Модель Друде

Модель электропроводности

Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно подпрыгивают между более тяжелыми неподвижными кристаллическими ионами (показаны красным). ^{[ нужна цитата ]}

Модель электропроводности Друде была предложена в 1900 году ^[1] [ ^2] Полем Друде для объяснения транспортных свойств электронов в материалах (особенно в металлах). По сути, закон Ома был хорошо известен и гласил, что ток J и напряжение V , вызывающее ток, связаны с сопротивлением R материала. Обратная величина сопротивления известна как проводимость. Когда мы рассматриваем металл единичной длины и единичной площади поперечного сечения, проводимость называется проводимостью, которая является обратной величиной удельного сопротивления . Модель Друде пытается объяснить удельное сопротивление проводника с точки зрения рассеяния электронов (носителей электричества) относительно неподвижными ионами в металле, которые действуют как препятствия для потока электронов.

Модель, которая является применением кинетической теории , предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле можно рассматривать классически и ведет себя во многом как автомат для игры в пинбол , где море постоянно колеблющихся электронов отскакивает и отскакивает от более тяжелых, относительно неподвижных. положительные ионы.

Говоря современным языком, это отражено в модели валентных электронов , в которой море электронов состоит только из валентных электронов ^[3] , а не из всего набора электронов, имеющихся в твердом теле, а центры рассеяния представляют собой внутренние оболочки прочно связанных тел. электронов к ядру. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный валентному числу атомов. ^{[Эшкрофт и Мермин 1]} Это сходство, добавленное к некоторым ошибкам вычислений в статье Друде, в конечном итоге привело к созданию разумной качественной теории твердых тел, способной делать хорошие прогнозы в одних случаях и давать совершенно неправильные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались более подробно и подробно объяснить природу центров рассеяния, механику рассеяния и значение длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачами. ^{[Эшкрофт и Мермин 2]}

Длины рассеяния, вычисленные в модели Друде, составляют порядка 10–100 межатомных расстояний, и им также не может быть дано надлежащее микроскопическое объяснение.

Рассеяние Друде — это не электрон-электронное рассеяние, которое является лишь второстепенным явлением в современной теории, равно как и ядерное рассеяние, поскольку электроны не могут быть в лучшем случае поглощены ядрами. Модель немного умалчивает о микроскопических механизмах. Говоря современным языком, это то, что сейчас называется «механизмом первичного рассеяния», где основное явление может быть разным в каждом конкретном случае. ^{[Эшкрофт и Мермин 3]}

Модель дает лучшие прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости ^{[Эшкрофт и Мермин 4],} и иногда ее называют теорией металлов Друде. Это связано с тем, что металлы имеют по существу лучшее приближение к модели свободных электронов , т.е. металлы не имеют сложной зонной структуры , электроны ведут себя по существу как свободные частицы и где, в случае металлов, эффективное число делокализованных электронов по существу равно то же, что и валентное число. ^{[Эшкрофт и Мермин 5]}

Двумя наиболее важными результатами модели Друде являются электронное уравнение движения и линейная зависимость между плотностью тока J и электрическим полем E. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .}$$

Здесь t - время, ⟨ p ⟩ - средний импульс на электрон, а q, n, m и τ - соответственно заряд электрона, плотность числа, масса и среднее свободное время между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, поскольку оно объясняет в полуколичественных терминах, почему должен выполняться закон Ома , одно из наиболее распространенных соотношений во всей электромагнетизме. ^{[Эшкрофт и Мермин 6] [4] [5]}

Шаги на пути к более современной теории твердого тела были следующими:

• Твердая модель Эйнштейна и модель Дебая , предполагающие, что квантовое поведение обмена энергией в целых единицах или квантах было важным компонентом полной теории, особенно в отношении теплоемкости , где теория Друде потерпела неудачу.
• В некоторых случаях, а именно в случае эффекта Холла, теория давала правильные предсказания, если вместо отрицательного заряда электронов использовался положительный. Сейчас это интерпретируется как дырки (т.е. квазичастицы, которые ведут себя как носители положительного заряда), но во времена Друде было довольно неясно, почему это так. ^{[Эшкрофт и Мермин 7]}

Друде использовал статистику Максвелла – Больцмана для электронного газа и для вывода единственной доступной на тот момент модели. Заменив статистику правильной статистикой Ферми-Дирака , Зоммерфельд значительно улучшил предсказания модели, хотя по-прежнему располагал полуклассической теорией, которая не могла предсказать все результаты современной квантовой теории твердого тела. ^{[Эшкрофт и Мермин 8]}

История

Немецкий физик Пауль Друде предложил свою модель в 1900 году, когда было неясно, существуют ли атомы, и не было ясно, что такое атомы в микроскопическом масштабе. ^[6] В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца закона Видемана-Франца в два раза больше, чем оно должно было быть в классическом понимании, таким образом создавая впечатление, что оно соответствует экспериментальному значению теплоемкости. Это число примерно в 100 раз меньше, чем классическое предсказание, но этот фактор уравновешивается средней скоростью электрона, которая примерно в 100 раз превышает расчет Друде. ^{[Эшкрофт и Мермин 9]}

Первое прямое доказательство существования атомов посредством вычисления числа Авогадро на основе микроскопической модели принадлежит Альберту Эйнштейну , первая современная модель структуры атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда — 1909 годом. Друде начинает с открытия электронов в 1897 году Дж. Дж. Томсон и в качестве упрощенной модели твердых тел предполагает, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных центров рассеяния, а море электронов погружает эти центры рассеяния, чтобы сделать все твердое тело нейтральным с точки зрения заряда. ^{[Эшкрофт и Мермин 10]} Модель была расширена в 1905 году Хендриком Антоном Лоренцем (и, следовательно, также известна как модель Друде-Лоренца ) ^[7], чтобы дать связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (см. число Лоренца ), и является классической моделью. Позже она была дополнена результатами квантовой теории в 1933 году Арнольдом Зоммерфельдом и Гансом Бете , что привело к модели Друде-Зоммерфельда .

В настоящее время модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и получения первого качественного понимания конкретной экспериментальной установки. ^{[Эшкрофт и Мермин 11]} Это общий метод в физике твердого тела , для которого характерно постепенное увеличение сложности моделей для получения все более и более точных предсказаний. Реже используется полноценная квантовая теория поля, основанная на первых принципах, учитывая сложности, связанные с огромным количеством частиц и взаимодействий, а также небольшую добавленную ценность дополнительных математических вычислений (учитывая возрастающий выигрыш в числовой точности предсказаний). ). ^[8]

Предположения

Друде использовал кинетическую теорию газов применительно к газу электронов, движущихся на неподвижном фоне « ионов »; это контрастирует с обычным способом применения теории газов как нейтрального разбавленного газа без фона. Предполагалось, что числовая плотность электронного газа равна где Z — эффективное число делокализованных электронов на ион, для которого Друде использовал валентное число, A — атомная масса на моль, ^{[Ashcroft & Mermin 10]} — масса плотность (масса на единицу объема) ^{[Ashcroft & Mermin 10]} «ионов», а N _A — постоянная Авогадро . Учитывая средний объем, доступный на электрон в виде сферы: Величина представляет собой параметр, который описывает плотность электронов и часто составляет порядка 2 или 3 радиусов Бора , для щелочных металлов она колеблется от 3 до 6, а для некоторых соединений металлов она колеблется от 3 до 6. может доходить до 10. Плотность примерно в 1000 раз превышает плотность типичного классического газа. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]} $${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},}$$ ${\displaystyle \rho _{\text{m}}}$ $${\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.}$$ ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

Основные предположения, сделанные в модели Друде, следующие:

• Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, несмотря на высокие плотности, поэтому игнорируя электрон-электронные и электрон-ионные взаимодействия, помимо столкновений. ^{[Эшкрофт и Мермин 13]}
• Модель Друде считает, что металл состоит из совокупности положительно заряженных ионов, от которых отделилось несколько «свободных электронов». Можно думать, что это валентные электроны атомов, которые делокализованы под действием электрического поля других атомов. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]}
• Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]}
• Электроны движутся по прямым линиям между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]}
• Единственное взаимодействие свободного электрона с окружением рассматривалось как столкновение с непроницаемым ионным ядром. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]}
• Среднее время между последующими столкновениями такого электрона равно τ с распределением Пуассона без памяти . Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]}
• После столкновения распределение скорости и направления электрона определяется только локальной температурой и не зависит от скорости электрона до события столкновения. ^{[Эшкрофт и Мермин 12]} Считается, что электрон сразу же находится в равновесии с локальной температурой после столкновения.

Удаление или улучшение каждого из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно описывать различные твердые тела:

• Улучшение гипотезы статистики Максвелла-Больцмана статистикой Ферми -Дирака приводит к модели Друде-Зоммерфельда .
• Улучшение гипотезы статистики Максвелла-Больцмана статистикой Бозе-Эйнштейна приводит к соображениям о теплоемкости атомов с целым спином ^[9] и к конденсату Бозе-Эйнштейна .
• Электрон валентной зоны в полупроводнике по-прежнему остается свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т.е. только «редкое» столкновение с высокой энергией, которое подразумевает изменение зоны, будет вести себя по-другому); приближение независимого электрона по существу все еще справедливо (т.е. отсутствует электрон-электронное рассеяние), вместо этого гипотеза о локализации событий рассеяния отбрасывается (с точки зрения непрофессионала, электрон находится и рассеивается повсюду). ^[10]

Математическая обработка

поле постоянного тока

Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле E однородно и постоянно, а тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульса d p между столкновениями, которые происходят в среднем каждые τ секунд. . ^{[Эшкрофт и Мермин 6]}

Тогда электрон, изолированный в момент времени t , в среднем будет путешествовать в течение времени τ с момента своего последнего столкновения и, следовательно, будет иметь накопленный импульс. $${\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

Во время своего последнего столкновения этот электрон с одинаковой вероятностью отскочил бы как вперед, так и назад, поэтому все предыдущие вклады в импульс электрона можно игнорировать, что приводит к выражению $${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

Замена соотношений приводит к формулировке упомянутого выше закона Ома: $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$$

Анализ, изменяющийся во времени

Друде отклик плотности тока на переменное электрическое поле.

Динамику также можно описать введением эффективной силы сопротивления. В момент времени t = t ₀ + dt импульс электрона будет: где можно интерпретировать как общую силу (например, силу Лоренца ) на носителе или, более конкретно, на электроне. - импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом ) и с абсолютной кинетической энергией $${\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0}$ $${\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.}$$

В среднем часть электронов не испытает еще одного столкновения, другая часть, которая в среднем столкнулась, выйдет в случайном направлении и внесет в общий импульс только коэффициент второго порядка. ^{[Эшкрофт и Мермин 14]} ${\displaystyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}$

Немного алгебры и отбросив члены порядка , это приводит к общему дифференциальному уравнению ${\displaystyle dt^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$

Второй член на самом деле представляет собой дополнительную силу сопротивления или коэффициент демпфирования из-за эффектов Друде.

Постоянное электрическое поле

В момент времени t = t ₀ + dt средний импульс электрона будет равен и тогда где ⟨ p ⟩ обозначает средний импульс, а q - заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить общее решение для p ( t ) . Стационарное решение , ⁠ $${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$ $${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }}$$д ⟨ п ⟩/DT⁠ = 0 , тогда $${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}$$

Как указано выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а это, в свою очередь, может быть связано с плотностью тока, и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома с проводимостью по постоянному току σ ₀ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }$ $${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}$$

поле переменного тока

Комплексная проводимость для разных частот при условии, что τ = 10 ⁻⁵ и что σ ₀ = 1 .

Модель Друде также может предсказывать ток как реакцию на зависящее от времени электрическое поле с угловой частотой ω . Комплексная проводимость $${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}$$

Здесь предполагается, что: В технике i обычно заменяется на -i (или -j ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающуюся во времени. $${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

Доказательство с использованием уравнения движения ^{[Эшкрофт и Мермин 15]}

Учитывая И уравнение движения, приведенное выше, подставляя. Учитывая определение комплексной проводимости из: Имеем: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$ $${\displaystyle -i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )}$$ $${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$$

Мнимая часть указывает на то, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам требуется примерно время τ , чтобы ускориться в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; его можно применять как к электронам, так и к дыркам; т.е. положительные носители заряда в полупроводниках. Кривые для σ ( ω ) показаны на графике.

Если к твердому телу приложить синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой , отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая имеет тенденцию перемещаться на расстояние x от положительно заряженного фона. В результате образец поляризуется и на противоположных поверхностях образца образуется избыточный заряд. ${\displaystyle \omega }$

Диэлектрическая проницаемость образца выражается как где – электрическое смещение , – плотность поляризации . $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$

Плотность поляризации записывается как, а плотность поляризации с плотностью n электронов равна. После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем может быть выражена как Частотно-зависимая диэлектрическая функция твердого тела равна $${\displaystyle P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}}$$ $${\displaystyle P=-nex}$$ $${\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}$$ $${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}$$

Доказательство с использованием уравнений Максвелла ^{[Эшкрофт и Мермин 16]}

Учитывая приближения для включенных выше ${\displaystyle \sigma (\omega )}$

• мы предполагали отсутствие электромагнитного поля: оно всегда меньше в v/c раз, учитывая дополнительный член Лоренца в уравнении движения ${\displaystyle -{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B} }$
• мы предполагали пространственно однородное поле: это верно, если поле не сильно колеблется на протяжении нескольких длин свободного пробега электронов. Обычно это не так: средняя длина свободного пробега имеет порядок ангстрем, что соответствует длинам волн, типичным для рентгеновских лучей.

Ниже приведены уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в рамках плазменных колебаний ) в гауссовых единицах : Тогда или которое представляет собой уравнение электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью в форме Гельмольца, где показатель преломления равен и Таким образом , фазовая скорость представляет собой комплексную диэлектрическую постоянную, которую в данном случае можно аппроксимировать следующим образом: В единицах СИ в числителе заменяется на в знаменателе. $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)}$$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E} }$$ ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E} }$$ ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$ ${\displaystyle v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}}$ $${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)}$$ ${\displaystyle \omega \tau \gg 1}$ $${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.}$$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

На резонансной частоте , называемой плазменной частотой , диэлектрическая функция меняет знак с отрицательного на положительный и действительная часть диэлектрической функции падает до нуля. Плазменная частота представляет собой резонанс плазменных колебаний или плазмон . Плазменную частоту можно использовать как прямую меру квадратного корня из плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения находятся в разумном согласии с этим теоретическим предсказанием для большого количества материалов. ^[11] Ниже плазменной частоты диэлектрическая функция отрицательна, и поле не может проникнуть в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражен. Световые волны выше плазменной частоты могут проникать в образец, типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения. ^{[Эшкрофт и Мермин 17]} ${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$ $${\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}$$

Теплопроводность металлов

Одним из больших успехов модели Друде является объяснение закона Видемана-Франца . Это произошло из-за случайного исключения ошибок в первоначальных расчетах Друде. Друде предсказал значение числа Лоренца: экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне для металлов при температурах от 0 до 100 градусов Цельсия. ^{[Эшкрофт и Мермин 18]} $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$$ ${\displaystyle 2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

Вывод и ошибки Друде ^{[Эшкрофт и Мермин 16]}

Твердые тела могут проводить тепло посредством движения электронов, атомов и ионов. Проводники имеют большую плотность свободных электронов, тогда как изоляторы этого не делают; ионы могут присутствовать в любом из них. Учитывая хорошую электро- и теплопроводность металлов и плохую электро- и теплопроводность изоляторов, естественной отправной точкой для оценки теплопроводности является расчет вклада электронов проводимости.

Плотность теплового тока — это поток тепловой энергии в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной потоку. Он пропорционален градиенту температуры. где теплопроводность. В одномерном проводе энергия электронов зависит от локальной температуры. Если представить градиент температуры, при котором температура уменьшается в положительном направлении x, то средняя скорость электронов равна нулю (но не средняя скорость). Электроны, прибывающие в точку x со стороны с более высокой энергией, прибудут с энергией , а со стороны с более низкой энергией — с энергией . Здесь – средняя скорость электронов и – среднее время с момента последнего столкновения. $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T}$$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \epsilon [T(x)]}$ ${\displaystyle \varepsilon [T(x-v\tau )]}$ ${\displaystyle \varepsilon [T(x+v\tau )]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \tau }$

Чистый поток тепловой энергии в точке x представляет собой разницу между тем, что проходит слева направо и справа налево: коэффициент ⁠ $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}}$$1/2⁠ объясняет тот факт, что электроны с одинаковой вероятностью будут двигаться в любом направлении. Только половина вносит вклад в поток в точке x .

Когда длина свободного пробега мала, величину можно аппроксимировать производной по x. Это дает Поскольку электрон движется в направлениях , и , среднеквадратическая скорость в этом направлении равна . Также имеем , где – удельная теплоемкость материала. ${\displaystyle \ell =v\tau }$ ${\displaystyle {\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau }$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$

Объединив все это вместе, плотность тока тепловой энергии равна Это определяет теплопроводность: (Этот вывод игнорирует зависимость скорости v от температуры и, следовательно, от положения. Это не приведет к существенной ошибке, если только температура не изменится. быстро на расстоянии, сравнимом со средней длиной свободного пробега.) $${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T}$$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}}$$

Деление теплопроводности на электропроводность исключает время рассеяния и дает ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}}$$

На этом этапе расчетов Друде сделал два предположения, которые теперь считаются ошибочными. Сначала он использовал классический результат для удельной теплоемкости электронов проводимости: . Это переоценивает электронный вклад в удельную теплоемкость примерно в 100 раз. Во-вторых, Друде использовал классическую среднеквадратическую скорость электронов . Это занижает энергию электронов примерно в 100 раз. Устранение этих двух ошибок приводит к хорошему приближению к проводимости металлов. Помимо этих двух оценок, Друде также допустил статистическую ошибку и завысил среднее время между столкновениями в 2 раза. Это слияние ошибок дало значение числа Лоренца, которое было удивительно близко к экспериментальным значениям. ${\displaystyle c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$

Правильное значение числа Лоренца, оцененное на основе модели Друде, составляет ^{[Ashcroft & Mermin 19].} $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.}$$

ТермоЭДС

Обычный температурный градиент при включении в тонкий стержень вызовет ток электронов в направлении стороны с более низкой температурой. Учитывая, что эксперименты проводятся в разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем, а Q называется термоэдс. Оценки Друде в 100 раз занижены, учитывая прямую зависимость от теплоемкости. где типичная термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. ^{[Эшкрофт и Мермин 20]} $${\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T}$$ $${\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$$

Доказательство вместе с ошибками Друде ^{[Ashcroft & Mermin 21]}

Из простой одномерной модели. Расширение до 3 степеней свободы. Средняя скорость, обусловленная электрическим полем (с учетом приведенного выше уравнения движения в состоянии равновесия). Чтобы полный ток был нулевым, мы имеем И, как обычно, в случае Друде, где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. ^{[Эшкрофт и Мермин 20]} $${\displaystyle v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)}$$ ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$ $${\displaystyle \mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)}$$ $${\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0}$ $${\displaystyle Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}}$$ ${\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$ $${\displaystyle Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$$

Точность модели

Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости постоянного и переменного тока в металлах, эффекта Холла и магнитосопротивления ^{[Эшкрофт и Мермин 14]} в металлах при температуре, близкой к комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана-Франца 1853 года.

Формула Друде выводится ограниченным способом, а именно в предположении, что носители заряда образуют классический идеальный газ . При рассмотрении квантовой теории модель Друде может быть расширена до модели свободных электронов , где носители подчиняются распределению Ферми – Дирака . Предсказанная проводимость такая же, как и в модели Друде, поскольку она не зависит от формы распределения скорости электронов. Однако модель Друде сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре. Кроме того, модель Друде не объясняет разбросанную тенденцию электропроводности в зависимости от частоты примерно выше 2 ТГц. ^{[12] [13]}

Модель также применима к положительным (дырочным) носителям заряда.

Ответ Друде в реальных материалах

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, т. е. экспоненциальная релаксация с постоянной времени τ или частотная зависимость σ ( ω ) , указанная выше, называется откликом Друде. В обычном, простом реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение экспериментально не обнаружено, поскольку характерная частота τ ^-1 находится в инфракрасном диапазоне частот, где есть другие особенности, не учтенные в Модель Друде (например, зонная структура ) играет важную роль. ^[12] Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая близко соответствует простому предсказанию Друде для σ ( ω ) . Это материалы, в которых скорость релаксации τ ⁻¹ находится на гораздо более низких частотах. ^[12] Это относится к некоторым легированным полупроводниковым монокристаллам, ^[14] двумерным электронным газам с высокой подвижностью , ^[15] и металлам с тяжелыми фермионами . ^[16]

Смотрите также

• Модель свободных электронов
• Арнольд Зоммерфельд
• Электрическая проводимость

Рекомендации

Цитаты

1. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 3, примечание к странице 4 и рис. 1.1
2. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 3, примечание к странице 7 и рис. 1.2
3. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 3, примечание к странице 6.
4. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 8, таблица 1.2.
5. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 5, таблица 1.1.
6. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 6–7.
7. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 15, таблица 1.4.
8. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4.
9. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 23
10. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 2–3.
11. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 2.
12. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 2–6.
13. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4.
14. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 11
15. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 16.
16. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 17.
17. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 18, таблица 1.5.
18. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 18, таблица 1.6.
19. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 25, проблема 1.
20. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 25.
21. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 24.

Рекомендации

1. Друде, Пол (1900). «Zur Elektronentheorie der Metalle». Аннален дер Физик . 306 (3): 566–613. Бибкод : 1900АнП...306..566Д. дои : 10.1002/andp.19003060312 .^{[ мертвая ссылка ]}
2. Друде, Пол (1900). «Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Гальваномагнитные и термомагнитные эффекты». Аннален дер Физик . 308 (11): 369–402. Бибкод : 1900АнП...308..369Д. дои : 10.1002/andp.19003081102.^{[ мертвая ссылка ]}
3. Спрингер, изд. (2009). "«Свободные» электроны в твердых телах». Свободные электроны в твердых телах . стр. 135–158. doi : 10.1007/978-3-540-93804-0_6. ISBN 978-3-540-93803-3.
4. Эдвард М. Перселл (1965). Электричество и магнетизм . МакГроу-Хилл. стр. 117–122. ISBN 978-0-07-004908-6.
5. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику. Прентис-Холл. стр. 289. ISBN. 978-0-13-805326-0.
6. «Нобелевская лекция Нильса Бора» (PDF) .
7. Лоренц, Хендрик (1905). «Движение электронов в металлических телах I» (PDF) . ЗНАВ, Труды . 7 : 438–453 – через KNAW.
8. «Физика твердого тела, Лекция 3: Теория Друде и свободный электрон Зоммерфельда». YouTube .
9. Эйнштейн (1924). «Квантовая теория одноатомного идеального газа». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Физико-математический класс : 261–267.
10. «Физика твердого тела, Лекция 17: Динамика электронов в полосах». YouTube .
11. К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела . Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-49024-1.
12. М. Дрессел; М. Шеффлер (2006). «Проверка ответа Друде». Аннален дер Физик . 15 (7–8): 535–544. Бибкод : 2006АнП...518..535Д. дои : 10.1002/andp.200510198. S2CID  14153937.
13. Чон, Тэ-Ин; Гришковский, Д.; Мукерджи, АК; Менон, Регу (16 октября 2000 г.). «Электрическая характеристика проводящего полипиррола с помощью ТГц спектроскопии во временной области». Письма по прикладной физике . 77 (16): 2452–2454. Бибкод : 2000ApPhL..77.2452J. дои : 10.1063/1.1319188. hdl : 11244/19868 . ISSN  0003-6951.
14. М. ван Экстер; Д. Гришковский (1990). «Динамика носителей электронов и дырок в умеренно легированном кремнии» (PDF) . Физический обзор B . 41 (17): 12140–12149. Бибкод : 1990PhRvB..4112140V. doi : 10.1103/PhysRevB.41.12140. hdl : 11244/19898 . ПМИД  9993669.
15. Пи Джей Берк; И.Б. Спилман; Дж. П. Эйзенштейн; Л. Н. Пфайффер; КВ Вест (2000). «Высокочастотная проводимость высокоподвижного двумерного электронного газа» (PDF) . Письма по прикладной физике . 76 (6): 745–747. Бибкод : 2000ApPhL..76..745B. дои : 10.1063/1.125881.
16. М. Шеффлер; М. Дрессел; М. Журдан; Х. Адриан (2005). «Чрезвычайно медленная друдевская релаксация коррелированных электронов». Природа . 438 (7071): 1135–1137. Бибкод : 2005Natur.438.1135S. дои : 10.1038/nature04232. PMID  16372004. S2CID  4391917.

Общий

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Киттель, Чарльз (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). ISBN John Wiley & Sons Inc. 0-471-41526-Х.
• Зиман, Дж. М. (1972). Основы теории твердого тела (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29733-8.

Внешние ссылки

• Хини, Майкл Б. (2003). «Электрическая проводимость и удельное сопротивление». В Вебстере, Джон Г. (ред.). Электрические измерения, обработка сигналов и отображение . ЦРК Пресс. ISBN 9780203009406.