Точность квантовых состояний

Термин в квантовой механике

В квантовой механике , особенно в квантовой теории информации , точность количественно определяет «близость» между двумя матрицами плотности . Она выражает вероятность того, что одно состояние пройдет тест на идентификацию как другого. Это не метрика на пространстве матриц плотности, но ее можно использовать для определения метрики Буреса на этом пространстве.

Определение

Верность между двумя квантовыми состояниями и , выраженная в виде матриц плотности , обычно определяется как: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$

Квадратные корни в этом выражении хорошо определены, поскольку и являются положительно полуопределенными матрицами, а квадратный корень положительно полуопределенной матрицы определяется с помощью спектральной теоремы . Евклидово скалярное произведение из классического определения заменяется скалярным произведением Гильберта–Шмидта . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$

Как будет обсуждаться в следующих разделах, это выражение может быть упрощено в различных представляющих интерес случаях. В частности, для чистых состояний и оно равно: Это говорит нам о том, что точность между чистыми состояниями имеет простую интерпретацию в терминах вероятности нахождения состояния при измерении в базисе, содержащем . ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ ${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$

Некоторые авторы используют альтернативное определение и называют эту величину точностью. ^[2] Однако определение более распространено. ^{[3] [4] [5]} Чтобы избежать путаницы, можно было бы назвать «точностью квадратного корня». В любом случае желательно прояснить принятое определение всякий раз, когда используется точность. ${\displaystyle F':={\sqrt {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$

Мотивация от классического аналога

Даны две случайные величины со значениями ( категориальные случайные величины ) и вероятностями и , точность и определяется как величина ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (1,...,n)}$ ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle F(X,Y)=\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)^{2}}$.

Точность имеет дело с предельным распределением случайных величин. Она ничего не говорит о совместном распределении этих переменных. Другими словами, точность — это квадрат внутреннего произведения и , рассматриваемых как векторы в евклидовом пространстве . Обратите внимание, что если и только если . В общем случае, . Мера известна как коэффициент Бхаттачарьи . ${\displaystyle F(X,Y)}$ ${\displaystyle ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})}$ ${\displaystyle ({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})}$ ${\displaystyle F(X,Y)=1}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle 0\leq F(X,Y)\leq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$

Учитывая классическую меру различимости двух распределений вероятностей , можно мотивировать меру различимости двух квантовых состояний следующим образом: если экспериментатор пытается определить, является ли квантовое состояние одной из двух возможностей или , наиболее общим возможным измерением, которое он может сделать для состояния, является POVM , которая описывается набором эрмитовых положительно полуопределенных операторов . При измерении состояния с помощью этой POVM, -й результат находится с вероятностью , и аналогично с вероятностью для . Способность различать и тогда эквивалентна их способности различать классические распределения вероятностей и . Тогда естественным вопросом является вопрос о том, что такое POVM , которая делает два распределения максимально различимыми, что в этом контексте означает минимизацию коэффициента Бхаттачарьи по возможным выборам POVM. Формально мы, таким образом, приходим к определению точности между квантовыми состояниями как: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}=\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{F_{i}\}}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}}\left(\sum _{i}{\sqrt {\operatorname {tr} (\rho F_{i})\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}}\right)^{2}.}$

^{Фукс и Кейвс [6]} показали , что минимизация в этом выражении может быть вычислена явно, с решением проективной POVM, соответствующей измерению в собственном базисе , и приводит к общему явному выражению для точности как ${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$$

Эквивалентные выражения

Эквивалентное выражение через норму следа

Эквивалентное выражение для точности между произвольными состояниями через норму следа имеет вид:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},}$

где абсолютное значение оператора здесь определяется как . ${\displaystyle |A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}}$

Эквивалентное выражение через характеристические полиномы

Так как след матрицы равен сумме ее собственных значений

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},}$

где являются собственными значениями , что является положительно полуопределенным по построению, и поэтому квадратные корни собственных значений хорошо определены. Поскольку характеристический многочлен произведения двух матриц не зависит от порядка, спектр матричного произведения инвариантен относительно циклической перестановки, и поэтому эти собственные значения можно вместо этого вычислить из . ^[7] Обращение свойства следа приводит к ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}}$.

Выражения для чистых состояний

Если (по крайней мере) одно из двух состояний является чистым, например , , то точность упрощается до Из этого следует, что если является чистым, то , и, таким образом, ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}=\rho }$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

Если оба состояния чистые, и , то мы получаем еще более простое выражение: ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ ${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

Характеристики

Некоторые важные свойства точности квантового состояния:

• Симметрия .​ ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )}$
• Ограниченные значения . Для любых и , , и . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0\leq F(\rho ,\sigma )\leq 1}$ ${\displaystyle F(\rho ,\rho )=1}$
• Согласованность с точностью между распределениями вероятностей . Если и коммутируют , определение упрощается до где являются собственными значениями , соответственно. Чтобы увидеть это, помните, что если то их можно диагонализировать в том же базисе : так что ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$ ${\displaystyle p_{k},q_{k}}$ ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=0}$ $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|{\text{ and }}\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|,}$$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}|k\rangle \!\langle k|\right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.}$
• Явное выражение для кубитов .

Если и являются состояниями кубита , точность можно вычислить как ^{[1] ​​[8]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )+2{\sqrt {\det(\rho )\det(\sigma )}}.}$

Состояние кубита означает, что и представлены двумерными матрицами. Этот результат следует из того, что — положительный полуопределенный оператор , следовательно , , где и — (неотрицательные) собственные значения . Если (или ) является чистым, этот результат упрощается еще больше до , поскольку для чистых состояний. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle M={\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {M}}={\sqrt {\lambda _{1}}}+{\sqrt {\lambda _{2}}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )}$ ${\displaystyle \mathrm {Det} (\rho )=0}$

Унитарная инвариантность

Прямой расчет показывает, что точность сохраняется при унитарной эволюции , т.е.

${\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

для любого унитарного оператора . ${\displaystyle U}$

Связь с точностью между соответствующими распределениями вероятностей

Пусть будет произвольной положительной операторно-значной мерой (POVM); то есть набором положительно полуопределенных операторов, удовлетворяющих . Тогда для любой пары состояний и , мы имеем , где на последнем шаге мы обозначили с помощью и распределения вероятностей, полученные путем измерения с помощью POVM . ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},}$$ ${\displaystyle p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )}$ ${\displaystyle q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}$ ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$

Это показывает, что квадратный корень верности между двумя квантовыми состояниями ограничен сверху коэффициентом Бхаттачарьи между соответствующими распределениями вероятностей в любой возможной POVM. Действительно, более обще верно, что где , и минимум берется по всем возможным POVM. Более конкретно, можно доказать, что минимум достигается проективной POVM, соответствующей измерению в собственном базисе оператора . ^[9] $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$ ${\displaystyle F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$

Доказательство неравенства

Как было показано ранее, квадратный корень точности можно записать в виде , что эквивалентно существованию унитарного оператора, такого что ${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|,}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U).}$$Помня, что это справедливо для любой POVM, мы можем записать, где на последнем шаге мы использовали неравенство Коши-Шварца, как в . ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$ $${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}E_{k}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {\sigma }}U)\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}},}$$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)|^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)}$

Поведение при квантовых операциях

Можно показать, что точность между двумя состояниями никогда не уменьшается, если к состояниям применяется неселективная квантовая операция : ^[10] для любого сохраняющего след полностью положительного отображения . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ $${\displaystyle F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Отношение к расстоянию следа

Мы можем определить расстояние следа между двумя матрицами A и B в терминах нормы следа следующим образом:

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.}$

Когда A и B являются операторами плотности, это квантовое обобщение статистического расстояния . Это важно, поскольку расстояние следа обеспечивает верхнюю и нижнюю границы точности, количественно определяемые неравенствами Фукса–ван де Граафа , ^[11]

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

Часто расстояние следа легче вычислить или ограничить, чем точность, поэтому эти отношения весьма полезны. В случае, если хотя бы одно из состояний является чистым состоянием Ψ, нижнюю границу можно ужесточить.

${\displaystyle 1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.}$

Теорема Ульмана

Мы увидели, что для двух чистых состояний их точность совпадает с перекрытием. Теорема Ульмана ^[12] обобщает это утверждение на смешанные состояния, в терминах их очищений:

Теорема Пусть ρ и σ — матрицы плотности, действующие на C ⁿ . Пусть ρ ^{1 ⁄ 2} — единственный положительный квадратный корень из ρ и

$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}(\rho ^{{1}/{2}}|e_{i}\rangle )\otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$$

будет очищением ρ (следовательно, является ортонормированным базисом), то справедливо следующее равенство: ${\displaystyle \textstyle \{|e_{i}\rangle \}}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}}$

где — очистка σ. Поэтому, в общем случае, точность — это максимальное перекрытие очисток. ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$

Эскиз доказательства

Простое доказательство можно набросать следующим образом. Пусть обозначает вектор ${\displaystyle \textstyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

и σ ^{1 ⁄ 2} — единственный положительный квадратный корень из σ. Мы видим, что из-за унитарной свободы в факторизации квадратных корней и выбора ортонормальных базисов произвольное очищение σ имеет вид

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

где V _i - унитарные операторы . Теперь мы напрямую вычисляем

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.}$

Но в общем случае для любой квадратной матрицы A и унитарного U верно, что |tr( AU )| ≤ tr(( A ^* A ) ^{1 ⁄ 2} ). Более того, равенство достигается, если U ^* является унитарным оператором в полярном разложении A . Отсюда непосредственно следует теорема Ульмана.

Доказательство с явными разложениями

Здесь мы предложим альтернативный, явный способ доказательства теоремы Ульмана.

Пусть и будут очищениями и , соответственно. Для начала покажем, что . ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$

Общая форма очисток состояний такова: где являются собственными векторами , и являются произвольными ортонормированными базисами. Перекрытие между очистками есть , где унитарная матрица определяется как Теперь вывод достигается с помощью неравенства : Обратите внимание, что это неравенство является неравенством треугольника, примененным к сингулярным значениям матрицы. Действительно, для общей матрицы и унитарной , мы имеем , где являются (всегда действительными и неотрицательными) сингулярными значениями , как в разложении по сингулярным значениям . Неравенство насыщается и становится равенством, когда , то есть когда и , таким образом . Вышеизложенное показывает, что когда очистки и таковы, что . Поскольку этот выбор возможен независимо от состояний, мы можем окончательно заключить, что $${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle |\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$ ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$ $${\displaystyle \langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),}$$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).}$$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|}$ $${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.}$$ ${\displaystyle A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|}$ ${\displaystyle U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle w_{j}|a_{j}\rangle =1}$ ${\displaystyle U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,}$ ${\displaystyle AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|}$ ${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.}$$

Последствия

Некоторые непосредственные следствия теоремы Ульмана:

• Верность симметрична в своих аргументах, т.е. F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Обратите внимание, что это не очевидно из исходного определения.
• F (ρ,σ) лежит в [0,1] по неравенству Коши–Шварца .
• F (ρ,σ) = 1 тогда и только тогда, когда ρ = σ, поскольку из Ψ _ρ = Ψ _σ следует ρ = σ.

Итак, мы видим, что верность ведет себя почти как метрика. Это можно формализовать и сделать полезным, определив

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

Так как угол между состояниями и . Из приведенных выше свойств следует, что является неотрицательным, симметричным относительно своих входов и равен нулю тогда и только тогда, когда . Кроме того, можно доказать, что он подчиняется неравенству треугольника, ^[2] поэтому этот угол является метрикой на пространстве состояний: метрикой Фубини–Штуди . ^[13] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$ ${\displaystyle \rho =\sigma }$

Ссылки

1. R. Jozsa, Fidelity for Mixed Quantum States , J. Mod. Opt. 41 , 2315--2323 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171
2. Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация. Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511976667. ISBN 978-0521635035.
3. Бенгтссон, Ингемар (2017). Геометрия квантовых состояний: Введение в квантовую запутанность . Кембридж, Соединенное Королевство Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4.
4. Уоллс, ДФ; Милберн, ГДж (2008). Квантовая оптика . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-28573-1.
5. Jaeger, Gregg (2007). Квантовая информация: обзор . Нью-Йорк Лондон: Springer. ISBN 978-0-387-35725-6.
6. CA Fuchs, CM Caves: «Зависящие от ансамбля границы для доступной информации в квантовой механике», Physical Review Letters 73, 3047 (1994)
7. Болдуин, Эндрю Дж.; Джонс, Джонатан А. (2023). «Эффективное вычисление точности Ульмана для матриц плотности». Physical Review A. 107 : 012427. arXiv : 2211.02623 . doi : 10.1103/PhysRevA.107.012427.
8. М. Хюбнер, Явное вычисление расстояния Буреса для матриц плотности , Phys. Lett. A 163 , 239--242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B
9. Уотрус, Джон (2018-04-26). Теория квантовой информации. Cambridge University Press. doi :10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-316-84814-2.
10. Нильсен, МА (1996-06-13). "Точность запутывания и квантовая коррекция ошибок". arXiv : quant-ph/9606012 . Bibcode :1996quant.ph..6012N. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
11. CA Fuchs и J. van de Graaf, "Криптографические меры различимости для квантово-механических состояний", IEEE Trans. Inf. Theory 45, 1216 (1999). arXiv:quant-ph/9712042
12. Ульман, А. (1976). «Вероятность перехода» в пространстве состояний ∗-алгебры» (PDF) . Reports on Mathematical Physics . 9 (2): 273–279. Bibcode :1976RpMP....9..273U. doi :10.1016/0034-4877(76)90060-4. ISSN  0034-4877.
13. К. Жичковский, И. Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2008, 131

• Квантики: Верность