В геометрии группа точек — это математическая группа операций симметрии ( изометрий в евклидовом пространстве ), которые имеют общую фиксированную точку . Началом координат евклидова пространства обычно считается фиксированная точка, и каждая точечная группа в размерности d является тогда подгруппой ортогональной группы O( d ). Группы точек используются для описания симметрии геометрических фигур и физических объектов, таких как молекулы .
Каждую группу точек можно представить как наборы ортогональных матриц M , которые преобразуют точку x в точку y согласно у = Mx . Каждый элемент точечной группы является либо вращением ( определитель M = 1 ), либо отражением или неправильным вращением (определитель M = −1 ).
Геометрические симметрии кристаллов описываются пространственными группами , которые допускают переводы и содержат точечные группы в качестве подгрупп. Дискретные точечные группы в более чем одном измерении входят в бесконечные семейства, но из кристаллографической теоремы ограничения и одной из теорем Бибербаха каждое число измерений имеет только конечное число точечных групп, которые симметричны над некоторой решеткой или сеткой с этим количеством измерений. . Это кристаллографические точечные группы .
Точечные группы можно разделить на киральные (или чисто вращательные) группы и ахиральные группы. [1] Киральные группы являются подгруппами специальной ортогональной группы SO( d ): они содержат только ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, т. е. преобразования определителя +1. Ахиральные группы содержат также преобразования определителя −1. В ахиральной группе преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют (киральную) подгруппу индекса 2.
Конечные группы Кокстера или группы отражений — это точечные группы, которые создаются исключительно набором отражающих зеркал, проходящих через одну и ту же точку. Группа Кокстера ранга n имеет n зеркал и представлена диаграммой Кокстера – Дынкина . Обозначение Кокстера представляет собой обозначение в квадратных скобках, эквивалентное диаграмме Кокстера, с символами разметки для вращательных и других групп точек субсимметрии. Группы отражения обязательно ахиральны (за исключением тривиальной группы, содержащей только единичный элемент).
Есть только две одномерные точечные группы: группа единиц и группа отражения.
Группы точек в двух измерениях , иногда называемые группами розеток .
Они делятся на два бесконечных семейства:
Применение кристаллографической ограничительной теоремы ограничивает n значениями 1, 2, 3, 4 и 6 для обоих семейств, что дает 10 групп.
Подмножество чисто отражающих точечных групп, определяемое 1 или 2 зеркалами, также может быть задано их группой Кокстера и связанными с ней многоугольниками. К ним относятся 5 кристаллографических групп. Симметрию отражающих групп можно удвоить с помощью изоморфизма , отображая оба зеркала друг на друга с помощью делящегося зеркала, удваивая порядок симметрии.
Точечные группы в трех измерениях , иногда называемые молекулярными точечными группами из-за их широкого использования при изучении симметрии молекул .
Они входят в 7 бесконечных семейств осевых групп (также называемых призматическими) и 7 дополнительных многогранных групп (также называемых Платоновыми). В обозначениях Шенфлиса
Применение кристаллографической теоремы ограничения к этим группам дает 32 кристаллографические точечные группы .
Группы точек отражения, определяемые от 1 до 3 зеркальных плоскостей, также могут быть заданы их группой Кокстера и соответствующими многогранниками. Группу [3,3] можно удвоить, записать как [[3,3]], отображая первое и последнее зеркала друг на друга, удваивая симметрию до 48 и изоморфную группе [4,3].
Четырехмерные точечные группы (хиральные и ахиральные) перечислены у Конвея и Смита, [1] , раздел 4, таблицы 4.1–4.3.
В следующем списке приведены четырехмерные группы отражений (за исключением тех, которые оставляют фиксированным подпространство и, следовательно, являются группами отражений меньшей размерности). Каждая группа определяется как группа Коксетера , и, как и многогранные группы 3D, ее можно назвать по связанному с ней выпуклому правильному 4-многограннику . Связанные чисто вращательные группы существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобочной записью Кокстера с показателем «+», например, [3,3,3] + имеет три точки трехкратного вращения и порядок симметрии 60. Симметричные группы спереди-назад, такие как [3,3,3] и [3,4,3], могут быть удвоены, что показано в виде двойных скобок в обозначениях Коксетера, например [[3,3,3]] с удвоенным порядком до 240. .
В следующей таблице представлены пятимерные группы отражений (за исключением групп отражений более низкой размерности), перечисленные как группы Кокстера . Родственные киральные группы существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобочной записью Кокстера с показателем «+», например, [3,3,3,3] + имеет четыре точки трехкратного вращения и порядок симметрии 360. .
В следующей таблице представлены шестимерные группы отражений (за исключением групп отражений меньшей размерности), перечисленные как группы Кокстера . Связанные чисто вращательные группы существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобочной нотацией Кокстера с показателем «+», например, [3,3,3,3,3] + имеет пять точек трехкратного вращения и порядок симметрии 2520.
В следующей таблице представлены семимерные группы отражений (за исключением тех, которые являются группами отражений более низкой размерности), перечислив их как группы Кокстера . Связанные киральные группы существуют для каждой с половиной порядка, определяемого четным числом отражений, и могут быть представлены скобочной записью Кокстера с показателем «+», например [3,3,3,3,3,3] + имеет шесть точек тройного вращения и порядок симметрии 20160.
В следующей таблице представлены восьмимерные группы отражений (за исключением групп отражений более низкой размерности), перечисленные как группы Кокстера . Родственные киральные группы существуют для каждой с половиной порядка, определяемого четным числом отражений, и могут быть представлены скобочной записью Кокстера с показателем «+», например [3,3,3,3,3,3, 3] + имеет семь точек тройного вращения и порядок симметрии 181440.