Эффективная масса (физика твердого тела)

Масса частицы при взаимодействии с другими частицами

В физике твердого тела эффективная масса частицы (часто обозначаемая ) — это масса , которую она имеет при реакции на силы, или масса, которую она имеет при взаимодействии с другими идентичными частицами в тепловом распределении . Одним из результатов зонной теории твердого тела является то, что движение частиц в периодическом потенциале на большие расстояния, превышающие период решетки, может сильно отличаться от их движения в вакууме. Эффективная масса — это величина, которая используется для упрощения зонных структур путем моделирования поведения свободной частицы с этой массой. Для некоторых целей и некоторых материалов эффективную массу можно считать простой константой материала. Однако в целом значение эффективной массы зависит от цели, для которой она используется, и может варьироваться в зависимости от ряда факторов. ${\textstyle m^{*}}$

Для электронов или электронных дырок в твердом теле эффективная масса обычно указывается как коэффициент, умножающий массу покоя электрона , m _e (9,11 × 10 ^-31 кг). Этот коэффициент обычно находится в диапазоне от 0,01 до 10, но может быть ниже или выше — например, достигая 1000 в экзотических материалах с тяжелыми фермионами или от нуля до бесконечности (в зависимости от определения) в графене . Поскольку это упрощает более общую зонную теорию, электронную эффективную массу можно рассматривать как важный базовый параметр, который влияет на измеримые свойства твердого тела, включая все, от эффективности солнечного элемента до скорости интегральной схемы.

Простой случай: параболическое изотропное дисперсионное уравнение.

При самых высоких энергиях валентной зоны во многих полупроводниках (Ge, Si, GaAs,...) и самых низких энергиях зоны проводимости в некоторых полупроводниках (GaAs,...) зонная структура E ( k ) может быть локально аппроксимировано как

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$

где E ( k ) — энергия электрона на волновом векторе k в этой зоне, E ₀ — константа, задающая край энергии этой зоны, а m ^* — константа (эффективная масса).

Можно показать, что электроны, помещенные в эти зоны, ведут себя как свободные электроны, за исключением другой массы, пока их энергия остается в пределах применимости приведенного выше приближения. В результате масса электрона в таких моделях, как модель Друде, должна быть заменена эффективной массой.

Одним из замечательных свойств является то, что эффективная масса может стать отрицательной , когда полоса изгибается вниз от максимума. В результате отрицательной массы электроны реагируют на электрические и магнитные силы, набирая скорость в направлении, противоположном нормальному; хотя эти электроны имеют отрицательный заряд, они движутся по траекториям, как если бы они имели положительный заряд (и положительную массу). Это объясняет существование дырок валентной зоны — квазичастиц с положительным зарядом и положительной массой , которые можно обнаружить в полупроводниках. ^[1]

В любом случае, если зонная структура имеет описанную выше простую параболическую форму, то значение эффективной массы однозначно. К сожалению, эта параболическая форма неприменима для описания большинства материалов. В таких сложных материалах нет единого определения «эффективной массы», а есть несколько определений, каждое из которых подходит для определенной цели. Остальная часть статьи подробно описывает эти эффективные массы.

Промежуточный случай: параболический анизотропный закон дисперсии.

Эллипсоиды постоянной энергии в кремнии вблизи шести минимумов зоны проводимости. Для каждой долины (минимум полосы) эффективные массы составляют m _ℓ = 0,92 м _e («продольное»; вдоль одной оси) и m _t = 0,19 м _e («поперечное»; вдоль двух осей). ^[2]

В некоторых важных полупроводниках (особенно в кремнии) зоны проводимости с самыми низкими энергиями не симметричны, поскольку поверхности с постоянной энергией теперь представляют собой эллипсоиды , а не сферы в изотропном случае. Каждый минимум зоны проводимости можно аппроксимировать только

${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{x}^{*}}}\left(k_{x}-k_{0,x}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{y}^{*}}}\left(k_{y}-k_{0,y}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{z}^{*}}}\left(k_{z}-k_{0,z}\right)^{2}}$

где оси x , y и z выровнены по главным осям эллипсоидов, а m^*
_Икс, м^*
_йИ м^*
_я- инерционные эффективные массы вдоль этих разных осей. Смещения k _{0, x} , k _{0, y} и k _{0, z} отражают то, что минимум зоны проводимости больше не центрируется на нулевом волновом векторе. (Эти эффективные массы соответствуют главным компонентам тензора инерционной эффективной массы, описанного позже. ^[3] ) .

В этом случае движение электрона уже нельзя напрямую сравнивать с движением свободного электрона; Скорость электрона будет зависеть от его направления, и он будет ускоряться в разной степени в зависимости от направления силы. Тем не менее, в кристаллах, таких как кремний, общие свойства, такие как проводимость, кажутся изотропными. Это связано с тем, что существует несколько впадин (минимумов зоны проводимости), в каждой из которых эффективные массы перераспределены по разным осям. В совокупности долины действуют вместе, обеспечивая изотропную проводимость. Можно каким-то образом усреднить эффективные массы различных осей, чтобы восстановить картину свободных электронов. Однако метод усреднения оказывается зависящим от цели: ^[4]

• Для расчета полной плотности состояний и полной плотности носителей через среднее геометрическое в сочетании с коэффициентом вырождения g , который подсчитывает количество впадин (в кремнии g = 6 ): ^[3]

  ${\displaystyle m_{\text{density}}^{*}={\sqrt[{3}]{g^{2}m_{x}m_{y}m_{z}}}}$

  (Эта эффективная масса соответствует эффективной массе плотности состояний, описанной позже.)

  Для плотности состояний на долину и плотности носителей на долину фактор вырождения не учитывается.
• Для расчета проводимости, как в модели Друде, через среднее гармоническое

  ${\displaystyle m_{\text{conductivity}}^{*}=3\left[{\frac {1}{m_{x}^{*}}}+{\frac {1}{m_{y}^{*}}}+{\frac {1}{m_{z}^{*}}}\right]^{-1}}$

  Поскольку закон Друде также зависит от времени рассеяния, которое сильно варьируется, эта эффективная масса используется редко; Вместо этого проводимость обычно выражается через плотность носителей и эмпирически измеряемый параметр — подвижность носителей .

Общий случай

В общем, дисперсионное соотношение нельзя аппроксимировать как параболическое, и в таких случаях следует точно определить эффективную массу, если ее вообще следует использовать. Здесь общепринятым определением эффективной массы является тензор инерционной эффективной массы, определенный ниже; однако в общем случае это матрица-функция волнового вектора, причем даже более сложная, чем зонная структура. Другие эффективные массы больше подходят для непосредственно измеримых явлений.

Тензор инерционной эффективной массы

Классическая частица под действием силы ускоряется по второму закону Ньютона , a = m ⁻¹ F , или, альтернативно, импульс изменяется по законуд/д тп = Ф. _ Этот интуитивный принцип тождественно проявляется в квазиклассических приближениях, основанных на зонной структуре, когда межзонными переходами можно пренебречь при достаточно слабых внешних полях. ^{[5] [6]} Сила определяет скорость изменения импульса кристалла p _{кристалла} :

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} _{\text{crystal}}}{\operatorname {d} t}}=\hbar {\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}},}$

где ħ = h /2π — приведенная постоянная Планка .

Ускорение волнообразной частицы становится скоростью изменения групповой скорости :

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\,\mathbf {v} _{\text{g}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(\nabla _{k}\,\omega \left(\mathbf {k} \right)\right)=\nabla _{k}{\frac {\operatorname {d} \omega \left(\mathbf {k} \right)}{\operatorname {d} t}}=\nabla _{k}\left({\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right),}$

где ∇ _k — оператор del в обратном пространстве . Последний шаг следует из использования цепного правила для полной производной для величины с косвенными зависимостями , поскольку прямым результатом действия силы является изменение k ( t ) , приведенное выше, что косвенно приводит к изменению E ( k )= ħ ω( k ) . Объединение этих двух уравнений дает

${\displaystyle \mathbf {a} =\nabla _{k}\left({\frac {\mathbf {F} }{\hbar }}\cdot \nabla _{k}\,{\frac {E(\mathbf {k} )}{\hbar }}\right)={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left(\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)\right)\cdot \mathbf {F} =M_{\text{inert}}^{-1}\cdot \mathbf {F} }$

используя правило скалярного произведения с равномерной силой ( ∇ _k F =0 ). — матрица Гессе E ( k ) в обратном пространстве . Мы видим, что эквивалент ньютоновской обратной инерционной массы для свободной частицы, определяемой a = m ⁻¹ F , стал тензорной величиной ${\displaystyle \nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)}$

${\displaystyle M_{\text{inert}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right).}$

чьи элементы

${\displaystyle \left[M_{\text{inert}}^{-1}\right]_{ij}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left[\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)\right]_{ij}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\,.}$

Этот тензор позволяет ускорению и силе быть в разных направлениях, а величина ускорения зависит от направления силы.

• Для параболических полос недиагональные элементы M _inert ⁻¹ равны нулю, а диагональные элементы являются константами.
• Для изотропных полос все диагональные элементы должны быть равны, а все недиагональные элементы должны быть равны.
• Для параболических изотропных зон M _inert ⁻¹ =1/м ^*I , где m ^* — скалярная эффективная масса, а I — единица.
• В общем случае элементы M _inert ⁻¹ являются функциями k .
• Обратный, M _inert = ( M _inert ⁻¹ ) ⁻¹ , известен как тензор эффективной массы . Обратите внимание, что не всегда возможно инвертировать M _inert ⁻¹

Для полос с линейной дисперсией, таких как фотоны или электроны в графене , групповая скорость фиксирована, т.е. электроны, движущиеся параллельно k направлению силы F , не могут быть ускорены, а диагональные элементы M _inert ⁻¹ очевидно равны нулю. Однако электроны, движущиеся с компонентой, перпендикулярной силе, могут ускоряться в направлении силы, а недиагональные элементы M _inert ^-1 отличны от нуля. Фактически, недиагональные элементы масштабируются обратно пропорционально k , т.е. они расходятся (становятся бесконечными) при малых k . Вот почему иногда говорят, что электроны в графене имеют бесконечную массу (из-за нулей на диагонали M _inert ⁻¹ ), а иногда говорят, что они безмассовые (из-за расхождения на недиагоналях). ^[7] ${\displaystyle E\propto k}$

Эффективная масса циклотрона

Классически заряженная частица в магнитном поле движется по спирали вдоль оси магнитного поля. Период Т его движения зависит от его массы т и заряда е ,

${\displaystyle T=\left\vert {\frac {2\pi m}{eB}}\right\vert }$

где B — плотность магнитного потока .

Для частиц в асимметричных зонных структурах частица больше не движется точно по спирали, однако ее движение поперек магнитного поля все еще движется по замкнутому контуру (не обязательно по кругу). Более того, время завершения одного из этих циклов по-прежнему обратно пропорционально магнитному полю, поэтому можно определить эффективную массу циклотрона на основе измеренного периода, используя приведенное выше уравнение.

Квазиклассическое движение частицы можно описать замкнутым контуром в k-пространстве. На протяжении всего этого цикла частица сохраняет постоянную энергию, а также постоянный импульс вдоль оси магнитного поля. Определив A как площадь k -пространства , заключенную в эту петлю (эта площадь зависит от энергии E , направления магнитного поля и волнового вектора на оси k _B ), можно показать, что эффективная масса циклотрона зависит от зонной структуры через производную этой площади по энергии:

${\displaystyle m^{*}\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial }{\partial E}}A\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)}$

Обычно эксперименты по измерению циклотронного движения ( циклотронный резонанс , эффект Де Хааса-Ван Альфена и т. д.) ограничиваются только зондирующим движением для энергий вблизи уровня Ферми .

В двумерных электронных газах эффективная масса циклотрона определена только для одного направления магнитного поля (перпендикулярного), и внеплоскостной волновой вектор выпадает. Таким образом, эффективная масса циклотрона является только функцией энергии и оказывается точно связанной с плотностью состояний при этой энергии соотношением , где g _v - вырождение долины. Такая простая зависимость неприменима к трехмерным материалам. ${\displaystyle \scriptstyle g(E)\;=\;{\frac {g_{v}m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$

Плотность состояний эффективных масс (слаболегированные полупроводники)

В полупроводниках с низким уровнем легирования концентрация электронов в зоне проводимости обычно определяется выражением

${\displaystyle n_{\text{e}}=N_{\text{C}}\exp \left(-{\frac {E_{\text{C}}-E_{\text{F}}}{kT}}\right)}$

где EF _— уровень Ферми , EC — минимальная энергия зоны проводимости, а NC — коэффициент концентрации, зависящий от _{температуры .} Можно показать , что приведенное выше соотношение для n _e применимо для любой формы зоны проводимости (включая непараболические асимметричные зоны) при условии, что легирование слабое ( _EC - E F _≫ kT ) ; это следствие ограничения статистики Ферми – Дирака в сторону статистики Максвелла – Больцмана .

Концепция эффективной массы полезна для моделирования температурной зависимости NC , тем самым позволяя использовать приведенное выше соотношение в диапазоне температур _. В идеализированном трехмерном материале с параболической полосой коэффициент концентрации определяется выражением

${\displaystyle \quad N_{\text{C}}=2\left({\frac {2\pi m_{\text{e}}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

В полупроводниках с непростой зонной структурой это соотношение используется для определения эффективной массы, известной как эффективная масса электронов в плотности состояний . Название «эффективная масса плотности состояний» используется, поскольку приведенное выше выражение для _NC получено через плотность состояний для параболической зоны.

На практике эффективная масса, экстрагированная таким способом, не совсем постоянна по температуре ( _NC не меняется точно как Т ^3/2 ). В кремнии, например, эта эффективная масса варьируется на несколько процентов от абсолютного нуля до комнатной температуры, поскольку сама зонная структура слегка меняет форму. Эти искажения зонной структуры являются результатом изменения энергий электрон-фононного взаимодействия, при этом тепловое расширение решетки играет незначительную роль. ^[8]

Аналогично, количество дырок в валентной зоне и плотность состояний эффективной массы дырок определяются как:

${\displaystyle n_{\text{h}}=N_{\text{V}}\exp \left(-{\frac {E_{\text{F}}-E_{\text{V}}}{kT}}\right),\quad N_{\text{V}}=2\left({\frac {2\pi m_{\text{h}}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

где E _V — максимальная энергия валентной зоны. На практике эта эффективная масса имеет тенденцию сильно различаться между абсолютным нулем и комнатной температурой во многих материалах (например, в два раза в кремнии), поскольку существует множество валентных зон с отчетливым и значительно непараболическим характером, все из которых достигают максимума вблизи одной и той же энергии. . ^[8]

Определение

Экспериментальный

Традиционно эффективные массы измерялись с помощью циклотронного резонанса — метода, при котором микроволновое поглощение полупроводника, погруженного в магнитное поле, проходит через острый пик, когда микроволновая частота равна циклотронной частоте . В последние годы эффективные массы чаще определялись путем измерения зонных структур с использованием таких методов, как фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением ( ARPES ) или, что наиболее непосредственно, эффект де Хааса-Ван Альфена . Эффективные массы также можно оценить, используя коэффициент γ линейного члена низкотемпературной электронной удельной теплоемкости при постоянном объеме . Удельная теплоемкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми и, как таковая, является мерой вырождения, а также кривизны зоны. Очень большие оценки массы носителя на основе измерений удельной теплоемкости привели к появлению концепции тяжелых фермионных материалов. Поскольку подвижность носителей зависит от отношения времени жизни столкновений носителей к эффективной массе, массы в принципе можно определить на основе транспортных измерений, но этот метод непрактичен, поскольку вероятности столкновения носителей обычно не известны априори. Оптический эффект Холла — это новый метод измерения плотности свободных носителей заряда, эффективной массы и параметров подвижности в полупроводниках. Оптический эффект Холла является аналогом квазистатического электрического эффекта Холла, индуцированного электрическим полем, на оптических частотах в проводящих и сложных слоистых материалах. Оптический эффект Холла позволяет также охарактеризовать анизотропию (тензорный характер) параметров эффективной массы и подвижности. ^{[12] [13]} ${\displaystyle \scriptstyle f_{c}\;=\;{\frac {eB}{2\pi m^{*}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle c_{v}}$ ${\displaystyle \tau }$

Теоретический

Разнообразные теоретические методы, включая теорию функционала плотности , теорию возмущений k·p и другие , используются для дополнения и поддержки различных экспериментальных измерений, описанных в предыдущем разделе, включая интерпретацию, подгонку и экстраполяцию этих измерений. Некоторые из этих теоретических методов можно также использовать для предсказания эффективной массы ab initio при отсутствии каких-либо экспериментальных данных, например, для изучения материалов, которые еще не созданы в лаборатории.

Значение

Эффективная масса используется в расчетах транспорта, таких как транспорт электронов под действием полей или градиентов носителей, но она также используется для расчета плотности носителей и плотности состояний в полупроводниках. Эти массы связаны, но, как объяснялось в предыдущих разделах, не одинаковы, поскольку веса различных направлений и волновых векторов различны. Эти различия важны, например, для термоэлектрических материалов , где высокая проводимость, обычно связанная с легкой массой, желательна в то же время, как и высокий коэффициент Зеебека , обычно связанный с тяжелой массой. В связи с этим разработаны методы оценки электронной структуры различных материалов. ^[14]

Некоторые соединения групп III – V , такие как арсенид галлия (GaAs) и антимонид индия (InSb), имеют гораздо меньшие эффективные массы, чем тетраэдрические материалы группы IV, такие как кремний и германий . В простейшей картине электронного транспорта Друде максимально достижимая скорость носителя заряда обратно пропорциональна эффективной массе: , где с – электронный заряд . Предельная скорость интегральных схем зависит от скорости несущей, поэтому низкая эффективная масса является основной причиной того, что GaAs и его производные используются вместо Si в приложениях с высокой пропускной способностью , таких как сотовая телефония . ^[15] ${\textstyle {\vec {v}}\;=\;\left\Vert \mu \right\Vert \cdot {\vec {E}}}$ ${\textstyle \left\Vert \mu \right\Vert \;=\;{e\tau }/{\left\Vert m^{*}\right\Vert }}$ ${\textstyle e}$

В апреле 2017 года исследователи из Университета штата Вашингтон заявили, что создали жидкость с отрицательной эффективной массой внутри конденсата Бозе-Эйнштейна , разработав соотношение дисперсии . ^[16]

Смотрите также

Модели твердых тел и кристаллов:

• Модель жесткой привязки
• Модель свободных электронов
• Модель почти свободных электронов

Сноски

1. Киттель, Введение в физику твердого тела, 8-е издание, стр. 194–196.
2. Чарльз Киттель (1996). оп. цит . п. 202. ИСБН 978-0-471-11181-8.
3. Грин, Массачусетс (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики . 67 (6): 2944–2954. Бибкод : 1990JAP....67.2944G. дои : 10.1063/1.345414.
4. «Эффективная масса в полупроводниках». Университет Колорадо в области электротехники, компьютерной и энергетической инженерии. Архивировано из оригинала 20 октября 2017 г. Проверено 23 июля 2016 г.
5. Каллауэй, Джозеф (1976). Квантовая теория твердого тела. Академическая пресса.
6. Грекки, Винченцо; Саккетти, Андреа (2005). «Осцилляторы Блоха: движение волновых пакетов». arXiv : Quant-ph/0506057 .
7. Чайтанья К. Уллал, Цзянь Ши и Равишанкар Сундарарамана Американский физический журнал 87, 291 (2019); https://doi.org/10.1119/1.5092453
8. Грин, Массачусетс (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики . 67 (6): 2944–2954. Бибкод : 1990JAP....67.2944G. дои : 10.1063/1.345414.
9. СЗ Сзе, Физика полупроводниковых приборов , ISBN 0-471-05661-8 . 
10. В.А. Харрисон, Электронная структура и свойства твердых тел , ISBN 0-486-66021-4 . 
11. На этом сайте приведены эффективные массы кремния при разных температурах.
12. М. Шуберт, Инфракрасная эллипсометрия полупроводниковых слоевых структур: фононы, плазмоны и поляритоны , ISBN 3-540-23249-4 . 
13. Шуберт, М.; Кюне, П.; Даракчиева В.; Хофманн, Т. (2016). «Оптический эффект Холла – описание модели: учебное пособие». Журнал Оптического общества Америки А. 33 (8): 1553–68. Бибкод : 2016JOSAA..33.1553S. дои : 10.1364/JOSAA.33.001553. ПМИД  27505654.
14. Син, Г. (2017). «Электронная фитнес-функция для скрининга полупроводников как термоэлектрических материалов». Материалы физического обзора . 1 (6): 065405. arXiv : 1708.04499 . Бибкод : 2017PhRvM...1f5405X. doi : 10.1103/PhysRevMaterials.1.065405. S2CID  67790664.
15. Сильвейринья, MRG; Энгета, Н. (2012). «Трансформационная электроника: адаптация эффективной массы электронов». Физический обзор B . 86 (16): 161104. arXiv : 1205.6325 . Бибкод : 2012PhRvB..86p1104S. doi : 10.1103/PhysRevB.86.161104.
16. Хамехчи, Калифорния (2017). «Гидродинамика отрицательной массы в бозе-эйнштейновском конденсате со спин-орбитальной связью». Письма о физических отзывах . 118 (15): 155301. arXiv : 1612.04055 . Бибкод : 2017PhRvL.118o5301K. doi : 10.1103/PhysRevLett.118.155301. PMID  28452531. S2CID  44198065.

Рекомендации

• Пастори Парравичини, Г. (1975). Электронные состояния и оптические переходы в твердых телах . Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-016846-3. Эта книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением расчетов и эксперимента.
• Пекар С., Метод эффективной массы электронов в кристаллах, Журн. Эксп. Теор. Физ. 16 , 933 (1946).

Внешние ссылки

• Архив НСМ