Предположим, что объект находится в точке ( a , 0) (или (4, 0) в примере, показанном справа), а тягач в начале координат , так что a — длина тянущей нити (4 в примере справа). Затем тягач начинает двигаться вдоль оси y в положительном направлении. В каждый момент времени нить будет касательной к кривой y = y ( x ), описываемой объектом, так что она становится полностью определяемой движением тяги. Математически, если координаты объекта равны ( x , y ) , то y -координата тяги определяется по теореме Пифагора . Запись того, что наклон нити равен наклону касательной к кривой, приводит к дифференциальному уравнению
с начальным условием y ( a ) = 0. Его решение есть
где знак ± зависит от направления (положительного или отрицательного) движения съемника.
Это инволюта функции цепной линии , которая описывает полностью гибкую, неупругую , однородную струну, прикрепленную к двум точкам, которая подвергается воздействию гравитационного поля. Цепная линия имеет уравнение y ( x ) = a cosh х/а .
Траектория, определяемая серединой задней оси автомобиля, тянущегося тросом с постоянной скоростью и в постоянном направлении (вначале перпендикулярно транспортному средству).
Это (нелинейная) кривая, которую окружность радиуса a , катящаяся по прямой линии с центром на оси x , пересекает перпендикулярно во все моменты времени.
Функция допускает горизонтальную асимптоту. Кривая симметрична относительно оси y . Радиус кривизны равен r = a cot х/у .
Кривая может быть параметризована уравнением . [4]
В силу геометрического способа определения трактриса обладает тем свойством, что отрезок ее касательной между асимптотой и точкой касания имеет постоянную длину a .
Длина дуги одной ветви между x = x 1 и x = x 2 равна ln г 1/г 2 .
Огибающая нормалей трактрисы ( то есть эволюта трактрисы) представляет собой цепную линию (или цепную кривую ) , заданную формулой y = a cosh х/а .
Поверхность вращения, образованная вращением трактрисы вокруг ее асимптоты, является псевдосферой .
Трактриса является трансцендентной кривой ; ее нельзя определить полиномиальным уравнением.
Практическое применение
В 1927 году P. G. A. H. Voigt запатентовал конструкцию рупорного громкоговорителя, основанную на предположении, что волновой фронт, проходящий через рупор, имеет сферическую форму постоянного радиуса. Идея заключается в минимизации искажений, вызванных внутренним отражением звука внутри рупора. Полученная форма представляет собой поверхность вращения трактрисы. [5] Важное применение — технология формовки листового металла. В частности, профиль трактрисы используется для угла штампа, на котором листовой металл сгибается во время глубокой вытяжки. [6]
Конструкция зубчатого ремня - шкива обеспечивает улучшенную эффективность механической передачи мощности, используя форму цепной линии трактрисы для своих зубьев. [7] Эта форма минимизирует трение зубьев ремня, зацепляющихся со шкивом, поскольку движущиеся зубья зацепляются и расцепляются с минимальным скользящим контактом. Первоначальные конструкции ремней ГРМ использовали более простые трапециевидные или круглые формы зубьев, которые вызывают значительное скольжение и трение.
Чертежные машины
В октябре-ноябре 1692 года Христиан Гюйгенс описал три тягловые машины. [8]
В 1693 году Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал «универсальную тяговую машину», которая, в теории, могла интегрировать любое дифференциальное уравнение первого порядка . [9] Концепция представляла собой аналоговый вычислительный механизм, реализующий тяговый принцип. Устройство было непрактичным для создания с использованием технологий времен Лейбница, и оно так и не было реализовано.
В 1706 году Джон Перкс построил тяговую машину для реализации гиперболической квадратуры. [10]
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (пересмотренное, 3-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8., выдержка из страницы 345
^ Бельтрами, Э. (1868). «Саджио ди интерпретация неевклидовой геометрии». Джорнале ди Математик . 6 : 284.Как цитируется у Бертотти, Бруно; Катеначчи, Роберто; Даппиаджи, Клаудио (2007). «Псевдосферы в геометрии и физике: от Бельтрами до де Ситтера и далее». Великий математик девятнадцатого века. Статьи в честь Эудженио Бельтрами (1835–1900) (на итальянском языке) . Ist. Lombardo Accad. Sci. Lett. Incontr. Studio. Vol. 39. LED–Ed. Univ. Lett. Econ. Diritto, Milan. pp. 165–194. arXiv : math/0506395 . ISBN 978-88-7916-359-0. МР 2374676.
^ Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (2013). "Рисунок 45(a)". Математика и воображение . Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. стр. 141. ISBN9780486320274.
↑ Конструкция рупорного громкоговорителя, стр. 4–5. (Перепечатано из Wireless World, март 1974 г.)
^ Ланге, Курт (1985). Справочник по обработке металлов давлением . McGraw Hill Book Company. стр. 20.43.
^ "Gates Powergrip GT3 Drive Design Manual" (PDF) . Gates Corporation . 2014. стр. 177 . Получено 17 ноября 2017 г. Профиль зуба GT основан на математической функции tractix. Инженерные справочники описывают эту функцию как систему "без трения". Эта ранняя разработка Шиле описывается как эвольвентная форма цепной линии.
^ ab Bos, H. J. M. (1989). «Узнавание и удивление – Гюйгенс, тяговое движение и некоторые мысли об истории математики» (PDF) . Евклид . 63 : 65–76.
^ Миличи, Пьетро (2014). Лолли, Габриэле (ред.). От логики к практике: итальянские исследования философии математики . Springer. ... механические устройства, изучаемые ... для решения конкретных дифференциальных уравнений ... Мы должны вспомнить «универсальную тяговую машину» Лейбница
^ Перкс, Джон (1706). «Построение и свойства новой квадратрисы гиперболы». Philosophical Transactions . 25 : 2253–2262. doi :10.1098/rstl.1706.0017. JSTOR 102681. S2CID 186211499.
^ Полени, Джон (1729). Epistolarum mathematicanim fasciculus . п. письмо № 7.