая группа G, для которой основная топология локально компактна и хаусдорфова, так что можно определить меру Хаара.
σ-компактное пространство - объединение счетного числа компактных топологических пространств.
Ядро-компактное пространство

Цитаты

^ Фолланд 1999, с. 131, разд. 4.5.
^ аб Гомпа, Рагху (весна 1992 г.). «Что такое «локально компактный»?» (PDF) . Журнал Пи Му Эпсилон . 9 (6): 390–392. JSTOR 24340250. Архивировано (PDF) из оригинала 10 сентября 2015 г.
^ Лоусон, Дж.; Мэдисон, Б. (1974). «Факторы k-полугрупп». Полугрупповой форум . 9 : 1–18. дои : 10.1007/BF02194829., п. 3
^ Бройкманн, Томас; Кудри, Сорая; Айгюн, Халис (2004). «О слабо локально компактных пространствах». Мягкая методология и случайные информационные системы . Спрингер. стр. 638–644. дои : 10.1007/978-3-540-44465-7_79. ISBN 978-3-540-22264-4.
^ Лоуэн-Колебандерс, Ева (1983), «О сходимости замкнутых и компактных множеств», Pacific Journal of Mathematics , 108 (1): 133–140, doi : 10.2140/pjm.1983.108.133 , MR 0709705, S2CID 55084221 , Збл 0522.54003
^ Биче, Тристан; Кубиш, Веслав (2020). «Двойственность Уоллмана для полурешеточных подоснов». arXiv : 2002.05943 [math.GN].
^ Стин и Сибах, с. 20
^ Келли 1975, гл. 5, теорема 17, с. 146.
^ Бурбаки, Николя (1989). Общая топология, часть I (переиздание изд. 1966 г.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-Х.
↑ Шпеер, Тимоти (16 августа 2007 г.). «Краткое исследование александровских пространств». arXiv : 0708.2136 [math.GN].Теорема 5
^ Шехтер 1996, 17.14(d), с. 460.
^ «общая топология - локально компактные предрегулярные пространства полностью регулярны». Математический обмен стеками .
^ Уиллард 1970, теорема 19.3, стр.136.
^ Келли 1975, Теорема 34, с. 200.
^ Шехтер 1996, Теорема 20.18, с. 538.