Кристаллический импульс

Квантово-механическое векторное свойство в физике твердого тела

Существует бесконечное число синусоидальных колебаний, которые идеально подходят для набора дискретных осцилляторов, что делает невозможным однозначное определение k-вектора. Это отношение расстояний между осцилляторами к пространственной частоте Найквиста волн в решетке. ^[1] См. также Алиасинг § Выборка синусоидальных функций для получения дополнительной информации об эквивалентности k-векторов.

В физике твердого тела кристаллический импульс или квазиимпульс — это вектор, подобный импульсу, связанный с электронами в кристаллической решетке . ^[2] Он определяется соответствующими волновыми векторами этой решетки, согласно ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{crystal}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }}$

(где — приведенная постоянная Планка ). ^{[3] : 139} Часто ^{[ требуется пояснение ]} импульс кристалла сохраняется подобно механическому импульсу, что делает его полезным для физиков и материаловедов в качестве аналитического инструмента. ${\displaystyle \hbar }$

Происхождение симметрии решетки

Распространенный метод моделирования структуры и поведения кристаллов заключается в рассмотрении электронов как квантово-механических частиц, движущихся через фиксированный бесконечный периодический потенциал, такой что ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),}$

где — произвольный вектор решетки . Такая модель разумна, поскольку ионы кристалла , образующие структуру решетки, обычно в десятки тысяч раз массивнее электронов, ^[4] что позволяет безопасно заменить их фиксированной потенциальной структурой, а макроскопические размеры кристалла обычно намного больше, чем один шаг решетки, что делает краевые эффекты пренебрежимо малыми. Следствием этой функции потенциальной энергии является то, что можно сместить начальное положение электрона на любой вектор решетки, не меняя никаких аспектов проблемы, тем самым определяя дискретную симметрию . Технически бесконечный периодический потенциал подразумевает, что оператор трансляции решетки коммутирует с гамильтонианом , предполагая простую кинетико-потенциальную форму. ^{[3] : 134} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle T(a)}$

Эти условия подразумевают теорему Блоха , которая гласит:

${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$,

или что электрон в решетке, который может быть смоделирован как волновая функция отдельной частицы , находит свои решения стационарного состояния в виде плоской волны, умноженной на периодическую функцию . Теорема возникает как прямое следствие вышеупомянутого факта, что оператор трансляции симметрии решетки коммутирует с гамильтонианом системы. ^{[3] : 261–266  [5]} ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

Одним из примечательных аспектов теоремы Блоха является то, что она напрямую показывает, что решения стационарного состояния могут быть идентифицированы с волновым вектором , что означает, что это квантовое число остается константой движения. Кристаллический импульс затем традиционно определяется путем умножения этого волнового вектора на постоянную Планка: ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{crystal}}=\hbar {\mathbf {k} }.}$

Хотя это фактически идентично определению, которое можно было бы дать для регулярного импульса (например, рассматривая эффекты оператора трансляции с помощью эффектов частицы в свободном пространстве ^[6] ), существуют важные теоретические различия. Например, в то время как регулярный импульс полностью сохраняется, кристаллический импульс сохраняется только в пределах вектора решетки. Например, электрон можно описать не только волновым вектором , но и любым другим волновым вектором таким образом, что ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} '}$

${\displaystyle \mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,}$

где — произвольный вектор обратной решетки . ^{[3] : 218} Это является следствием того факта, что симметрия решетки дискретна, а не непрерывна, и, таким образом, связанный с ней закон сохранения не может быть выведен с помощью теоремы Нётер . ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Физическое значение

Фазовая модуляция состояния Блоха такая же, как у свободной частицы с импульсом , т.е. дает периодичность состояния, которая не совпадает с периодичностью решетки. Эта модуляция вносит вклад в кинетическую энергию частицы (тогда как модуляция полностью отвечает за кинетическую энергию свободной частицы). ${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$ ${\displaystyle \hbar k}$ ${\displaystyle k}$

В областях, где полоса приблизительно параболическая, импульс кристалла равен импульсу свободной частицы с импульсом, если мы присвоим частице эффективную массу , которая связана с кривизной параболы. ${\displaystyle \hbar k}$

Отношение к скорости

Волновой пакет с дисперсией , который приводит к тому, что групповая скорость и фазовая скорость различаются. Это изображение представляет собой 1-мерную реальную волну, но электронные волновые пакеты являются 3-мерными комплексными волнами.

Импульс кристалла соответствует физически измеримому понятию скорости согласно ^{[3] : 141}

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }).}$

Это та же формула, что и групповая скорость волны . Более конкретно, из-за принципа неопределенности Гейзенберга , электрон в кристалле не может иметь как точно определенное k, так и точное положение в кристалле. Однако он может образовывать волновой пакет, центрированный на импульсе k (с небольшой неопределенностью), и центрированный на определенном положении (с небольшой неопределенностью). Положение центра этого волнового пакета изменяется по мере распространения волны, двигаясь через кристалл со скоростью v, заданной формулой выше. В реальном кристалле электрон движется таким образом — путешествуя в определенном направлении с определенной скоростью — только в течение короткого периода времени, прежде чем столкнуться с несовершенством в кристалле, которое заставляет его двигаться в другом, случайном направлении. Эти столкновения, называемые электронным рассеянием , чаще всего вызываются кристаллографическими дефектами , поверхностью кристалла и случайными тепловыми колебаниями атомов в кристалле ( фононами ). ^{[3] : 216}

Реакция на электрические и магнитные поля

Кристаллический импульс также играет основополагающую роль в полуклассической модели электронной динамики, где из теоремы об ускорении ^{[7] [8]} следует , что он подчиняется уравнениям движения (в единицах СГС): ^{[3] : 218}

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }),}$

${\displaystyle {\mathbf {\dot {p}} }_{\text{crystal}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v} }\times {\mathbf {H} }\right)}$

Здесь, возможно, аналогия между кристаллическим импульсом и истинным импульсом наиболее сильна, поскольку это именно те уравнения, которым подчиняется свободный электрон пространства при отсутствии какой-либо кристаллической структуры. Кристаллический импульс также получает свой шанс проявить себя в этих типах расчетов, поскольку для того, чтобы рассчитать траекторию движения электрона с использованием приведенных выше уравнений, нужно учитывать только внешние поля, в то время как попытка расчета из набора уравнений движения на основе истинного импульса потребовала бы учета индивидуальных сил Кулона и Лоренца каждого отдельного иона решетки в дополнение к внешнему полю.

Приложения

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES)

В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES) облучение образца кристалла светом приводит к выбросу электрона из кристалла. В ходе взаимодействия можно объединить два понятия кристалла и истинного импульса и тем самым получить прямое знание зонной структуры кристалла. То есть, кристаллический импульс электрона внутри кристалла становится его истинным импульсом после того, как он покидает кристалл, и истинный импульс может быть впоследствии выведен из уравнения

${\displaystyle {\mathbf {p_{\parallel }} }={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta }$

путем измерения угла и кинетической энергии, под которой электрон покидает кристалл, где - масса одного электрона. Поскольку симметрия кристалла в направлении, нормальном к поверхности кристалла, теряется на границе кристалла, импульс кристалла в этом направлении не сохраняется. Следовательно, единственные направления, в которых можно получить полезные данные ARPES, - это направления, параллельные поверхности кристалла. ^[9] ${\displaystyle m}$

Ссылки

1. "Тема 5-2: Частота Найквиста и групповая скорость" (PDF) . Физика твердого тела в двух словах . Колорадская горная школа . Архивировано (PDF) из оригинала 2015-12-27.
2. Гуревич ВЛ; Теллунг А. (октябрь 1990). «Квазимомент в теории упругости и его преобразование». Physical Review B. 42 ( 12): 7345–7349. Bibcode :1990PhRvB..42.7345G. doi :10.1103/PhysRevB.42.7345. PMID  9994874.
3. Нил Эшкрофт ; Дэвид Мермин (1976). Физика твердого тела . Brooks/Cole Thomson Learning . ISBN 0-03-083993-9.
4. Питер Дж. Мор; Барри Н. Тейлор (2004). «Рекомендуемые значения основных физических констант CODATA 2002 года».
5. JJ Sakurai (1994). Современная квантовая механика . Addison-Wesley. стр. 139. ISBN 0-201-53929-2.
6. Роберт Литтлджон (2012). «Физика 221a классные заметки 4: Пространственные степени свободы».
7. Кэллауэй, Джозеф (1976). Квантовая теория твердого тела. Academic Press.
8. Грекки, Винченцо; Саккетти, Андреа (2005). «Осцилляторы Блоха: движение волновых пакетов». arXiv : Quant-ph/0506057 .
9. Дамаскелли, Андреа; Захид Хуссейн; Чжи-Сюнь Шен (2003). "Исследования фотоэмиссии с угловым разрешением купратных сверхпроводников". Reviews of Modern Physics . 75 (2): 473. arXiv : cond-mat/0208504 . Bibcode : 2003RvMP...75..473D. doi : 10.1103/RevModPhys.75.473. S2CID  118433150.