Тригонометрия

Область геометрии, об углах и длинах

Тригонометрия (от древнегреческого τρίγωνον ( trígōnon )  «треугольник» и μέτρον ( métron )  «мера») ^[1] — раздел математики, занимающийся отношениями между углами и длинами сторон треугольников. В частности, тригонометрические функции связывают углы прямоугольного треугольника с отношениями длин его сторон. Область возникла в эллинистическом мире в 3 веке до н. э. из приложений геометрии к астрономическим исследованиям . ^[2] Греки сосредоточились на вычислении хорд , в то время как математики в Индии создали самые ранние известные таблицы значений для тригонометрических отношений (также называемых тригонометрическими функциями ), таких как синус . ^[3]

На протяжении всей истории тригонометрия применялась в таких областях, как геодезия , геодезия , небесная механика и навигация . ^[4]

Тригонометрия известна своими многочисленными тождествами . Эти тригонометрические тождества ^[5] обычно используются для переписывания тригонометрических выражений с целью упрощения выражения, нахождения более полезной формы выражения или решения уравнения . ^[6]

История

Гиппарх , которому приписывают составление первой тригонометрической таблицы , был назван « отцом тригонометрии». ^[7]

Шумерские астрономы изучали измерение углов, используя деление окружностей на 360 градусов. ^[8] Они, а позже и вавилоняне , изучали соотношения сторон подобных треугольников и открыли некоторые свойства этих соотношений, но не превратили это в систематический метод нахождения сторон и углов треугольников. Древние нубийцы использовали аналогичный метод. ^[9]

В 3 веке до нашей эры эллинистические математики, такие как Евклид и Архимед, изучали свойства хорд и вписанных углов в окружности, и они доказали теоремы, которые эквивалентны современным тригонометрическим формулам, хотя они представили их геометрически, а не алгебраически. В 140 году до нашей эры Гиппарх (из Никеи , Малая Азия) дал первые таблицы хорд, аналогичные современным таблицам значений синусов , и использовал их для решения задач по тригонометрии и сферической тригонометрии . ^[10] Во 2 веке нашей эры греко-египетский астроном Птолемей (из Александрии, Египет) построил подробные тригонометрические таблицы ( таблица хорд Птолемея ) в книге 1, главе 11 своего Альмагеста . ^[11] Птолемей использовал длину хорды для определения своих тригонометрических функций, что является незначительным отличием от соглашения о синусах , которое мы используем сегодня. ^[12] (Значение, которое мы называем sin(θ), можно найти, найдя длину хорды для удвоенного угла интереса (2θ) в таблице Птолемея, а затем разделив это значение на два.) Прошли столетия, прежде чем были составлены более подробные таблицы, и трактат Птолемея продолжал использоваться для выполнения тригонометрических вычислений в астрономии на протяжении следующих 1200 лет в средневековом византийском , исламском и, позднее, в западноевропейском мире.

Современное определение синуса впервые засвидетельствовано в « Сурья-сиддханте» , а его свойства были дополнительно задокументированы в V веке (н. э.) индийским математиком и астрономом Арьябхатой . ^[13] Эти греческие и индийские труды были переведены и расширены средневековыми исламскими математиками . В 830 году нашей эры персидский математик Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази создал первую таблицу котангенсов. ^{[14] [15]} К X веку нашей эры в работе персидского математика Абу аль-Вафы аль-Бузджани использовались все шесть тригонометрических функций . ^[16] У Абу аль-Вафы были таблицы синусов с шагом 0,25°, с точностью до 8 знаков после запятой и точные таблицы значений тангенсов. ^[16] Он также внес важные новшества в сферическую тригонометрию ^{[17] [18]} [ ^19] Персидский эрудит Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. ^{[20] [21] [22]} Он был первым, кто рассматривал тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и он развил сферическую тригонометрию в ее нынешнем виде. ^[15] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, и в своей работе «О секторной фигуре » он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон касательных для сферических треугольников и предоставил доказательства обоих этих законов. ^[23] Знания о тригонометрических функциях и методах достигли Западной Европы через латинские переводы греческого Альмагеста Птолемея , а также через работы персидских и арабских астрономов, таких как Аль Баттани и Насир ад-Дин ат-Туси . ^[24] Одной из самых ранних работ по тригонометрии, написанных североевропейским математиком, является De Triangulis немецкого математика XV века Региомонтана , которого вдохновил написать и предоставил копию Альмагеста византийский греческий ученый кардинал Василий Виссарион, с которым он прожил несколько лет. ^[25] В то же время еще один перевод Альмагеста с греческого на латынь был завершен критянином Георгием Трапезундским . ^[26] Тригонометрия была еще настолько мало известна в Северной Европе XVI века, что Николай Коперник посвятил две главы своего труда «О вращении небесных сфер» объяснению ее основных понятий.

Под влиянием требований навигации и растущей потребности в точных картах больших географических территорий тригонометрия превратилась в крупную отрасль математики. ^[27] Бартоломей Питиск был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году . ^[28] Джемма Фризиус впервые описал метод триангуляции, который до сих пор используется в геодезии. Именно Леонард Эйлер полностью включил комплексные числа в тригонометрию. Работы шотландских математиков Джеймса Грегори в 17 веке и Колина Маклорена в 18 веке оказали влияние на развитие тригонометрических рядов . ^[29] Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора . ^[30]

Тригонометрические соотношения

В этом прямоугольном треугольнике: sin A = a / h ; cos A = b / h ; tan A = a / b .

Тригонометрические отношения — это отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Эти отношения зависят только от одного острого угла прямоугольного треугольника, поскольку любые два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны . [ ^31]

Итак, эти соотношения определяют функции этого угла, которые называются тригонометрическими функциями . Явно они определены ниже как функции известного угла A , где a , b и h относятся к длинам сторон на прилагаемом рисунке:

• Синус (обозначается как sin), определяемый как отношение стороны, противолежащей углу, к гипотенузе .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.}$

• Косинус (обозначается cos), определяемый как отношение прилежащего катета (стороны треугольника, соединяющей угол с прямым углом) к гипотенузе.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.}$

• Тангенс (обозначается как тангенс), определяемый как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

Гипотенуза — это сторона , противолежащая углу 90 градусов в прямоугольном треугольнике; это самая длинная сторона треугольника и одна из двух сторон, прилегающих к углу A. Прилежащий катет — это другая сторона, прилегающая к углу A. Противоположная сторона — это сторона, противолежащая углу A. Термины перпендикуляр и основание иногда используются для противолежащей и прилежащей сторон соответственно. См. ниже в разделе Мнемоника.

Обратные величины этих отношений называются косекансом (csc), секансом (sec) и котангенсом (cot) соответственно:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Косинус, котангенс и косеканс так названы потому, что они являются соответственно синусом, тангенсом и секансом дополнительного угла, сокращенно обозначаемого как «co-». ^[32]

С помощью этих функций можно ответить практически на все вопросы о произвольных треугольниках, используя закон синусов и закон косинусов . ^[33] Эти законы можно использовать для вычисления оставшихся углов и сторон любого треугольника, если известны две стороны и их угол, заключенный между ними, или два угла и сторона, или три стороны.

Мнемоника

Распространенное применение мнемоники — запоминание фактов и отношений в тригонометрии. Например, синус , косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их и соответствующие им стороны в виде строк букв. Например, мнемоника — SOH-CAH-TOA: ^[34]

Синус = Противоположный катет ÷ Гипотенуза

Косинус = Прилежащий катет ÷ Гипотенуза

Тангенс = Противоположный ÷ Смежный​

Один из способов запомнить буквы — произнести их фонетически (например, / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , похоже на Krakatoa ). ^[35] Другой метод — разложить буквы в предложение, например, « S ome Old H ippie C aught A noter H ippie Trippin ' On A cid ». ^[36]

Единичная окружность и общие тригонометрические величины

Рис. 1а – Синус и косинус угла θ, определенные с помощью единичной окружности

Указание знака и величины ключевых углов в зависимости от направления вращения

Тригонометрические соотношения также можно представить с помощью единичной окружности , которая представляет собой окружность радиусом 1 с центром в начале координат на плоскости. ^[37] В этой настройке конечная сторона угла A, помещенная в стандартное положение, пересечет единичную окружность в точке (x,y), где и . ^[37] Это представление позволяет вычислять обычно встречающиеся тригонометрические значения, такие как те, что приведены в следующей таблице: ^[38] ${\displaystyle x=\cos A}$ ${\displaystyle y=\sin A}$

Тригонометрические функции действительных или комплексных переменных

Используя единичную окружность , можно распространить определения тригонометрических соотношений на все положительные и отрицательные аргументы ^[39] (см. тригонометрическую функцию ).

Графики тригонометрических функций

В следующей таблице обобщены свойства графиков шести основных тригонометрических функций: ^{[40] [41]}

Обратные тригонометрические функции

Поскольку шесть основных тригонометрических функций являются периодическими, они не являются инъективными (или 1 к 1), и, таким образом, не являются обратимыми. Однако, ограничивая область определения тригонометрической функции, их можно сделать обратимыми. ^{[42] : 48ff}

Названия обратных тригонометрических функций, а также их области определения и диапазоны можно найти в следующей таблице: ^{[42] : 48ff  [43] : 521ff}

Представления степенных рядов

При рассмотрении в качестве функций действительной переменной тригонометрические отношения могут быть представлены бесконечным рядом . Например, синус и косинус имеют следующие представления: ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

С помощью этих определений тригонометрические функции могут быть определены для комплексных чисел . ^[45] При расширении в качестве функций действительных или комплексных переменных для комплексной экспоненты справедлива следующая формула :

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Эта сложная показательная функция, записанная в терминах тригонометрических функций, особенно полезна. ^{[46] [47]}

Вычисление тригонометрических функций

Тригонометрические функции были одними из самых ранних применений математических таблиц . ^[48] Такие таблицы были включены в учебники математики, и студентов учили искать значения и интерполировать между перечисленными значениями, чтобы получить более высокую точность. ^[49] Логарифмические линейки имели специальные шкалы для тригонометрических функций. ^[50]

Научные калькуляторы имеют кнопки для вычисления основных тригонометрических функций (sin, cos, tan, а иногда cis и их обратные функции). ^[51] Большинство из них позволяют выбирать методы измерения углов: градусы , радианы и иногда градиенты . Большинство языков программирования предоставляют библиотеки функций, которые включают тригонометрические функции. ^[52] Аппаратное обеспечение блока с плавающей точкой , встроенное в микропроцессорные чипы, используемые в большинстве персональных компьютеров, имеет встроенные инструкции для вычисления тригонометрических функций. ^[53]

Другие тригонометрические функции

В дополнение к шести соотношениям, перечисленным ранее, существуют дополнительные тригонометрические функции, которые были исторически важны, хотя редко используются сегодня. К ним относятся хорда ( crd( θ ) = 2 sin( ⁠θ/2⁠ ) ​​), версина ( versin( θ ) знак равно 1 - cos( θ ) знак равно 2 грех ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​) (который появился в самых ранних таблицах ^[54] ), coversine ( coversin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin( ⁠π/2⁠ − θ ) ), гаверсинус ( haversin( θ ) = ⁠1/2⁠ версия( θ ) = грех ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​), ^[55] экссеканс (exsec ( θ ) = sec( θ ) − 1 ) и экссеканс ( excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2⁠ − θ ) = csc( θ ) − 1 ). См. Список тригонометрических тождеств для получения дополнительных соотношений между этими функциями.

Приложения

Астрономия

На протяжении столетий сферическая тригонометрия использовалась для определения положения Солнца, Луны и звезд, ^[56] предсказания затмений и описания орбит планет. ^[57]

В наше время метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до близлежащих звезд ^[58] , а также в спутниковых навигационных системах ^[19] .

Навигация

Секстанты используются для измерения угла солнца или звезд по отношению к горизонту. Используя тригонометрию и морской хронометр , можно определить положение корабля по таким измерениям.

Исторически тригонометрия использовалась для определения широты и долготы парусных судов, прокладки курсов и расчета расстояний во время навигации. ^[59]

Тригонометрия по-прежнему используется в навигации с помощью таких средств, как Глобальная система позиционирования и искусственный интеллект для автономных транспортных средств . ^[60]

Геодезия

В землеустройстве тригонометрия используется для расчета длин, площадей и относительных углов между объектами. ^[61]

В более широком масштабе тригонометрия используется в географии для измерения расстояний между ориентирами. ^[62]

Периодические функции

Функция (красного цвета) представляет собой сумму шести синусоидальных функций с различными амплитудами и гармонически связанными частотами. Их суммирование называется рядом Фурье. Преобразование Фурье (синего цвета), которое отображает амплитуду против частоты , показывает 6 частот ( на нечетных гармониках ) и их амплитуды ( 1/нечетное число ). ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Функции синуса и косинуса являются основополагающими для теории периодических функций , ^[63] таких, которые описывают звуковые и световые волны . Фурье открыл, что каждая непрерывная периодическая функция может быть описана как бесконечная сумма тригонометрических функций.

Даже непериодические функции могут быть представлены как интеграл синусов и косинусов через преобразование Фурье . Это имеет приложения к квантовой механике ^[64] и коммуникациям [ ^65] среди других областей.

Оптика и акустика

Тригонометрия полезна во многих физических науках , ^[66] включая акустику , ^[67] и оптику . ^[67] В этих областях она используется для описания звуковых и световых волн , а также для решения задач, связанных с границами и передачей. ^[68]

Другие приложения

Другие области, которые используют тригонометрию или тригонометрические функции, включают теорию музыки , ^[69] геодезию , аудиосинтез , ^[70] архитектуру , ^[71] электронику , ^[69] биологию , ^[72] медицинскую визуализацию ( КТ и ультразвук ), ^[73] химию , ^[74] теорию чисел (и, следовательно, криптологию ), ^[75] сейсмологию , ^[67] метеорологию , ^[76] океанографию , ^[77] сжатие изображений , ^[78] фонетику , ^[79] экономику , ^[80] электротехнику , машиностроение , гражданское строительство , ^[69] компьютерную графику , ^[81] картографию , ^[69] кристаллографию ^[82] и разработку игр . ^[81]

Идентичности

Треугольник со сторонами a , b , c и соответственно противолежащими углами A , B , C

Тригонометрия известна своими многочисленными тождествами, то есть уравнениями, которые верны для всех возможных входных данных. ^[83]

Тождества, включающие только углы, известны как тригонометрические тождества . Другие уравнения, известные как тождества треугольников , ^[84] связывают как стороны, так и углы данного треугольника.

Треугольные тождества

В следующих тождествах A , B и C — углы треугольника, а a , b и c — длины сторон треугольника, противолежащих соответствующим углам (как показано на схеме).

Закон синусов

Закон синусов (также известный как «правило синусов») для произвольного треугольника гласит: ^[85]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

где — площадь треугольника, а R — радиус описанной окружности треугольника: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Закон косинусов

Закон косинусов (известный как формула косинуса или «правило косинуса») является расширением теоремы Пифагора на произвольные треугольники: ^[85]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Закон касательных

Закон касательных , разработанный Франсуа Виэтом , является альтернативой закону косинусов при решении неизвестных сторон треугольника, обеспечивая более простые вычисления при использовании тригонометрических таблиц. ^[86] Он задается формулой:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Область

Если даны две стороны a и b и угол между сторонами C , площадь треугольника определяется как половина произведения длин двух сторон и синуса угла между двумя сторонами: ^[85]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}$

Тригонометрические тождества

Пифагорейские тождества

Следующие тригонометрические тождества связаны с теоремой Пифагора и справедливы для любого значения: ^[87]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

Второе и третье уравнения получены путем деления первого уравнения на и соответственно. ${\displaystyle \cos ^{2}{A}}$ ${\displaystyle \sin ^{2}{A}}$

Формула Эйлера

Формула Эйлера , утверждающая, что , дает следующие аналитические тождества для синуса, косинуса и тангенса в терминах e и мнимой единицы i : ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Другие тригонометрические тождества

Другие часто используемые тригонометрические тождества включают тождества половинного угла, тождества суммы и разности углов, а также тождества произведения в сумму. ^[31]

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Обобщенная тригонометрия
• сфера Ленарта
• Список тем треугольника
• Список тригонометрических тождеств
• Рациональная тригонометрия
• Узкий треугольник
• Малоугловое приближение
• Тригонометрические функции
• Единичная окружность
• Применение тригонометрии

Ссылки

1. Харпер, Дуглас. "тригонометрия". Онлайн-словарь этимологии . Получено 18.03.2022 .
2. Р. Нагель (ред.), Энциклопедия науки , 2-е изд., The Gale Group (2002)
3. Бойер (1991), стр.  ^{[ нужна страница ]} .
4. Чарльз Уильям Хакли (1853). Трактат по тригонометрии, плоской и сферической: с ее применением к навигации и геодезии, морской и практической астрономии и геодезии, с логарифмическими, тригонометрическими и морскими таблицами. Г. П. Патнэм.
5. Мэри Джейн Стерлинг (24 февраля 2014 г.). Тригонометрия для чайников. John Wiley & Sons. стр. 185. ISBN 978-1-118-82741-3.
6. Рон Ларсон; Роберт П. Хостетлер (10 марта 2006 г.). Тригонометрия. Cengage Learning. стр. 230. ISBN 0-618-64332-X.
7. Бойер (1991), стр. 162, «Греческая тригонометрия и измерение».
8. Пиментель, Рик; Уолл, Терри (2018). Cambridge IGCSE Core Mathematics (4-е изд.). Hachette UK. стр. 275. ISBN 978-1-5104-2058-8.Выдержка из страницы 275
9. Отто Нойгебауэр (1975). История древней математической астрономии. 1. Шпрингер-Верлаг. п. 744. ИСБН 978-3-540-06995-9.
10. Терстон (1996), стр. 235–236, «Приложение 1: Таблица аккордов Гиппарха».
11. Тумер, Г. (1998). Альмагест Птолемея . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00260-6.
12. Терстон (1996), стр. 239–243, «Приложение 3: Таблица хорд Птолемея».
13. Бойер (1991), стр. 215.
14. Жак Сесиано (2000). «Исламская математика». В Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan (ред.). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . стр. 157. ISBN 978-1-4020-0260-1.
15. "тригонометрия". Encyclopaedia Britannica . Получено 21 июля 2008 г.
16. Boyer 1991, стр. 238.
17. Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафы и определения Киблы». Арабские науки и философия . 21 (1). Cambridge University Press : 1–56. doi : 10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.
18. Джинджерич, Оуэн. «Исламская астрономия». Scientific American 254.4 (1986): 74–83
19. Michael Willers (13 февраля 2018 г.). Кабинетная алгебра: все, что вам нужно знать от целых чисел до уравнений. Book Sales. стр. 37. ISBN 978-0-7858-3595-0.
20. "Nasir al-Din al-Tusi". Архив истории математики MacTutor . Получено 08.01.2021 . Одним из важнейших математических вкладов аль-Туси было создание тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины, а не просто инструмента для астрономических приложений. В "Трактате о четырехугольнике" аль-Туси дал первое сохранившееся изложение всей системы плоской и сферической тригонометрии. Эта работа действительно является первой в истории по тригонометрии как независимой ветви чистой математики и первой, в которой изложены все шесть случаев для прямоугольного сферического треугольника.
21. Берггрен, Дж. Л. (октябрь 2013 г.). «Исламская математика». Кембриджская история науки. Том 2. Издательство Кембриджского университета. С. 62–83. doi :10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 9780521594486.
22. "ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. Biography". Encyclopaedia Iranica . Получено 2018-08-05 . Его главный вклад в математику (Nasr, 1996, стр. 208–214) считается вкладом в тригонометрию, которая впервые была составлена ​​им как новая самостоятельная дисциплина. Сферическая тригонометрия также обязана своим развитием его усилиям, и это включает в себя концепцию шести основных формул для решения сферических прямоугольных треугольников.
23. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
24. Бойер (1991), стр. 237, 274.
25. "Иоганн Мюллер Региомонтанус". Архив истории математики Мактьютора . Получено 08.01.2021 .
26. NG Wilson (1992). От Византии до Италии. Греческие исследования в итальянском Ренессансе , Лондон. ISBN 0-7156-2418-0 
27. Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: История математических наук . WW Norton. ISBN 978-0-393-32030-5.
28. Роберт Э. Кребс (2004). Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия Средневековья и эпохи Возрождения. Greenwood Publishing Group. стр. 153. ISBN 978-0-313-32433-8.
29. Эвальд, Уильям Брэгг (2005-04-21). От Канта до Гильберта Том 1: Источниковая книга по основам математики. OUP Oxford. стр. 93. ISBN 978-0-19-152309-0.
30. Демпски, Келли (ноябрь 2002 г.). Focus on Curves and Surfaces. Premier Press. стр. 29. ISBN 978-1-59200-007-4.
31. Джеймс Стюарт; Лотар Редлин; Салим Уотсон (16 января 2015 г.). Алгебра и тригонометрия. Cengage Learning. стр. 448. ISBN 978-1-305-53703-3.
32. Дик Джардин; Эми Шелл-Геллаш (2011). Математические капсулы времени: исторические модули для класса математики. MAA. стр. 182. ISBN 978-0-88385-984-1.
33. Кристл Роуз Форсет; Кристофер Бергер; Мишель Роуз Гилман; Дебора Дж. Рамси (2008). Предварительное исчисление для чайников. John Wiley & Sons. стр. 218. ISBN 978-0-470-16984-1.
34. Вайсштейн, Эрик В. "SOHCAHTOA". Математический мир .
35. Хамбл, Крис (2001). Ключевые математики: GCSE, Высшее. Фиона Макгилл. Челтнем: Stanley Thornes Publishers. стр. 51. ISBN 0-7487-3396-5. OCLC  47985033.
36. Предложение, более подходящее для старших классов, это "' Some Old Horse Came A ' ' H opping Through Our Alley " . Фостер , Джонатан К. (2008). Memory : A Very Short Introduction . Оксфорд. стр . 128. ISBN 978-0-19-280675-8.
37. Дэвид Коэн; Ли Б. Теодор; Дэвид Склар (17 июля 2009 г.). Precalculus: A Problem-Oriented Approach, Enhanced Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5.
38. W. Michael Kelley (2002). Полное руководство по исчислению для идиотов. Alpha Books. стр. 45. ISBN 978-0-02-864365-6.
39. Дженни Олив (18 сентября 2003 г.). Математика: Руководство по выживанию для студентов: рабочая тетрадь для самостоятельной работы для студентов естественных и инженерных специальностей. Cambridge University Press. стр. 175. ISBN 978-0-521-01707-7.
40. Мэри П. Аттенборо (30 июня 2003 г.). Математика для электротехники и вычислительной техники. Elsevier. стр. 418. ISBN 978-0-08-047340-6.
41. Рон Ларсон; Брюс Х. Эдвардс (10 ноября 2008 г.). Исчисление одной переменной. Cengage Learning. стр. 21. ISBN 978-0-547-20998-2.
42. Элизабет Г. Бремиган; Ральф Дж. Бремиган; Джон Д. Лорч (2011). Математика для учителей средней школы. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1.
43. Мартин Брокейт; Пэмми Манчанда; Абул Хасан Сиддики (3 августа 2019 г.). Исчисление для ученых и инженеров. Springer. ISBN 9789811384646.
44. Серж Ланг (14 марта 2013 г.). Комплексный анализ. Springer. стр. 63. ISBN 978-3-642-59273-7.
45. Сильвия Мария Алессио (9 декабря 2015 г.). Цифровая обработка сигналов и спектральный анализ для ученых: концепции и приложения. Springer. стр. 339. ISBN 978-3-319-25468-5.
46. К. РАДЖА РАДЖЕСВАРИ; Б. ВИСВЕСВАРА РАО (24 марта 2014 г.). СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ. Обучение PHI. п. 263. ИСБН 978-81-203-4941-4.
47. Джон Стиллвелл (23 июля 2010 г.). Математика и ее история. Springer Science & Business Media. стр. 313. ISBN 978-1-4419-6053-5.
48. Мартин Кэмпбелл-Келли; Мэри Кроаркен ; Рэймонд Флуд; Элеанор Робсон (2 октября 2003 г.). История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850841-0.
49. Джордж С. Донован; Беверли Бейройтер Гимместад (1980). Тригонометрия с калькуляторами. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-284-1.
50. Росс Рэймонд Миддлмисс (1945). Инструкции для посттригонометрических и мангейм-тригонометрических логарифмических линеек. Frederick Post Company.
51. «Клавиши калькулятора — что они делают». Popular Science . Bonnier Corporation. Апрель 1974. С. 125.
52. Стивен С. Скиена; Мигель А. Ревилла (18 апреля 2006 г.). Проблемы программирования: Руководство по подготовке к соревнованиям по программированию. Springer Science & Business Media. стр. 302. ISBN 978-0-387-22081-9.
53. Руководство разработчика программного обеспечения для архитектур Intel® 64 и IA-32 Объединенные тома: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B и 3C (PDF) . Intel. 2013.
54. Бойер (1991), стр. xxiii–xxiv.
55. Нильсен (1966), стр. xxiii–xxiv.
56. Олинтус Грегори (1816). Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их приложениями к высотам и расстояниям, проекциям сферы, циферблату, астрономии, решению уравнений и геодезическим операциям. Болдуин, Крэдок и Джой.
57. Нойгебауэр, Отто (1948). «Математические методы в древней астрономии». Бюллетень Американского математического общества . 54 (11): 1013–1041. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09089-9 .
58. Майкл Сидс; Дэна Бэкман (5 января 2009 г.). Астрономия: Солнечная система и дальше. Cengage Learning. стр. 254. ISBN 978-0-495-56203-0.
59. Джон Сабин (1800). Практический математик, содержащий логарифмы, геометрию, тригонометрию, измерения, алгебру, навигацию, сферику и естественную философию и т. д., стр. 1.
60. Мордехай Бен-Ари; Франческо Мондада (2018). Элементы робототехники. Спрингер. п. 16. ISBN 978-3-319-62533-1.
61. Джордж Робертс Перкинс (1853). Плоскостная тригонометрия и ее применение к измерению и землеустройству: Сопровождаемая всеми необходимыми логарифмическими и тригонометрическими таблицами. D. Appleton & Company.
62. Чарльз У. Дж. Уизерс; Хейден Лоример (14 декабря 2015 г.). Географы: биобиблиографические исследования. A&C Black. стр. 6. ISBN 978-1-4411-0785-5.
63. HG тер Морше; Дж. К. ван ден Берг; Э.М. ван де Ври (7 августа 2003 г.). Преобразования Фурье и Лапласа. Издательство Кембриджского университета. п. 61. ИСБН 978-0-521-53441-3.
64. Бернд Таллер (8 мая 2007 г.). Визуальная квантовая механика: избранные темы с компьютерной анимацией квантово-механических явлений. Springer Science & Business Media. стр. 15. ISBN 978-0-387-22770-2.
65. М. Рахман (2011). Приложения преобразований Фурье к обобщенным функциям. WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9.
66. Лоуренс Борнштейн; Basic Systems, Inc (1966). Тригонометрия для физических наук. Appleton-Century-Crofts.
67. Джон Дж. Шиллер; Мари А. Вурстер (1988). Студенческая алгебра и тригонометрия: основы предварительного исчисления. Скотт, Форесман. ISBN 978-0-673-18393-4.
68. Дадли Х. Таун (5 мая 2014 г.). Волновые явления. Dover Publications. ISBN 978-0-486-14515-0.
69. E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater (1 ноября 1992 г.). Плоская тригонометрия. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5.
70. Марк Карс; Карлхайнц Бранденбург (18 апреля 2006 г.). Применение цифровой обработки сигналов в аудио и акустике. Springer Science & Business Media. стр. 404. ISBN 978-0-306-47042-4.
71. Ким Уильямс ; Майкл Дж. Оствальд (9 февраля 2015 г.). Архитектура и математика от античности до будущего: Том I: античность до 1500-х годов. Биркхойзер. стр. 260. ISBN 978-3-319-00137-1.
72. Дэн Фоулдер (15 июля 2019 г.). Основные навыки для GCSE по биологии. Hodder Education. стр. 78. ISBN 978-1-5104-6003-4.
73. Лучано Беолчи; Майкл Х. Кун (1995). Медицинская визуализация: анализ мультимодальных 2D/3D изображений. IOS Press. стр. 122. ISBN 978-90-5199-210-6.
74. Маркус Фредерик Чарльз Лэдд (2014). Симметрия кристаллов и молекул. Oxford University Press. стр. 13. ISBN 978-0-19-967088-8.
75. Геннадий И. Архипов; Владимир Николаевич Чубариков; Анатолий Карацуба (22 августа 2008 г.). Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе. Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-019798-3.
76. Учебное пособие по курсу метеорологической математики: последняя редакция, 1 февраля 1943 г. 1943.
77. Мэри Сирс; Дэниел Мерриман; Океанографический институт Вудс-Хоул (1980). Океанография, прошлое. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90497-9.
78. "Стандарт JPEG (JPEG ISO/IEC 10918-1 Рекомендация ITU-T T.81)" (PDF) . Международный союз электросвязи . 1993 . Получено 6 апреля 2019 .
79. Кирстен Мальмкьяер (4 декабря 2009 г.). Энциклопедия лингвистики Routledge. Routledge. стр. 1. ISBN 978-1-134-10371-3.
80. Камран Дадхах (11 января 2011 г.). Основы математической и вычислительной экономики. Springer Science & Business Media. стр. 46. ISBN 978-3-642-13748-8.
81. Кристофер Гриффит (12 ноября 2012 г.). Разработка Flash-игр в реальном мире: как следовать лучшим практикам и сохранять здравомыслие . CRC Press. стр. 153. ISBN 978-1-136-13702-0.
82. Джон Джозеф Гриффин (1841). Система кристаллографии и ее применение в минералогии. Р. Гриффин. стр. 119.
83. Дугопольский (июль 2002 г.). Тригонометрия I/E Sup. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-78666-8.
84. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ V&S (6 января 2015 г.). КРАТКИЙ СЛОВАРЬ МАТЕМАТИКИ. V&S Publishers. стр. 288. ISBN 978-93-5057-414-0.
85. Cynthia Y. Young (19 января 2010 г.). Precalculus. John Wiley & Sons. стр. 435. ISBN 978-0-471-75684-2.
86. Рон Ларсон (29 января 2010 г.). Тригонометрия. Cengage Learning. стр. 331. ISBN 978-1-4390-4907-5.
87. Петерсон, Джон С. (2004). Техническая математика с исчислением (иллюстрированное издание). Cengage Learning. стр. 856. ISBN 978-0-7668-6189-3.Выдержка из страницы 856

Библиография

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе издание). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Нильсен, Кай Л. (1966). Логарифмические и тригонометрические таблицы до пяти знаков (2-е изд.). Нью-Йорк: Barnes & Noble . LCCN  61-9103.
• Терстон, Хью (1996). Ранняя астрономия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94822-5.

Дальнейшее чтение

• «Тригонометрические функции». Энциклопедия математики . Издательство EMS . 2001 [1994].
• Линтон, Кристофер М. (2004). От Евдокса до Эйнштейна: История математической астрономии . Cambridge University Press.
• Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения». Математический мир .

Внешние ссылки

• Khan Academy: тригонометрия, бесплатные онлайн-микролекции
• Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луиса Ингольда, The Macmillan Company, 1914. В изображениях представлен полный текст.
• Тригонометрическая головоломка Бенджамина Баннекера на сходимости
• Краткий курс тригонометрии Дэйва, Дэвид Джойс из Университета Кларка
• Тригонометрия, Майкл Коррал, охватывает элементарную тригонометрию, распространяется по лицензии GNU Free Documentation License