Точная теорема о функторе Ландвебера

Теорема, относящаяся к алгебраической топологии

В математике теорема Ландвебера о точном функторе , названная в честь Петера Ландвебера , является теоремой в алгебраической топологии . Известно, что комплексная ориентация теории гомологии приводит к формальному групповому закону . Теорему Ландвебера о точном функторе (или LEFT для краткости) можно рассматривать как метод обращения этого процесса: она конструирует теорию гомологии из формального группового закона.

Заявление

Кольцо коэффициентов комплексного кобордизма равно , где степень равна . Оно изоморфно градуированному кольцу Лазара . Это означает, что задание формального группового закона F (степени ) над градуированным кольцом эквивалентно заданию градуированного кольцевого морфизма . Умножение на целое число определяется индуктивно как степенной ряд , по ${\displaystyle MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{*}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle R_{*}}$ ${\displaystyle L_{*}\to R_{*}}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle [n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)}$и ${\displaystyle [1]^{F}x=x.}$

Пусть теперь F — формальный групповой закон над кольцом . Определим для топологического пространства X ${\displaystyle {\mathcal {}}R_{*}}$

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}}$

Здесь получает свою структуру -алгебры через F. Вопрос в том: является ли E теорией гомологии? Очевидно, что это гомотопически инвариантный функтор, который выполняет вырезание. Проблема в том, что тензоризация в общем случае не сохраняет точные последовательности. Можно было бы потребовать, чтобы она была плоской над , но на практике это было бы слишком сильно. Питер Ландвебер нашел другой критерий: ${\displaystyle R_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$ ${\displaystyle R_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$

Теорема (точная теорема о функторе Ландвебера)

Для каждого простого p существуют элементы, такие что мы имеем следующее: Предположим, что является градуированным -модулем и последовательность регулярна для , для каждого p и n . Тогда ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}}$ ${\displaystyle M_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$ ${\displaystyle (p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}}$

представляет собой теорию гомологии на CW-комплексах .

В частности, каждый формальный групповой закон F над кольцом даёт модуль над , поскольку с помощью F мы получаем кольцевой морфизм . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}\to R}$

Замечания

• Существует также версия для когомологий Брауна–Петерсона BP. Спектр BP является прямым слагаемым с коэффициентами . Утверждение LEFT остается верным, если зафиксировать простое число p и заменить MU на BP. ${\displaystyle MU_{(p)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]}$
• Классическое доказательство LEFT использует теорему Ландвебера–Моравы об инвариантных идеалах: единственными простыми идеалами, инвариантными относительно кодействия, являются . Это позволяет проверять плоскостность только по (см. Ландвебер, 1976). ${\displaystyle BP_{*}}$ ${\displaystyle BP_{*}BP}$ ${\displaystyle I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle BP_{*}/I_{n}}$
• LEFT можно усилить следующим образом: пусть — (гомотопическая) категория точных по Ландвеберу -модулей и категория спектров MU-модулей M, такая, что является точной по Ландвеберу. Тогда функтор является эквивалентностью категорий. Обратный функтор (заданный LEFT) переводит -алгебры в (гомотопические) спектры MU-алгебр (см. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7). ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \pi _{*}M}$ ${\displaystyle \pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$

Примеры

Архетипическим и первым известным (нетривиальным) примером является комплексная K-теория K. Комплексная K-теория является комплексно-ориентированной и имеет в качестве формального группового закона . Соответствующий морфизм также известен как род Тодда . Тогда мы имеем изоморфизм ${\displaystyle x+y+xy}$ ${\displaystyle MU_{*}\to K_{*}}$

${\displaystyle K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},}$

называемый изоморфизмом Коннера–Флойда .

В то время как комплексная K-теория была построена ранее геометрическими средствами, многие теории гомологии были впервые построены с помощью теоремы Ландвебера о точном функторе. Это включает в себя эллиптическую гомологию , теории Джонсона–Уилсона и спектры Любина–Тейта . ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

В то время как гомология с рациональными коэффициентами точна по Ландвеберу, гомология с целыми коэффициентами не точна по Ландвеберу. Более того, теория Моравы K(n) не точна по Ландвеберу. ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H\mathbb {Z} }$

Современная переформулировка

Модуль M над является тем же самым, что и квазикогерентный пучок над , где L — кольцо Лазара. Если , то M имеет дополнительные данные кодействия . Кодействие на уровне кольца соответствует тому, что является эквивариантным пучком относительно действия аффинной групповой схемы G. Теорема Квиллена гласит , что и сопоставляет каждому кольцу R группу степенных рядов ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}L}$ ${\displaystyle M={\mathcal {}}MU_{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}MU}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]}$

${\displaystyle g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]}$.

Он действует на набор формальных групповых законов посредством ${\displaystyle {\text{Spec }}L(R)}$

${\displaystyle F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)}$.

Это всего лишь изменения координат формальных групповых законов. Поэтому можно отождествить стековый фактор со стеком (1-мерных) формальных групп и определить квазикогерентный пучок над этим стеком. Теперь довольно легко увидеть, что достаточно, чтобы M определял квазикогерентный пучок , который является плоским над для того, чтобы это была теория гомологии. Теорему точности Ландвебера можно тогда интерпретировать как критерий плоскостности для (см. Lurie 2010). ${\displaystyle {\text{Spec }}L//G}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ ${\displaystyle M=MU_{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ ${\displaystyle MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$

Уточнения к Э ∞ {\displaystyle E_{\infty}} -кольцевые спектры

Хотя известно, что LEFT производит (гомотопические) кольцевые спектры из , гораздо более деликатным вопросом является понимание того, когда эти спектры на самом деле являются -кольцевыми спектрами . По состоянию на 2010 год наилучший прогресс был достигнут Якобом Лурье . Если X является алгебраическим стеком и плоской картой стеков, обсуждение выше показывает, что мы получаем предпучок (гомотопических) кольцевых спектров на X. Если это отображение факторизуется (стек одномерных p-делимых групп высоты n) и отображение является этальным , то этот предпучок можно уточнить до пучка -кольцевых спектров (см. Goerss). Эта теорема важна для построения топологических модулярных форм . ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle X\to {\mathcal {M}}_{fg}}$ ${\displaystyle M_{p}(n)}$ ${\displaystyle X\to M_{p}(n)}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Смотрите также

• Хроматическая гомотопическая теория

Ссылки

• Герсс, Пол. «Реализация семейств точных теорий гомологии Ландвебера» (PDF) .
• Хови, Марк; Стрикленд, Нил П. (1999), «K-теории Моравы и локализация», Мемуары Американского математического общества , 139 (666), doi :10.1090/memo/0666, MR  1601906, архивировано из оригинала 2004-12-07
• Ландвебер, Питер С. (1976). "Гомологические свойства комодулей над и ". Американский журнал математики . 98 (3): 591–610. doi :10.2307/2373808. JSTOR  2373808. ${\displaystyle MU_{*}(MU)}$ ${\displaystyle BP_{*}(BP)}$.
• Лурье, Якоб (2010). «Хроматическая гомотопическая теория. Конспект лекций».