stringtranslate.com

Переходное множество

В теории множеств , разделе математики , множество называется транзитивным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Точно так же класс является транзитивным, если каждый элемент является подмножеством .

Примеры

Используя определение порядковых чисел, предложенное Джоном фон Нейманом , порядковые числа определяются как наследственно транзитивные множества: порядковое число — это транзитивное множество, члены которого также транзитивны (и, следовательно, порядковые). Класс всех ординалов является транзитивным классом.

Любая из стадий и , ведущих к построению вселенной фон Неймана и конструктивной вселенной Гёделя, являются транзитивными множествами. Вселенные и сами по себе являются транзитивными классами.

Это полный список всех конечных транзитивных множеств, содержащих до 20 скобок: [1]

Характеристики

Множество транзитивно тогда и только тогда , когда , где - объединение всех элементов этого множества, .

Если транзитивно, то транзитивно.

Если и транзитивны, то и транзитивны. В общем случае, если класс, все элементы которого являются транзитивными множествами, то и транзитивны. (Первое предложение в этом абзаце относится к случаю .)

Множество , не содержащее urelements, является транзитивным тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего собственного степенного множества . Степенное множество транзитивного множества без urelements является транзитивным.

Транзитивное замыкание

Транзитивное замыкание множества — это наименьшее (по отношению к включению) транзитивное множество, включающее (т. е. ). [2] Предположим, что задан набор , тогда транзитивное замыкание равно

Доказательство. Обозначим и . Тогда мы утверждаем, что множество

является транзитивным, и всякий раз, когда является транзитивным множеством, включая then .

Предполагать . Потом для некоторых и так . С , . Таким образом, является транзитивным.

Теперь пусть будет так, как указано выше. Мы доказываем по индукции, что для всех , тем самым доказывая, что : Базовый случай имеет место, поскольку . Теперь предположим . Затем . Но транзитивно , поэтому . Это завершает доказательство.

Обратите внимание, что это набор всех объектов, связанных транзитивным замыканием отношения принадлежности, поскольку объединение набора может быть выражено через относительное произведение отношения принадлежности на самого себя.

Транзитивное замыкание множества может быть выражено формулой первого порядка: является транзитивным замыканием множества тогда и только тогда, когда оно является пересечением всех транзитивных надмножеств (то есть каждое транзитивное надмножество содержит подмножество).

Транзитивные модели теории множеств

Транзитивные классы часто используются для построения интерпретаций самой теории множеств, обычно называемых внутренними моделями . Причина в том, что свойства, определяемые ограниченными формулами , абсолютны для транзитивных классов.

Транзитивное множество (или класс), которое является моделью формальной системы теории множеств, называется транзитивной моделью системы (при условии, что отношение элемента модели является ограничением истинного отношения элемента к вселенной модели). . Транзитивность является важным фактором, определяющим абсолютность формул.

В суперструктурном подходе к нестандартному анализу нестандартные вселенные удовлетворяют строгой транзитивности. [ нужны разъяснения ] [3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Количество корневых деревьев тождеств с n узлами (корневые деревья, группа автоморфизмов которых является группой тождеств)». ОЭИС .
  2. ^ Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 164. ИСБН 978-1-139-17313-1. ОСЛК  817922080.
  3. ^ Голдблатт (1998) стр.161