Математический объект X имеет свойство неподвижной точки , если каждое соответствующим образом хорошо себя ведущее отображение из X в себя имеет неподвижную точку . Этот термин чаще всего используется для описания топологических пространств, на которых каждое непрерывное отображение имеет неподвижную точку. Но другое его применение — в теории порядка , где говорят, что частично упорядоченное множество P имеет свойство неподвижной точки, если каждая возрастающая функция на P имеет неподвижную точку.
Пусть A — объект в конкретной категории C. Тогда A обладает свойством неподвижной точки, если каждый морфизм (т. е. каждая функция ) имеет неподвижную точку.
Наиболее распространенное использование — когда C = Top — категория топологических пространств . Тогда топологическое пространство X имеет свойство неподвижной точки, если каждое непрерывное отображение имеет неподвижную точку.
В категории множеств объекты со свойством фиксированной точки — это как раз синглтоны .
Замкнутый интервал [0,1] обладает свойством неподвижной точки: Пусть f : [0,1] → [0,1] — непрерывное отображение. Если f (0) = 0 или f (1) = 1, то наше отображение имеет неподвижную точку в 0 или 1. Если нет, то f (0) > 0 и f (1) − 1 < 0. Таким образом, функция g ( x ) = f ( x ) − x является непрерывной действительной функцией, которая положительна при x = 0 и отрицательна при x = 1. По теореме о промежуточном значении существует некоторая точка x 0 с g ( x 0 ) = 0, что означает, что f ( x 0 ) − x 0 = 0, и поэтому x 0 является неподвижной точкой.
Открытый интервал не имеет свойства неподвижной точки. Отображение f ( x ) = x 2 не имеет неподвижной точки на интервале (0,1).
Замкнутый интервал является частным случаем замкнутого диска , который в любом конечном измерении обладает свойством неподвижной точки по теореме Брауэра о неподвижной точке .
Ретракт A пространства X со свойством неподвижной точки также имеет свойство неподвижной точки. Это потому, что если — ретракция и — любая непрерывная функция, то композиция (где — включение) имеет неподвижную точку. То есть, существует такое, что . Поскольку мы имеем, что и, следовательно,
Топологическое пространство обладает свойством неподвижной точки тогда и только тогда, когда его тождественное отображение универсально.
Произведение пространств со свойством неподвижной точки в общем случае не обладает свойством неподвижной точки, даже если одно из пространств является замкнутым действительным интервалом .
FPP является топологическим инвариантом , т.е. сохраняется при любом гомеоморфизме . FPP также сохраняется при любой ретракции .
Согласно теореме Брауэра о неподвижной точке , каждое компактное и выпуклое подмножество евклидова пространства имеет FPP. В более общем смысле, согласно теореме Шаудера-Тихонова о неподвижной точке каждое компактное и выпуклое подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства имеет FPP. Компактность сама по себе не подразумевает FPP, а выпуклость даже не является топологическим свойством, поэтому имеет смысл спросить, как топологически охарактеризовать FPP. В 1932 году Борсук спросил, может ли компактность вместе со сжимаемостью быть достаточным условием для выполнения FPP. Проблема оставалась открытой в течение 20 лет, пока гипотеза не была опровергнута Киношитой, который нашел пример компактного сжимаемого пространства без FPP. [1]
