Движение снаряда

Движение запускаемых объектов под действием силы тяжести

Параболическая траектория движения воды

Компоненты начальной скорости параболического метания

Баллистические траектории являются параболическими, если гравитация однородна, и эллиптическими, если она круглая.

Движение снаряда — это форма движения , испытываемая объектом или частицей ( снарядом ), который проецируется в гравитационном поле , например, с поверхности Земли , и движется по искривленной траектории только под действием силы тяжести . В частном случае движения снаряда по Земле большинство расчетов предполагают, что влияние сопротивления воздуха пассивно и незначительно. Искривленная траектория движения объектов при движении снаряда была показана Галилеем как парабола , но может также быть прямой линией в особом случае, когда он брошен прямо вверх или вниз. Изучение таких движений называется баллистикой , а такая траектория — баллистической траекторией . Единственная сила математического значения, активно действующая на объект, — это гравитация, которая действует вниз, сообщая, таким образом, объекту ускорение вниз по направлению к центру масс Земли . Из-за инерции объекта не требуется никакой внешней силы для поддержания горизонтальной составляющей скорости движения объекта. Учет других сил, таких как аэродинамическое сопротивление или внутренняя тяга (например, в ракете ), требует дополнительного анализа. Баллистическая ракета — это ракета , управляемая только в течение относительно короткого начального этапа полета с двигателем, оставшийся курс которой определяется законами классической механики .

Баллистика (от древнегреческого βάλλειν bállein  «бросить») — наука о динамике , изучающая полет, поведение и воздействие снарядов, особенно пуль , неуправляемых бомб , ракет и т.п.; наука или искусство проектирования и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Траектории снаряда с сопротивлением воздуха и переменной начальной скоростью

Элементарное уравнение баллистики игнорирует почти все факторы, за исключением начальной скорости и предполагаемого постоянного гравитационного ускорения. Практические решения задач баллистики часто требуют учета сопротивления воздуха, бокового ветра, движения цели, изменения ускорения силы тяжести, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки Земли в другую, - вращения Земли. Подробные математические решения практических задач обычно не имеют решений в замкнутой форме и поэтому требуют численных методов для решения.

Кинематические величины

При движении снаряда горизонтальное и вертикальное движение независимы друг от друга; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип сложного движения , установленный Галилеем в 1638 году ^[1] и использованный им для доказательства параболической формы движения снаряда. ^[2]

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда независимы друг от друга.

Баллистическая траектория — это парабола с однородным ускорением, например, на космическом корабле с постоянным ускорением при отсутствии других сил. На Земле ускорение меняет величину с высотой и направление с широтой/долготой. Это приводит к эллиптической траектории, которая в небольшом масштабе очень близка к параболе. Однако если бы был брошен объект и Земля внезапно заменилась черной дырой равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбиты вокруг этой черной дыры, а не параболы, уходящей в бесконечность. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболической (если только она не искажается другими объектами, такими как Луна или Солнце). В этой статье предполагается однородное ускорение.

Ускорение

Поскольку ускорение имеет место только в вертикальном направлении, скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна . Вертикальное движение снаряда — это движение частицы при ее свободном падении. Здесь ускорение постоянно и равно g . ^{[примечание 1]} Компонентами ускорения являются: ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$

${\displaystyle a_{x}=0}$,

${\displaystyle a_{y}=-g}$.

Скорость

Пусть снаряд запущен с начальной скоростью , которую можно выразить как сумму горизонтальной и вертикальной составляющих следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

Компоненты и можно найти, если известен начальный угол запуска : ${\displaystyle v_{0x}}$ ${\displaystyle v_{0y}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

Горизонтальная составляющая скорости объекта остается неизменной на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно, ^{[примечание 2]} , поскольку ускорение свободного падения постоянно. Ускорения в направлениях x и y можно интегрировать для определения компонентов скорости в любой момент времени t следующим образом:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$.

Величина скорости (по теореме Пифагора , также известной как закон треугольника):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

Смещение

Перемещение и координаты параболического метания

В любой момент горизонтальное и вертикальное смещение снаряда равно: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

Величина смещения равна:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Рассмотрим уравнения

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

Если исключить t между этими двумя уравнениями, получится следующее уравнение:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

Здесь R — дальность полета снаряда .

Поскольку g , θ и v ₀ являются постоянными, приведенное выше уравнение имеет вид

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$,

в котором a и b — константы. Это уравнение параболы, поэтому путь параболический. Ось параболы вертикальна.

Если положение снаряда (x,y) и угол запуска (θ или α) известны, начальную скорость можно найти, решая v ₀ в вышеупомянутом параболическом уравнении:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

Смещение в полярных координатах

Параболическая траектория снаряда также может быть выражена в полярных координатах вместо декартовых координат. В этом случае позиция имеет общую формулу

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$.

В этом уравнении начало координат — это середина горизонтальной дальности полета снаряда, и если земля плоская, параболическая дуга строится в диапазоне . Это выражение можно получить путем преобразования декартова уравнения, как указано выше, с помощью и . ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$ ${\displaystyle y=r\sin \phi }$ ${\displaystyle x=r\cos \phi }$

Свойства траектории

Время полета или общее время всего путешествия

Общее время t , в течение которого снаряд находится в воздухе, называется временем полета.

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

После полета снаряд возвращается на горизонтальную ось (ось X), т. е . . ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$

Обратите внимание, что мы пренебрегли сопротивлением воздуха на снаряде.

Если стартовая точка находится на высоте y ₀ относительно точки удара, время полета составит:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Как и выше, это выражение можно свести к

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{|g|}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {(45)}}{|g|}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

если θ равен 45°, а y ₀ равен 0.

Время полета до позиции цели

Как показано выше в разделе «Смещение» , горизонтальная и вертикальная скорость снаряда не зависят друг от друга.

Благодаря этому мы можем найти время достижения цели, используя формулу перемещения для горизонтальной скорости:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

Это уравнение даст общее время t , за которое снаряд должен пройти, чтобы достичь горизонтального смещения цели, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Максимальная высота снаряда

Максимальная высота снаряда

Наибольшая высота, которой достигнет объект, называется пиком движения объекта. Увеличение высоты будет продолжаться до тех пор , пока , т. е. ${\displaystyle v_{y}=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

Время достижения максимальной высоты (ч):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Для вертикального смещения максимальной высоты снаряда:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

Максимально достижимая высота получается при θ =90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

Если положение снаряда (x,y) и угол запуска (θ) известны, максимальную высоту можно найти, решив h в следующем уравнении:

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

Угол подъема (φ) на максимальной высоте определяется по формуле:

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

Связь между горизонтальным диапазоном и максимальной высотой

Соотношение между дальностью d в горизонтальной плоскости и максимальной высотой h , достигаемой, равно: ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

Максимальная дальность полета снаряда

Максимальная дальность полета снаряда

Дальность и максимальная высота снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота равны для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением. Горизонтальная дальность d снаряда — это горизонтальное расстояние, которое он прошел, когда вернулся на первоначальную высоту ( ). ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

Время достижения земли:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Из горизонтального смещения максимальная дальность полета снаряда:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$,

итак ^{[примечание 3]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )}$.

Обратите внимание, что d имеет максимальное значение, когда

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$,

что обязательно соответствует

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$,

или

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$.

Траектории снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м/с в вакууме и однородном нисходящем поле силы тяжести 10 м/с ² . Точки располагаются с интервалом 0,05 с, а длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время с момента запуска, T = время полета, R = дальность и H = высшая точка траектории (указана стрелками).

Общее пройденное горизонтальное расстояние (d) .

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние: ^[3]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θ составляет 45 градусов. Это расстояние:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

Применение теоремы о работе энергии

Согласно теореме о работе-энергии, вертикальная составляющая скорости равна:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

Эти формулы игнорируют аэродинамическое сопротивление, а также предполагают, что площадка приземления находится на одинаковой высоте 0.

Угол досягаемости

«Угол досягаемости» — это угол ( θ ), под которым должен быть запущен снаряд, чтобы пройти расстояние d при заданной начальной скорости v .

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

Есть два решения:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(пологая траектория)

и потому что , ${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(крутая траектория)

Угол θ , необходимый для попадания в координату ( x , y )

Вакуумная траектория снаряда при разных углах пуска. Скорость запуска одинакова для всех углов и составляет 50 м/с, если «g» равно 10 м/с ² .

Для поражения цели на дальности x и высоте y при стрельбе из (0,0) и с начальной скоростью v необходимые углы запуска θ составляют:

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если они не являются мнимыми, и в этом случае начальная скорость недостаточно велика, чтобы достичь выбранной точки ( x , y ). Эта формула позволяет найти необходимый угол запуска без ограничения . ${\displaystyle y=0}$

Можно также спросить, какой угол запуска обеспечивает минимально возможную скорость запуска. Это происходит, когда два приведенных выше решения равны, а это означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Для этого необходимо решить квадратное уравнение относительно , ​​и мы находим ${\displaystyle v^{2}}$

${\displaystyle v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$

Это дает

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

Если мы обозначим угол, тангенс которого равен y/x, через α , то

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

Из этого следует

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

Другими словами, пуск должен происходить под углом посередине между целью и Зенитом (вектор, противоположный Гравитации).

Общая длина траектории

Длина параболической дуги, описываемой снарядом L , при условии, что высота старта и приземления одинакова и отсутствует сопротивление воздуха, определяется по формуле:

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

где – начальная скорость, – угол запуска, – ускорение свободного падения как положительная величина. Выражение можно получить путем вычисления интеграла длины дуги для параболы высота-расстояние между границами начального и конечного смещения (т.е. между 0 и горизонтальной дальностью полета снаряда), так что: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Если время полета равно t ,

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

Траектория полета снаряда при сопротивлении воздуха

Траектории массы, брошенной под углом 70°:
 без сопротивления
 с сопротивлением Стокса
 с ньютоновским сопротивлением

Сопротивление воздуха создает силу, которая (для симметричных снарядов) всегда направлена ​​против направления движения в окружающей среде и имеет величину, зависящую от абсолютной скорости: . Зависимость силы трения от скорости линейна ( ) на очень низких скоростях ( сопротивление Стокса ) и квадратична ( ) на больших скоростях ( сопротивление Ньютона ). ^[4] Переход между этими поведениями определяется числом Рейнольдса , которое зависит от скорости, размера объекта и кинематической вязкости среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1000 зависимость линейная, выше становится квадратичной. В воздухе, кинематическая вязкость которого составляет около , это означает, что сила сопротивления становится квадратичной по v , когда произведение скорости и диаметра превышает примерно , что обычно имеет место для снарядов. ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$ ${\displaystyle f(v)\propto v}$ ${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$ ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

• Стокса сопротивление: (для ) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\displaystyle Re\lesssim 1000}$
• Ньютоновое сопротивление: (для ) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\displaystyle Re\gtrsim 1000}$

Схема свободного тела тела, на которое действуют только сила тяжести и сопротивление воздуха.

Диаграмма свободного тела справа предназначена для снаряда, испытывающего сопротивление воздуха и силу тяжести. Здесь предполагается, что сопротивление воздуха направлено в сторону, противоположную скорости снаряда: ${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

Траектория снаряда с сопротивлением Стокса

Сопротивление Стокса, где , применяется только при очень низкой скорости в воздухе и, таким образом, не является типичным случаем для снарядов. Однако линейная зависимость от приводит к очень простому дифференциальному уравнению движения ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

в котором два декартовых компонента становятся полностью независимыми и, следовательно, их легче решить. ^[5] Здесь и будут использоваться для обозначения начальной скорости, скорости в направлении x и скорости в направлении y соответственно. Массу снаряда будем обозначать m и . Для вывода рассматривается только случай когда. И снова снаряд запускается из начала координат (0,0). ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle \mu :=k/m}$ ${\displaystyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(1б)

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(3б)

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)}$.

Траектория снаряда с сопротивлением Ньютона

Траектории парашютиста в воздухе с сопротивлением Ньютона

Наиболее типичным случаем сопротивления воздуха при числах Рейнольдса выше примерно 1000 является сопротивление Ньютона с силой сопротивления, пропорциональной квадрату скорости . В воздухе, кинематическая вязкость которого составляет около , это означает, что произведение скорости и диаметра должно быть больше, чем около . ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$ ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

К сожалению, в этом случае уравнения движения не могут быть легко решены аналитически. Поэтому будет рассмотрено численное решение.

Сделаны следующие предположения:

• Постоянное гравитационное ускорение
• Сопротивление воздуха определяется следующей формулой сопротивления :

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

Где:

• F _D — сила сопротивления
• c - коэффициент лобового сопротивления
• ρ — плотность воздуха
• А - площадь поперечного сечения снаряда.
• µ = k / m = cρA /(2 м )

Особые случаи

Хотя общий случай снаряда с сопротивлением Ньютона не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут быть решены. Здесь мы обозначаем конечную скорость в свободном падении как и характеристическую постоянную времени стабилизации . ${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$ ${\displaystyle t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}}$

• Почти горизонтальное движение: если движение почти горизонтальное, например, при летящей пуле, вертикальная составляющая скорости очень мало влияет на горизонтальное движение. В этом случае: ^[7] ${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

Та же закономерность применима и к движению с трением по прямой в любом направлении, когда сила тяжести пренебрежимо мала. Это также применимо, когда вертикальное движение предотвращено, например, для движущегося автомобиля с выключенным двигателем.

• Вертикальное движение вверх: ^[7]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)}$

Здесь

${\displaystyle v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}},}$

${\displaystyle t_{f}\equiv {\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},}$

${\displaystyle t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},}$

и

${\displaystyle y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}\right)}}$

где – начальная скорость вверх при, а начальное положение – . ${\displaystyle v_{y,0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y(0)=0}$

Снаряд не может подниматься дольше, чем вертикально, прежде чем достигнет вершины. ${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$

• Вертикальное движение вниз: ^[7]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)}$

Через некоторое время снаряд достигает почти предельной скорости . ${\displaystyle t_{f}}$ ${\displaystyle -v_{\infty }}$

Численное решение

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общих чертах путем численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения , например, путем применения сокращения к системе первого порядка . Уравнение, которое необходимо решить, имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$.

Этот подход также позволяет добавлять эффекты зависящего от скорости коэффициента сопротивления, зависящей от высоты плотности воздуха и зависящего от положения гравитационного поля.

Лофт-траектория

Поднятые траектории северокорейских ракет «Хвасон-14» и «Хвасон-15»

Частным случаем баллистической траектории ракеты является поднятая траектория - траектория с апогеем , большим, чем траектория с минимальной энергией на ту же дальность. Другими словами, ракета летит выше и при этом использует больше энергии, чтобы добраться до той же точки приземления. Это может быть сделано по разным причинам, например, для увеличения расстояния до горизонта для увеличения дальности обзора/связи или для изменения угла падения ракеты при приземлении. Лофт-траектории иногда используются как в ракетной технике, так и в космических полетах . ^[8]

Движение снаряда в планетарном масштабе

Траектория снаряда вокруг планеты в сравнении с движением в однородном поле

Когда снаряд без сопротивления воздуха преодолевает расстояние, значительное по сравнению с радиусом Земли (более ≈100 км), необходимо учитывать кривизну Земли и неоднородную гравитацию Земли . Так обстоит дело, например, с космическими кораблями или межконтинентальными снарядами. Затем траектория обобщается от параболы до эллипса Кеплера с одним фокусом в центре Земли. Тогда движение снаряда следует законам движения планет Кеплера .

Параметры траекторий необходимо адаптировать из указанных выше значений однородного гравитационного поля. Радиус Земли принимается за R , а g за стандартную поверхностную гравитацию. Пусть скорость запуска относительно первой космической скорости. ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$

Общий диапазон d между запуском и ударом:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Максимальная дальность полета снаряда при оптимальном угле пуска ( ): ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       с , первая космическая скорость ${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$

Максимальная высота снаряда над поверхностью планеты:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

Максимальная высота снаряда при вертикальном пуске ( ): ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       с , вторая космическая скорость ${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$

Время полета:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

Смотрите также

• Уравнения движения
• Фугоид

Примечания

1. g — ускорение свободного падения . ( у поверхности Земли). ${\displaystyle 9.81\,\mathrm {m/s^{2}} }$
2. уменьшается, когда объект движется вверх, и увеличивается, когда он движется вниз
3. ${\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$

Рекомендации

1. Галилео Галилей, Две новые науки , Лейден, 1638, стр.249.
2. Нолти, Дэвид Д., Освобожденный Галилео (Oxford University Press, 2018), стр. 39-63.
3. Татум (2019). Классическая механика (PDF) . пп. гл. 7.
4. Стивен Т. Торнтон; Джерри Б. Мэрион (2007). Классическая динамика частиц и систем. Брукс/Коул. п. 59. ИСБН 978-0-495-55610-7.
5. Атам П. Арья; Атам Паркаш Арья (сентябрь 1997 г.). Введение в классическую механику. Прентис Холл, международный. п. 227. ИСБН 978-0-13-906686-3.
6. Рджинальд Кристиан, Бернардо; Хосе Перико, Эсгерра; День Жасмина, Вальехос; Джефф Джерард, Канда (2015). «Движение снаряда под влиянием ветра». Европейский журнал физики . 36 (2): 025016. Бибкод : 2015EJPh...36b5016B. дои : 10.1088/0143-0807/36/2/025016. S2CID  119601402.
7. Уолтер Грейнер (2004). Классическая механика: точечные частицы и теория относительности. Springer Science & Business Media. п. 181. ИСБН 0-387-95586-0.
8. Защита от баллистических ракет, Глоссарий, версия 3.0, Министерство обороны США , июнь 1997 г.