Тригонометрический ряд

Бесконечная сумма синусов и косинусов

В математике тригонометрический ряд — это бесконечный ряд вида

${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {(nx)}+B_{n}\sin {(nx)},}$

где — переменная, а и — коэффициенты . Это бесконечная версия тригонометрического полинома . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ ${\displaystyle \{B_{n}\}}$

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье интегрируемой функции, если коэффициенты имеют вид: ${\textstyle f}$

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {(nx)}\,dx}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {(nx)}\,dx}$

Примеры

Ряд Фурье для функции тождества страдает от явления Гиббса вблизи концов периодического интервала.

Каждый ряд Фурье дает пример тригонометрического ряда. Пусть функция на расширена периодически (см. пилообразная волна ). Тогда ее коэффициенты Фурье равны: ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos {(nx)}\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin {(nx)}\,dx\\[4pt]&=-{\frac {x}{n\pi }}\cos {(nx)}+{\frac {1}{n^{2}\pi }}\sin {(nx)}{\Bigg \vert }_{x=-\pi }^{\pi }\\[5mu]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Что дает пример тригонометрического ряда:

${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin {(nx)}=2\sin {(x)}-{\frac {2}{2}}\sin {(2x)}+{\frac {2}{3}}\sin {(3x)}-{\frac {2}{4}}\sin {(4x)}+\cdots }$

Тригонометрический ряд sin 2 x  / log 2 + sin 3 x  / log 3 + sin 4 x  / log 4 + ... не является рядом Фурье.

Обратное утверждение неверно, однако не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin {(nx)}}{\log {n}}}={\frac {\sin {(2x)}}{\log {2}}}+{\frac {\sin {(3x)}}{\log {3}}}+{\frac {\sin {(4x)}}{\log {4}}}+\cdots }$

— тригонометрический ряд, который сходится для всех , но не является рядом Фурье . ^[1] Здесь для и все остальные коэффициенты равны нулю. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\log(n)}}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Уникальность тригонометрического ряда

Уникальность и нули тригонометрических рядов были активной областью исследований в Европе 19 века. Во-первых, Георг Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к функции на интервале , которая тождественно равна нулю или, в более общем случае, не равна нулю не более чем в конечном числе точек, то все коэффициенты ряда равны нулю. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

Позже Кантор доказал, что даже если множество S, на котором ненулевое, бесконечно, но производное множество S' от S конечно, то все коэффициенты равны нулю. Фактически, он доказал более общий результат. Пусть S ₀ = S и пусть S _k+1 будет производным множеством от S _k . Если существует конечное число n, для которого S _n конечно, то все коэффициенты равны нулю. Позже Лебег доказал, что если существует счетно бесконечное ординальное число α такое, что S _α конечно, то все коэффициенты ряда равны нулю. Работа Кантора над проблемой единственности привела его к изобретению трансфинитных ординальных чисел , которые появились как нижние индексы α в S _α . ^[3] ${\displaystyle f}$

Примечания

1. Харди, Годфри Гарольд ; Рогозинский, Вернер Вольфганг (1956) [1-е изд. 1944]. Ряды Фурье (3-е изд.). Cambridge University Press. С. 4–5.
2. Кехрис, Александр С. (1997). «Теория множеств и уникальность тригонометрических рядов» (PDF) . Caltech.
3. Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив для History of Exact Sciences . 45 (4): 281–334. doi :10.1007/BF01886630. S2CID  122744778.{{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Ссылки

• Бари, Нина Карловна (1964). Трактат о тригонометрических рядах . Том 1. Перевод Маллинз, Маргарет Ф. Пергамон.
• Зигмунд, Антони (1968). Тригонометрические ряды . Т. 1 и 2 (2-е, переизданное издание). Cambridge University Press. MR  0236587.

Смотрите также

• Теорема Данжуа–Лузина