Модель электропроводности Друде была предложена в 1900 году [1] [ 2] Полем Друде для объяснения транспортных свойств электронов в материалах (особенно в металлах). По сути, закон Ома был хорошо известен и гласил, что ток J и напряжение V , вызывающее ток, связаны с сопротивлением R материала. Обратная величина сопротивления известна как проводимость. Когда мы рассматриваем металл единичной длины и единичной площади поперечного сечения, проводимость называется проводимостью, которая является обратной величиной удельного сопротивления . Модель Друде пытается объяснить удельное сопротивление проводника с точки зрения рассеяния электронов (носителей электричества) относительно неподвижными ионами в металле, которые действуют как препятствия для потока электронов.
Модель, которая является применением кинетической теории , предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле можно рассматривать классически и ведет себя во многом как автомат для игры в пинбол , где море постоянно колеблющихся электронов отскакивает и отскакивает от более тяжелых, относительно неподвижных. положительные ионы.
Говоря современным языком, это отражено в модели валентных электронов , в которой море электронов состоит только из валентных электронов [3] , а не из всего набора электронов, имеющихся в твердом теле, а центры рассеяния представляют собой внутренние оболочки прочно связанных тел. электронов к ядру. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный валентному числу атомов. [Эшкрофт и Мермин 1] Это сходство, добавленное к некоторым ошибкам вычислений в статье Друде, в конечном итоге привело к созданию разумной качественной теории твердых тел, способной делать хорошие прогнозы в одних случаях и давать совершенно неправильные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались более подробно и подробно объяснить природу центров рассеяния, механику рассеяния и значение длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачами. [Эшкрофт и Мермин 2]
Длины рассеяния, вычисленные в модели Друде, составляют порядка 10–100 межатомных расстояний, и им также не может быть дано надлежащее микроскопическое объяснение.
Рассеяние Друде — это не электрон-электронное рассеяние, которое является лишь второстепенным явлением в современной теории, равно как и ядерное рассеяние, поскольку электроны не могут быть в лучшем случае поглощены ядрами. Модель немного умалчивает о микроскопических механизмах. Говоря современным языком, это то, что сейчас называется «механизмом первичного рассеяния», где основное явление может быть разным в каждом конкретном случае. [Эшкрофт и Мермин 3]
Модель дает лучшие прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости [Эшкрофт и Мермин 4], и иногда ее называют теорией металлов Друде. Это связано с тем, что металлы имеют по существу лучшее приближение к модели свободных электронов , т.е. металлы не имеют сложной зонной структуры , электроны ведут себя по существу как свободные частицы и где, в случае металлов, эффективное число делокализованных электронов по существу равно то же, что и валентное число. [Эшкрофт и Мермин 5]
Двумя наиболее важными результатами модели Друде являются электронное уравнение движения и линейная зависимость между плотностью тока J и электрическим полем E.
Здесь t - время, ⟨ p ⟩ - средний импульс на электрон, а q, n, m и τ - соответственно заряд электрона, плотность числа, масса и среднее свободное время между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, поскольку оно объясняет в полуколичественных терминах, почему должен выполняться закон Ома , одно из наиболее распространенных соотношений во всей электромагнетизме. [Эшкрофт и Мермин 6] [4] [5]
Шаги на пути к более современной теории твердого тела были следующими:
Друде использовал статистику Максвелла – Больцмана для электронного газа и для вывода единственной доступной на тот момент модели. Заменив статистику правильной статистикой Ферми-Дирака , Зоммерфельд значительно улучшил предсказания модели, хотя по-прежнему располагал полуклассической теорией, которая не могла предсказать все результаты современной квантовой теории твердого тела. [Эшкрофт и Мермин 8]
Немецкий физик Пауль Друде предложил свою модель в 1900 году, когда было неясно, существуют ли атомы, и не было ясно, что такое атомы в микроскопическом масштабе. [6] В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца закона Видемана-Франца в два раза больше, чем оно должно было быть в классическом понимании, таким образом создавая впечатление, что оно соответствует экспериментальному значению теплоемкости. Это число примерно в 100 раз меньше, чем классическое предсказание, но этот фактор уравновешивается средней скоростью электрона, которая примерно в 100 раз превышает расчет Друде. [Эшкрофт и Мермин 9]
Первое прямое доказательство существования атомов посредством вычисления числа Авогадро на основе микроскопической модели принадлежит Альберту Эйнштейну , первая современная модель структуры атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда — 1909 годом. Друде начинает с открытия электронов в 1897 году Дж. Дж. Томсон и в качестве упрощенной модели твердых тел предполагает, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных центров рассеяния, а море электронов погружает эти центры рассеяния, чтобы сделать все твердое тело нейтральным с точки зрения заряда. [Эшкрофт и Мермин 10] Модель была расширена в 1905 году Хендриком Антоном Лоренцем (и, следовательно, также известна как модель Друде-Лоренца ) [7], чтобы дать связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (см. число Лоренца ), и является классической моделью. Позже она была дополнена результатами квантовой теории в 1933 году Арнольдом Зоммерфельдом и Гансом Бете , что привело к модели Друде-Зоммерфельда .
В настоящее время модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и получения первого качественного понимания конкретной экспериментальной установки. [Эшкрофт и Мермин 11] Это общий метод в физике твердого тела , для которого характерно постепенное увеличение сложности моделей для получения все более и более точных предсказаний. Реже используется полноценная квантовая теория поля, основанная на первых принципах, учитывая сложности, связанные с огромным количеством частиц и взаимодействий, а также небольшую добавленную ценность дополнительных математических вычислений (учитывая возрастающий выигрыш в числовой точности предсказаний). ). [8]
Друде использовал кинетическую теорию газов применительно к газу электронов, движущихся на неподвижном фоне « ионов »; это контрастирует с обычным способом применения теории газов как нейтрального разбавленного газа без фона. Предполагалось, что числовая плотность электронного газа равна где Z — эффективное число делокализованных электронов на ион, для которого Друде использовал валентное число, A — атомная масса на моль, [Ashcroft & Mermin 10] — масса плотность (масса на единицу объема) [Ashcroft & Mermin 10] «ионов», а N A — постоянная Авогадро . Учитывая средний объем, доступный на электрон в виде сферы: Величина представляет собой параметр, который описывает плотность электронов и часто составляет порядка 2 или 3 радиусов Бора , для щелочных металлов она колеблется от 3 до 6, а для некоторых соединений металлов она колеблется от 3 до 6. может доходить до 10. Плотность примерно в 1000 раз превышает плотность типичного классического газа. [Эшкрофт и Мермин 12]
Основные предположения, сделанные в модели Друде, следующие:
Удаление или улучшение каждого из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно описывать различные твердые тела:
Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле E однородно и постоянно, а тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульса d p между столкновениями, которые происходят в среднем каждые τ секунд. . [Эшкрофт и Мермин 6]
Тогда электрон, изолированный в момент времени t , в среднем будет путешествовать в течение времени τ с момента своего последнего столкновения и, следовательно, будет иметь накопленный импульс.
Во время своего последнего столкновения этот электрон с одинаковой вероятностью отскочил бы как вперед, так и назад, поэтому все предыдущие вклады в импульс электрона можно игнорировать, что приводит к выражению
Замена соотношений приводит к формулировке упомянутого выше закона Ома:
Динамику также можно описать введением эффективной силы сопротивления. В момент времени t = t 0 + dt импульс электрона будет: где можно интерпретировать как общую силу (например, силу Лоренца ) на носителе или, более конкретно, на электроне. - импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом ) и с абсолютной кинетической энергией
В среднем часть электронов не испытает еще одного столкновения, другая часть, которая в среднем столкнулась, выйдет в случайном направлении и внесет в общий импульс только коэффициент второго порядка. [Эшкрофт и Мермин 14]
Немного алгебры и отбросив члены порядка , это приводит к общему дифференциальному уравнению
Второй член на самом деле представляет собой дополнительную силу сопротивления или коэффициент демпфирования из-за эффектов Друде.
В момент времени t = t 0 + dt средний импульс электрона будет равен и тогда где ⟨ p ⟩ обозначает средний импульс, а q - заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить общее решение для p ( t ) . Стационарное решение , д ⟨ п ⟩/DT = 0 , тогда
Как указано выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а это, в свою очередь, может быть связано с плотностью тока, и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома с проводимостью по постоянному току σ 0 :
Модель Друде также может предсказывать ток как реакцию на зависящее от времени электрическое поле с угловой частотой ω . Комплексная проводимость
Здесь предполагается, что: В технике i обычно заменяется на -i (или -j ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающуюся во времени.
Учитывая И уравнение движения, приведенное выше, подставляя. Учитывая определение комплексной проводимости из: Имеем:
Мнимая часть указывает на то, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам требуется примерно время τ , чтобы ускориться в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; его можно применять как к электронам, так и к дыркам; т.е. положительные носители заряда в полупроводниках. Кривые для σ ( ω ) показаны на графике.
Если к твердому телу приложить синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой , отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая имеет тенденцию перемещаться на расстояние x от положительно заряженного фона. В результате образец поляризуется и на противоположных поверхностях образца образуется избыточный заряд.
Диэлектрическая проницаемость образца выражается как где – электрическое смещение , – плотность поляризации .
Плотность поляризации записывается как, а плотность поляризации с плотностью n электронов равна. После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем может быть выражена как Частотно-зависимая диэлектрическая функция твердого тела равна
Учитывая приближения для включенных выше
Ниже приведены уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в рамках плазменных колебаний ) в гауссовых единицах : Тогда или которое представляет собой уравнение электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью в форме Гельмольца, где показатель преломления равен и Таким образом , фазовая скорость представляет собой комплексную диэлектрическую постоянную, которую в данном случае можно аппроксимировать следующим образом: В единицах СИ в числителе заменяется на в знаменателе.
На резонансной частоте , называемой плазменной частотой , диэлектрическая функция меняет знак с отрицательного на положительный и действительная часть диэлектрической функции падает до нуля. Плазменная частота представляет собой резонанс плазменных колебаний или плазмон . Плазменную частоту можно использовать как прямую меру квадратного корня из плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения находятся в разумном согласии с этим теоретическим предсказанием для большого количества материалов. [11] Ниже плазменной частоты диэлектрическая функция отрицательна, и поле не может проникнуть в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражен. Световые волны выше плазменной частоты могут проникать в образец, типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения. [Эшкрофт и Мермин 17]
Одним из больших успехов модели Друде является объяснение закона Видемана-Франца . Это произошло из-за случайного исключения ошибок в первоначальных расчетах Друде. Друде предсказал значение числа Лоренца: экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне для металлов при температурах от 0 до 100 градусов Цельсия. [Эшкрофт и Мермин 18]
Твердые тела могут проводить тепло посредством движения электронов, атомов и ионов. Проводники имеют большую плотность свободных электронов, тогда как изоляторы этого не делают; ионы могут присутствовать в любом из них. Учитывая хорошую электро- и теплопроводность металлов и плохую электро- и теплопроводность изоляторов, естественной отправной точкой для оценки теплопроводности является расчет вклада электронов проводимости.
Плотность теплового тока — это поток тепловой энергии в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной потоку. Он пропорционален градиенту температуры. где теплопроводность. В одномерном проводе энергия электронов зависит от локальной температуры. Если представить градиент температуры, при котором температура уменьшается в положительном направлении x, то средняя скорость электронов равна нулю (но не средняя скорость). Электроны, прибывающие в точку x со стороны с более высокой энергией, прибудут с энергией , а со стороны с более низкой энергией — с энергией . Здесь – средняя скорость электронов и – среднее время с момента последнего столкновения.
Чистый поток тепловой энергии в точке x представляет собой разницу между тем, что проходит слева направо и справа налево: коэффициент 1/2 объясняет тот факт, что электроны с одинаковой вероятностью будут двигаться в любом направлении. Только половина вносит вклад в поток в точке x .
Когда длина свободного пробега мала, величину можно аппроксимировать производной по x. Это дает Поскольку электрон движется в направлениях , и , среднеквадратическая скорость в этом направлении равна . Также имеем , где – удельная теплоемкость материала.
Объединив все это вместе, плотность тока тепловой энергии равна Это определяет теплопроводность: (Этот вывод игнорирует зависимость скорости v от температуры и, следовательно, от положения. Это не приведет к существенной ошибке, если только температура не изменится. быстро на расстоянии, сравнимом со средней длиной свободного пробега.)
Деление теплопроводности на электропроводность исключает время рассеяния и дает
На этом этапе расчетов Друде сделал два предположения, которые теперь считаются ошибочными. Сначала он использовал классический результат для удельной теплоемкости электронов проводимости: . Это переоценивает электронный вклад в удельную теплоемкость примерно в 100 раз. Во-вторых, Друде использовал классическую среднеквадратическую скорость электронов . Это занижает энергию электронов примерно в 100 раз. Устранение этих двух ошибок приводит к хорошему приближению к проводимости металлов. Помимо этих двух оценок, Друде также допустил статистическую ошибку и завысил среднее время между столкновениями в 2 раза. Это слияние ошибок дало значение числа Лоренца, которое было удивительно близко к экспериментальным значениям.
Правильное значение числа Лоренца, оцененное на основе модели Друде, составляет [Ashcroft & Mermin 19].
Обычный температурный градиент при включении в тонкий стержень вызовет ток электронов в направлении стороны с более низкой температурой. Учитывая, что эксперименты проводятся в разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем, а Q называется термоэдс. Оценки Друде в 100 раз занижены, учитывая прямую зависимость от теплоемкости. где типичная термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. [Эшкрофт и Мермин 20]
Из простой одномерной модели. Расширение до 3 степеней свободы. Средняя скорость, обусловленная электрическим полем (с учетом приведенного выше уравнения движения в состоянии равновесия). Чтобы полный ток был нулевым, мы имеем И, как обычно, в случае Друде, где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. [Эшкрофт и Мермин 20]
Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости постоянного и переменного тока в металлах, эффекта Холла и магнитосопротивления [Эшкрофт и Мермин 14] в металлах при температуре, близкой к комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана-Франца 1853 года.
Формула Друде выводится ограниченным способом, а именно в предположении, что носители заряда образуют классический идеальный газ . При рассмотрении квантовой теории модель Друде может быть расширена до модели свободных электронов , где носители подчиняются распределению Ферми – Дирака . Предсказанная проводимость такая же, как и в модели Друде, поскольку она не зависит от формы распределения скорости электронов. Однако модель Друде сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре. Кроме того, модель Друде не объясняет разбросанную тенденцию электропроводности в зависимости от частоты примерно выше 2 ТГц. [12] [13]
Модель также применима к положительным (дырочным) носителям заряда.
Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, т. е. экспоненциальная релаксация с постоянной времени τ или частотная зависимость σ ( ω ) , указанная выше, называется откликом Друде. В обычном, простом реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение экспериментально не обнаружено, поскольку характерная частота τ -1 находится в инфракрасном диапазоне частот, где есть другие особенности, не учтенные в Модель Друде (например, зонная структура ) играет важную роль. [12] Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая близко соответствует простому предсказанию Друде для σ ( ω ) . Это материалы, в которых скорость релаксации τ −1 находится на гораздо более низких частотах. [12] Это относится к некоторым легированным полупроводниковым монокристаллам, [14] двумерным электронным газам с высокой подвижностью , [15] и металлам с тяжелыми фермионами . [16]