stringtranslate.com

Трактрикс

Трактриса, созданная концом шеста (лежащего плашмя на земле). Другой его конец сначала толкают, а затем тянут пальцем, вращая его в одну сторону.

В геометрии трактриса (от лат. trahere  'тянуть, тащить'; множественное число: tractrices ) — это кривая , по которой движется объект под действием трения , когда его тянет по горизонтальной плоскости отрезок прямой, прикрепленный к точке тяги (трактору ) , которая движется под прямым углом к ​​начальной линии между объектом и тягачом с бесконечно малой скоростью. Таким образом, это кривая преследования . Впервые она была введена Клодом Перро в 1670 году, а затем изучена Исааком Ньютоном (1676) и Христианом Гюйгенсом (1693). [1]

Математическое выведение

Трактриса с объектом изначально в (4, 0)

Предположим, что объект находится в точке ( a , 0) (или (4, 0) в примере, показанном справа), а тягач в начале координат , так что a — длина тянущей нити (4 в примере справа). Затем тягач начинает двигаться вдоль оси y в положительном направлении. В каждый момент времени нить будет касательной к кривой y = y ( x ), описываемой объектом, так что она становится полностью определяемой движением тяги. Математически, если координаты объекта равны ( x , y ) , то y -координата тяги определяется по теореме Пифагора . Запись того, что наклон нити равен наклону касательной к кривой, приводит к дифференциальному уравнению

с начальным условием y ( a ) = 0. Его решение есть

где знак ± зависит от направления (положительного или отрицательного) движения съемника.

Первый член этого решения можно также записать

где arsechобратная гиперболическая секанс- функция.

Знак перед решением зависит от того, движется ли тягач вверх или вниз. Обе ветви принадлежат трактрисе, встречающейся в точке каспа ( a , 0) .

Основа трактрисы

Существенным свойством трактрисы является постоянство расстояния между точкой P на кривой и пересечением касательной в точке P с асимптотой кривой .

Трактрису можно рассматривать по-разному:

  1. Это геометрическое место центра гиперболической спирали , катящейся (без скольжения) по прямой.
  2. Это инволюта функции цепной линии , которая описывает полностью гибкую, неупругую , однородную струну, прикрепленную к двум точкам, которая подвергается воздействию гравитационного поля. Цепная линия имеет уравнение y ( x ) = a cosh  х/а .
  3. Траектория, определяемая серединой задней оси автомобиля, тянущегося тросом с постоянной скоростью и в постоянном направлении (вначале перпендикулярно транспортному средству).
  4. Это (нелинейная) кривая, которую окружность радиуса a , катящаяся по прямой линии с центром на оси x , пересекает перпендикулярно во все моменты времени.

Функция допускает горизонтальную асимптоту. Кривая симметрична относительно оси y . Радиус кривизны равен r = a cot  х/у .

Большим следствием трактрисы было изучение ее поверхности вращения вокруг ее асимптоты: псевдосферы . Изученная Эудженио Бельтрами в 1868 году [2] как поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны , псевдосфера является локальной моделью гиперболической геометрии . Идея была развита далее Каснером и Ньюманом в их книге «Математика и воображение» , где они показывают игрушечный поезд, тянущий карманные часы для создания трактрисы. [3]

Характеристики

Цепная линия как эволюция трактрисы

Практическое применение

В 1927 году P. G. A. H. Voigt запатентовал конструкцию рупорного громкоговорителя, основанную на предположении, что волновой фронт, проходящий через рупор, имеет сферическую форму постоянного радиуса. Идея заключается в минимизации искажений, вызванных внутренним отражением звука внутри рупора. Полученная форма представляет собой поверхность вращения трактрисы. [5]
Важное применение — технология формовки листового металла. В частности, профиль трактрисы используется для угла штампа, на котором листовой металл сгибается во время глубокой вытяжки. [6]

Конструкция зубчатого ремня - шкива обеспечивает улучшенную эффективность механической передачи мощности, используя форму цепной линии трактрисы для своих зубьев. [7] Эта форма минимизирует трение зубьев ремня, зацепляющихся со шкивом, поскольку движущиеся зубья зацепляются и расцепляются с минимальным скользящим контактом. Первоначальные конструкции ремней ГРМ использовали более простые трапециевидные или круглые формы зубьев, которые вызывают значительное скольжение и трение.

Чертежные машины

Историю всех этих машин можно увидеть в статье HJM Bos . [8]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (пересмотренное, 3-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8., выдержка из страницы 345
  2. ^ Бельтрами, Э. (1868). «Саджио ди интерпретация неевклидовой геометрии». Джорнале ди Математик . 6 : 284.Как цитируется у Бертотти, Бруно; Катеначчи, Роберто; Даппиаджи, Клаудио (2007). «Псевдосферы в геометрии и физике: от Бельтрами до де Ситтера и далее». Великий математик девятнадцатого века. Статьи в честь Эудженио Бельтрами (1835–1900) (на итальянском языке) . Ist. Lombardo Accad. Sci. Lett. Incontr. Studio. Vol. 39. LED–Ed. Univ. Lett. Econ. Diritto, Milan. pp. 165–194. arXiv : math/0506395 . ISBN 978-88-7916-359-0. МР  2374676.
  3. ^ Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (2013). "Рисунок 45(a)". Математика и воображение . Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. стр. 141. ISBN 9780486320274.
  4. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Tractrix», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
  5. Конструкция рупорного громкоговорителя, стр. 4–5. (Перепечатано из Wireless World, март 1974 г.)
  6. ^ Ланге, Курт (1985). Справочник по обработке металлов давлением . McGraw Hill Book Company. стр. 20.43.
  7. ^ "Gates Powergrip GT3 Drive Design Manual" (PDF) . Gates Corporation . 2014. стр. 177 . Получено 17 ноября 2017 г. Профиль зуба GT основан на математической функции tractix. Инженерные справочники описывают эту функцию как систему "без трения". Эта ранняя разработка Шиле описывается как эвольвентная форма цепной линии.
  8. ^ ab Bos, H. J. M. (1989). «Узнавание и удивление – Гюйгенс, тяговое движение и некоторые мысли об истории математики» (PDF) . Евклид . 63 : 65–76.
  9. ^ Миличи, Пьетро (2014). Лолли, Габриэле (ред.). От логики к практике: итальянские исследования философии математики . Springer. ... механические устройства, изучаемые ... для решения конкретных дифференциальных уравнений ... Мы должны вспомнить «универсальную тяговую машину» Лейбница
  10. ^ Перкс, Джон (1706). «Построение и свойства новой квадратрисы гиперболы». Philosophical Transactions . 25 : 2253–2262. doi :10.1098/rstl.1706.0017. JSTOR  102681. S2CID  186211499.
  11. ^ Полени, Джон (1729). Epistolarum mathematicanim fasciculus . п. письмо № 7.

Ссылки

Внешние ссылки