Сила точки

Относительное расстояние точки от окружности

Геометрический смысл

В элементарной плоской геометрии степень точки — это действительное число , которое отражает относительное расстояние данной точки от данной окружности. Он был представлен Якобом Штайнером в 1826 году. ^[1]

В частности, степень точки по отношению к кругу с центром и радиусом определяется выражением ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}$

Если вне круга, то , если на круге , то и если внутри круга , то . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)>0}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)=0}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$

Согласно теореме Пифагора число имеет простой геометрический смысл, показанный на диаграмме: Для точки вне круга это квадрат касательного расстояния точки до круга . ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle |PT|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Точки с одинаковой мощностью, изолинии , представляют собой круги , концентрические окружности . ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle c}$

Штейнер использовал силу точки для доказательства нескольких утверждений об окружностях, например:

• Определение окружности, пересекающей четыре окружности под одним и тем же углом. ^[2]
• Решение проблемы Аполлония
• Построение окружностей Малфатти : ^[3] Для данного треугольника определите три окружности, которые касаются друг друга и двух сторон треугольника каждая.
• Сферическая версия проблемы Малфатти: ^[4] Треугольник является сферическим.

Важнейшими инструментами исследования окружностей являются радикальная ось двух окружностей и радикальный центр трёх окружностей.

Степенная диаграмма набора кругов делит плоскость на области, внутри которых круг, минимизирующий степень, является постоянным.

В более общем смысле французский математик Эдмон Лагер аналогичным образом определил степень точки по отношению к любой алгебраической кривой.

Геометрические свойства

Помимо свойств, упомянутых в начале, есть и другие свойства:

Ортогональный круг

Ортогональный круг (зеленый)

Для любой точки вне круга есть две точки касания на круге , которые имеют одинаковое расстояние до . Следовательно, круг с центром через тоже проходит и пересекается ортогонально: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle c}$

• Окружность с центром и радиусом пересекает ортогональную окружность . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ${\displaystyle c}$

Угол между двумя кругами

Если радиус круга с центром в отличается от одного, получаем угол пересечения двух кругов, применяя закон косинусов (см. Диаграмму): ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

( и являются нормалями к касательным окружности.) ${\displaystyle PS_{1}}$ ${\displaystyle OS_{1}}$

Если лежит внутри синего круга, то и всегда отличается от . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$

Если задан угол , то радиус можно получить , решив квадратное уравнение ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

Теорема о пересекающихся секущих, теорема о пересекающихся хордах

Теорема о секансе и хорде

Для теоремы о пересекающихся секущих и теоремы о хорде степень точки играет роль инварианта :

• Теорема о пересекающихся секущих : Для точки вне круга и точек пересечения секущей линии верно следующее утверждение: , следовательно, произведение не зависит от линии . Если касательная, то утверждение представляет собой теорему о касательном секущем . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$
• Теорема о пересекающихся хордах : Для точки внутри кругаи точек пересечениясекущей линииверно следующее утверждение:,следовательно, произведение не зависит от линии. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$

Радикальная ось

Пусть – точка и две неконцентрические окружности с центрами и радиусами . Точка имеет силу по отношению к кругу . Множество всех точек с представляет собой линию, называемую радикальной осью . Он содержит возможные общие точки окружностей и перпендикулярен прямой . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$ ${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

Теорема о секущих, теорема о хордах: общее доказательство

Теорема о секущем/хорде: доказательство

Обе теоремы, включая теорему о касательном секущем , могут быть доказаны единообразно:

Пусть — точка, окружность с началом координат в центре и произвольный единичный вектор . Параметры возможных общих точек прямой (через ) и окружности можно определить, подставив параметрическое уравнение в уравнение окружности: ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$ ${\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

Из теоремы Виета можно найти:

${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)}$. (независим от  !) ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle \Pi (P)}$это мощность по отношению к кругу . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Из-за этого для точек получается следующее утверждение : ${\displaystyle |{\vec {v}}|=1}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ }$, если находится вне круга, ${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$, если находится внутри круга ( имеют разные знаки!). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

В случае, если линия является касательной и квадратом касательного расстояния точки к окружности . ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Точки подобия, общая сила двух кругов

Точки сходства

Точки подобия — важный инструмент исследований Штайнера на окружностях. ^[5]

Даны два круга

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\ .}$

Гомотетия ( сходство ) , которая отображается на радиус растяжения (толчка) до линии и имеет свой центр на линии , потому что . Если центр находится между масштабным коэффициентом . В другом случае . В любом случае: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

Вставка и решение для доходности: ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

Точки подобия двух окружностей: различные случаи

Точка

$${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$

внешней точкой подобия

$${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$

внутренней точкой подобия

В случае получения . В случае : это точка на бесконечности линии и центр . В случае, если окружности касаются друг друга в точке внутри (обе окружности находятся по одну сторону от общей касательной). В случае, если окружности касаются друг друга в точке снаружи (обе окружности по разные стороны от общей касательной). ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle E=I=M_{i}}$
${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$
${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$ ${\displaystyle E}$
${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$ ${\displaystyle I}$

Более того:

• Если окружности лежат непересекающимися (диски не имеют общих точек), внешние общие касательные пересекаются в точке , а внутренние - в точке . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$
• Если один круг содержится внутри другого , точки лежат внутри обоих кругов. ${\displaystyle E,I}$
• Пары проективно -гармонически сопряжены : их перекрестное отношение равно . ${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$ ${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$

Теорема Монжа гласит: внешние точки подобия трех непересекающихся окружностей лежат на одной прямой.

Общая сила двух кругов

Точки подобия двух кругов и их общая сила.

Пусть будут две окружности, их внешняя точка подобия и линия, проходящая через , которая пересекает две окружности в четырех точках . Из определяющего свойства точки получаем ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

и из теоремы секущего (см. выше) два уравнения

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

Объединение этих трех уравнений дает:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$

${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$

Инварианты Штайнер называет общей силой двух кругов ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ^[6] ${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$

Пары точек и являются антигомологичными точками. Пары и гомологичны . _ ^{[7] [8]} ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

Определение окружности, касающейся двух окружностей

Общая сила двух кругов: применение

Окружности, касающиеся двух окружностей

Для второго секущего через : ${\displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Из теоремы о секущем получаем:

Четыре точки лежат на окружности. ${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

И аналогично:

Четыре точки тоже лежат на окружности. ${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

Поскольку радикальные линии трех кругов встречаются в радикале (см.: радикальная линия статьи), получается:

Секущие встречаются на радикальной оси данных двух окружностей. ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$

При перемещении нижней секущей (см. схему) к верхней красный круг становится окружностью, касающейся обеих данных окружностей. Центр касательной окружности является точкой пересечения линий . Секущие становятся касательными в точках . Касательные пересекаются на радикальной линии (на схеме желтого цвета). ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Аналогичные соображения порождают вторую касательную окружность, которая пересекается с заданными окружностями в точках (см. схему). ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

Все касательные окружности к данным окружностям можно найти, варьируя прямую . ${\displaystyle g}$

Позиции центров

Окружности, касающиеся двух окружностей

Если - центр и радиус окружности, касательной к данным окружностям в точках , то: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Следовательно: центры лежат на гиперболе с

очаги , ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

расстояние вершин ^{[ нужны разъяснения ]} , ${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

центр — это центр , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

линейный эксцентриситет и ${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$^{[ нужны разъяснения ]} .

Рассмотрение внешних касательных окружностей приводит к аналоговому результату:

Если - центр и радиус окружности, касательной к данным окружностям в точках , то: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Центры лежат на той же гиперболе, но на правой ветви.

См. также «Проблему Аполлония» .

Степень точки относительно сферы

Мощность по отношению к сфере

Идея силы точки по отношению к кругу может быть распространена на сферу. ^[9] Теоремы о секущих и хордах верны и для сферы, и их можно доказать буквально, как и в случае с кругом.

Продукт Дарбу

Степень точки является частным случаем произведения Дарбу между двумя окружностями, которое определяется формулой ^[10]

${\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

где A ₁ и A ₂ — центры двух окружностей, а r ₁ и r ₂ — их радиусы. Степень точки возникает в том частном случае, когда один из радиусов равен нулю.

Если два круга ортогональны, произведение Дарбу исчезает.

Если два круга пересекаются, то их произведение Дарбу будет

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

где φ — угол пересечения (см. раздел ортогональная окружность ).

Теорема Лагерра

Лагер определил степень точки P по отношению к алгебраической кривой степени n как произведение расстояний от точки до пересечений окружности через точку с кривой, деленное на n-ю степень диаметра d. . Лагерр показал, что это число не зависит от диаметра (Лагерр, 1905). В случае, когда алгебраическая кривая представляет собой круг, это не совсем то же самое, что степень точки относительно круга, определенная в остальной части статьи, но отличается от нее в d 2 ^раз .

Рекомендации

1. Якоб Штайнер: Einige geometrische Betrachtungen , 1826, S. 164
2. Штайнер, с. 163
3. Штайнер, с. 178
4. Штайнер, с. 182
5. Штайнер: с. 170 171
6. Штайнер: с. 175
7. Мишель Шасль, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Брауншвейг, 1856, стр. 312
8. Уильям Дж. Макклелланд: Трактат о геометрии круга и некоторых расширениях конических сечений методом взаимного поступательного движения , 1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, ISBN  978-0-344-90374-8 , стр. . 121 220
9. КП Гротемейер: Analytische Geometrie , Sammlung Göschen 65/65A, Берлин 1962, S. 54
10. Пьер Ларошель, Дж. Майкл Маккарти: Материалы симпозиума USCToMM 2020 года по механическим системам и робототехнике , 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-030-43929-3 , стр. 97 

• Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley.
• Дарбу, Гастон (1872), «Sur les Relations Entre les Groupes de Points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392, doi : 10.24033 /asens.87.
• Лагерр, Эдмон (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (на французском языке), Gauthier-Villars et fils, p. 20
• Штайнер, Якоб (1826). «Einige geometrischen Betrachtungen» [Некоторые геометрические соображения]. Журнал Крелля (на немецком языке). 1 : 161–184. дои : 10.1515/crll.1826.1.161. S2CID  122065577.Рисунки 8–26.
• Бергер , Марсель (1987), Геометрия I , Спрингер , ISBN 978-3-540-11658-5

дальнейшее чтение

• Огилви CS (1990), Экскурсии по геометрии , Dover Publications, стр. 6–23, ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Возвращение к геометрии , Вашингтон : MAA , стр. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Джонсон Р.А. (1960), Расширенная евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0

Внешние ссылки

• Джейкоб Штайнер и сила точки конвергенции
• Вайсштейн, Эрик В. «Сила круга». Математический мир .
• Теорема о пересекающихся хордах при разрезании узла
• Теорема о пересекающихся хордах с интерактивной анимацией
• Теорема о пересекающихся секущих с интерактивной анимацией