Неразличимые

Понятие в математической логике

В математической логике неразличимые — это объекты, которые не могут быть различены никаким свойством или отношением , определяемым формулой . Обычно рассматриваются только формулы первого порядка .

Примеры

Если a , b и c различны и { a , b , c } — набор неразличимых , то, например, для каждой бинарной формулы мы должны иметь ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle [\beta (a,b)\land \beta (b,a)\land \beta (a,c)\land \beta (c,a)\land \beta (b,c)\land \beta (c,b)]\lor }$

${\displaystyle [\lnot \beta (a,b)\land \lnot \beta (b,a)\land \lnot \beta (a,c)\land \lnot \beta (c,a)\land \lnot \beta (b,c)\land \lnot \beta (c,b)]\,.}$

Исторически тождество неразличимых было одним из законов мышления Готфрида Лейбница .

Обобщения

В некоторых контекстах рассматривается более общее понятие order-indiscernibles , и термин sequence of indiscernibles часто неявно относится к этому более слабому понятию. В нашем примере бинарных формул, чтобы сказать, что тройка ( a , b , c ) различных элементов является последовательностью indiscernibles, подразумевается

${\displaystyle ([\varphi (a,b)\land \varphi (a,c)\land \varphi (b,c)]\lor [\lnot \varphi (a,b)\land \lnot \varphi (a,c)\land \lnot \varphi (b,c)])}$и

${\displaystyle ([\varphi (b,a)\land \varphi (c,a)\land \varphi (c,b)]\lor [\lnot \varphi (b,a)\land \lnot \varphi (c,a)\land \lnot \varphi (c,b)])\,.}$

В более общем смысле, для структуры с доменом и линейным порядком множество называется множеством -неразличимых для , если для любых конечных подмножеств и с и и любой формулы первого порядка языка со свободными переменными, . ^{[1] стр. 2} ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle I\subseteq A}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \{i_{0},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I}$ ${\displaystyle \{j_{0},\ldots ,j_{n}\}\subseteq I}$ ${\displaystyle i_{0}<\ldots <i_{n}}$ ${\displaystyle j_{0}<\ldots <j_{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\vDash \phi (i_{0},\ldots ,i_{n})\iff {\mathfrak {A}}\vDash \phi (j_{0},\ldots ,j_{n})}$

Приложения

Неразличимые по порядку элементы играют важную роль в теории кардиналов Рамсея , кардиналов Эрдёша и ноль-диез .

Смотрите также

• Идентичность неразличимых
• Грубый набор

Ссылки

• Jech, Thomas (2003). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Збл  1007.03002.

Цитаты

1. J. Baumgartner, F. Galvin, "Обобщенные кардиналы Эрдёша и 0#". Annals of Mathematical Logic, т. 15, вып. 3 (1978).