Класс математического набора, все элементы которого являются подмножествами.
В теории множеств , разделе математики , множество называется транзитивным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- всякий раз , и , тогда .
![{\displaystyle x\in A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\in x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\in A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- всякий раз , когда и не является urelement , то является подмножеством .
![{\displaystyle x\in A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Точно так же класс является транзитивным, если каждый элемент является подмножеством .![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Используя определение порядковых чисел, предложенное Джоном фон Нейманом , порядковые числа определяются как наследственно транзитивные множества: порядковое число — это транзитивное множество, члены которого также транзитивны (и, следовательно, порядковые). Класс всех ординалов является транзитивным классом.
Любая из стадий и , ведущих к построению вселенной фон Неймана и конструктивной вселенной Гёделя, являются транзитивными множествами. Вселенные и сами по себе являются транзитивными классами.![{\displaystyle V_{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это полный список всех конечных транзитивных множеств, содержащих до 20 скобок: [1]
![{\displaystyle \{\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\} ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\ },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\ }\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\ }\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{ \{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{ \{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\} ,\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{ \{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\} \},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\ }\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\ }\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\ }\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\ }\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\ }\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\ {\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{ \{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\ {\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}, \{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\ }\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\ }\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{ \{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{ \{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\ {\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Множество транзитивно тогда и только тогда , когда , где - объединение всех элементов этого множества, . ![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigcup X\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigcup X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если транзитивно, то транзитивно.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigcup X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если и транзитивны, то и транзитивны. В общем случае, если класс, все элементы которого являются транзитивными множествами, то и транзитивны. (Первое предложение в этом абзаце относится к случаю .)![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\чашка Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\чашка Y\чашка \{X,Y\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigcup Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle Z\чашка \bigcup Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z=\{X,Y\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Множество , не содержащее urelements, является транзитивным тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего собственного степенного множества . Степенное множество транзитивного множества без urelements является транзитивным.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Транзитивное замыкание
Транзитивное замыкание множества — это наименьшее (по отношению к включению) транзитивное множество, включающее (т. е. ). [2] Предположим, что задан набор , тогда транзитивное замыкание равно![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство. Обозначим и . Тогда мы утверждаем, что множество![{\textstyle X_{0}=X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является транзитивным, и всякий раз, когда является транзитивным множеством, включая then .![{\textstyle T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle T\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Предполагать . Потом для некоторых и так . С , . Таким образом, является транзитивным.![{\ textstyle y \ in x \ in T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle x\in X_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{n+1}\subseteq T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle y\in T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль Т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь пусть будет так, как указано выше. Мы доказываем по индукции, что для всех , тем самым доказывая, что : Базовый случай имеет место, поскольку . Теперь предположим . Затем . Но транзитивно , поэтому . Это завершает доказательство.![{\textstyle T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle T\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что это набор всех объектов, связанных транзитивным замыканием отношения принадлежности, поскольку объединение набора может быть выражено через относительное произведение отношения принадлежности на самого себя.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Транзитивное замыкание множества может быть выражено формулой первого порядка: является транзитивным замыканием множества тогда и только тогда, когда оно является пересечением всех транзитивных надмножеств (то есть каждое транзитивное надмножество содержит подмножество).![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Транзитивные модели теории множеств
Транзитивные классы часто используются для построения интерпретаций самой теории множеств, обычно называемых внутренними моделями . Причина в том, что свойства, определяемые ограниченными формулами , абсолютны для транзитивных классов.
Транзитивное множество (или класс), которое является моделью формальной системы теории множеств, называется транзитивной моделью системы (при условии, что отношение элемента модели является ограничением истинного отношения элемента к вселенной модели). . Транзитивность является важным фактором, определяющим абсолютность формул.
В суперструктурном подходе к нестандартному анализу нестандартные вселенные удовлетворяют строгой транзитивности. [ нужны разъяснения ] [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ «Количество корневых деревьев тождеств с n узлами (корневые деревья, группа автоморфизмов которых является группой тождеств)». ОЭИС .
- ^ Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 164. ИСБН 978-1-139-17313-1. ОСЛК 817922080.
- ^ Голдблатт (1998) стр.161
- Цесельский, Кшиштоф (1997), Теория множеств для работающего математика , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 39, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-59441-3, Збл 0938.03067
- Голдблатт, Роберт (1998), Лекции по гиперреальности. Введение в нестандартный анализ , Тексты для выпускников по математике , вып. 188, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 0-387-98464-Х, Збл 0911.03032
- Джех, Томас (2008) [первоначально опубликовано в 1973 году], Аксиома выбора , Dover Publications , ISBN 0-486-46624-8, Збл 0259.02051